1.3 解直角三角形（7大题型）（分层练习）（原卷版）

第1章解直角三角形1.3解直角三角形（7大题型）分层练习考查题型一解直角三角形的相关应用1．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（

）A． B． C． D．2．（21·22下·武汉·一模）如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时，．

3．（21·22下·芜湖·自主招生）如图所示，已知，且与的距离为2，与的距离为1，正三角形的三个顶点分别在，，上，则．

考查题型二解非直角三角形1．（2019上·成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（

）

A． B． C． D．2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则．考查题型三构造直角三角形求不规则图形的边长或面积1．（22·23下·益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022下·哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（

）A． B． C． D．33．（22·23下·专题练习）如图，在中，，，，则的长为，的面积为．考查题型四仰角俯角问题1．（22·23下·日照·阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（21·22下·武汉·阶段练习）如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门的顶部C的俯角为，底部D的俯角为，如果A处离地面的高度米，则起点拱门的高度为．（结果精确到1米；参考数据：，，）

3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

考查题型五方位角问题1．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·清远·三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为．

3．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．

(1)B处离岛C有多远？(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、）考查题型六坡度坡比问题1．（22·23下·广州·一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（）

A． B． C． D．2．（22·23下·南充·阶段练习）有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm

3．（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？考查题型七解直角三角形的其他应用1．（2022春·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算2．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，某景区由游客中心A处通往百米观景长廊有两条栈道，且，现需要从游客中心A到观景长廊加修一条栈道，则的最短长度为米．（结果精确到0.1，，）3．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西段（瓦盆窑——秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省的标志性工程．主桥采用双塔双索面钢—混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系．大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁．全长．图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为128米，请求出索塔高的长．（结果精确到0.1米，）

1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（

）

A． B． C． D．3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，点B，D分别落在点，处，如果点，，C在同一条直线上，那么的值为（）

A． B． C． D．4．（2022下·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算5．（2023下·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，斜坡的坡度是，如果点B离地面的高度是3米，那么斜坡的长度是米．

7．（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为和，则桥的长度是（结果根据四舍五入法精确到个位，参考数据）．

8．（2023·广东深圳·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为．9．（2023上·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在中，，，，点、分别在边、上．将沿着所在的直线翻折，使点的对应点落在边的延长线上．如果平分，那么的长度为．10．（2022下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是．11．（2023上·上海松江·九年级统考期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽．12．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）我国在人工智能技术研究领域处于世界领先地位，“中国制造”已向“中国智造”转型，图1是我国自行设计的一款智能手臂机器人，图2是该型号手臂机器人处于工作状态时的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，，，，过点C作直线垂直工作台于点D，点A，B，C，D，O在同一平面内．(1)求的度数．(2)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长．（结果保留根号）13．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道的坡度，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，请确定该车库入口的限高（即点D到的距离的值）．14．（2023上·北京西城·九年级北京市第十三中学分校校考期中）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，