2023-2024学年惠州市实验高一下学期4月第一次月考试卷附答案解析

-2024学年惠州市实验高一下学期4月第一次月考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设向量=（–4，x），=（–x，1），若与同向，则x＝（

）A．2 B．–2 C．±2 D．02．复数为纯虚数，则的取值为（

）A．1 B．-1 C． D．03．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为（

）A．B．1C．2 D．34．某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（

）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米5．中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．6．在中，，，则角A的大小为（

）A． B．或 C． D．或7．已知，，且，则向量与的夹角为A． B． C． D．8．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（）A．B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．下列命题，其中不正确的是（

）A．已知复数，，，则仅当时为纯虚数B．已知复数为实数，则C．已知复数，则D．已知复数，则复数对应的点在第四象限10．已知中，其内角的对边分别为，下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若，则为等腰三角形11．已知向量，，则（

）A．若，则 B．若，则C．的最大值为6 D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量，，若，则实数．13．如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为．

14．在中，角、、的对边分别为、、，已知的面积为4，，，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知复数，且为纯虚数.(1)求复数；(2)若，求复数以及模.16．在中，，，．(1)求A的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．17．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为.

(1)求；(2)求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标.18．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.在中，角所对的边分别为，__________，且.求：(1)；(2)周长的取值范围.19．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

(1)求的值；(2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？1．A【分析】由向量共线的充要条件求解即可【详解】由题可得，–4×1–x•（–x）＝0，解得x＝±2；当x＝2时，=（–4，2），=（–2，1），此时与同向，符合题意；当x＝–2时，=（–4，-2），=（2，1），此时与反向，不符合题意；综上，x＝2．故选A．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，注意检验同向，是易错题2．A【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】因为复数为纯虚数，所以且，解得.故选：A3．D【分析】先利用复数的四则运算化简，从而利用复数的几何意义得到的不等式组，解之即可得解.【详解】因为，又所对应的点在第二象限，所以，解得，所以ABC错误，D正确.故选：D.4．B【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.【详解】如图，在中，，由余弦定理得：，所以A处与C处之间的距离为千米.故选：B5．C【分析】根据条件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面积.【详解】∵，∴∴则，.故选：C.6．D【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知中，，，故，即，由于，故，则或，故A的大小为或，故选：D7．A【分析】由数量积的运算律求出，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．【详解】因为，所以.因为，，所以，，则向量与的夹角为.故选：A．【点睛】本题考查平面向量数量积的定义与运算律，考查运算求解能力.由数量积的定义有．8．B【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.【详解】，，由，P，M共线，存在，使①，由N，P，B共线，存在，使得②，由①②，故.故选：B.9．AD【分析】A选项应当时为纯虚数，D选项复数对应的点在第二象限.【详解】复数，，，则仅当时为纯虚数，所以A选项错误；若复数为实数，则，所以B选项正确；复数，则，所以C选项正确；复数，则复数对应的点在第二象限，所以D选项错误.故选：AD10．ABD【分析】根据余弦函数的单调性即可判断A；利用正弦定理化边为角以及三角形中大边对大角即可判断B；利用余弦定理化角为边即可判断C；根据二倍角的余弦公式化简即可判断D.【详解】对于A，因在上单调递减，且，因为，所以，故A正确；对于B，由正弦定理以及三角形中大边对大角，所以若，则，则，故B正确；对于C，，由余弦定理可得，所以，所以为直角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，所以，又，所以，所以或（舍去），所以为等腰三角形，故D正确.故选：ABD.11．ACD【分析】根据，有，可判断A选项；根据，得，可判断B选项；根据向量减法三角形法则有，分别求出，，有，反向时取得最大值，根据向量的几何意义判断C选项；根据，得，又，可计算，从而判断D选项.【详解】若，则，解得，A正确；若，则，解得，所以，B错误；因为，，而，当且仅当，反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量，的起点为坐标原点，向量的终点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上，向量终点在第二象限，当，反向，则向量的终点应在第四象限，此时，，所以C正确；若，则，即，所以，，所以，D正确.故选：ACD12．【分析】根据平面向量的坐标运算求出的坐标，再根据可知，再利用数量积的坐标运算建立关于的方程，求解方程，即可得到结果.【详解】由题意可知，又，所以，即，所以。故答案为：.13．【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系，则，设，故，所以，则当时，取得最小值.

故答案为：.14．【分析】由三角形的面积公式和向量的数量积运算求得，再由A的范围求得角A的余弦和正弦，由余弦定理可求得答案.【详解】的面积为4，，，所以，所以，又，所以，，，又，由余弦定理得，所以.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理，属于中档题.15．(1)(2);【分析】（1）根据复数的乘法结合纯虚数的概念可解得答案；（2）根据复数除法运算法则先求得复数，然后可求得．【详解】（1），，又为纯虚数，且，解得，；（2），．16．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】（1）由余弦定理得，因为，所以．（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，，由正弦定理得，则．的面积，由，得．17．(1)3(2)【分析】（1）由题可知：，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量在向量上的投影向量为求解即可.【详解】（1）由题可知：，则.（2）记与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标为.18．(1)(2)【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.【详解】（1）若选①，由正弦定理得：，，，，，.若选②，，，，.若选③，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，.（2）,，，，，，即，所以△ABC周长的取值范围.19．(1)