第03讲 分式与二次根式（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（解析版）

第03讲分式与二次根式（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识导图】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：分式的概念需注意的问题：分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点二、分式的运算

1．基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．

2．零指数.

3．负整数指数

4．分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

5．约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

6．通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

(3)确定最简公分母的方法：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题

验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

要点诠释：

解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，

，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】题型一、分式的意义 【例1-1】使代数式有意义的的取值范围是（）A.B.C.且D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需要中的x0；分母中的2x-10.【例1-2】若分式的值为0，则x的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得﹣1=0，x+1≠0，由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【变式1】当x取何值时，分式有意义?值为零?【答案】当时，分式有意义，即时，分式有意义.当且时，分式值为零，解得，且，即时，分式值为零.【变式2】如果分式的值为0，则x的值应为.【答案】由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式的值为0．故答案为：-3．【变式3】若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是．【答案】若分式不论x取何实数总有意义，则分母≠0，设，当△＜0即可，.答案m＞1.题型二、分式的性质【例2-1】已知,求下列各式的值.(1);(2).【答案与解析】(1)因为,所以.即.所以.(2),所以.【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.【例2-2】已知求的值.【答案与解析】设,所以所以所以即或当,所求代数式,当,所求代数式.即所求代数式等于或.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.【变式1】已知求的值.【答案】由得所以即.所以.【变式2】已知求的值.【答案】因为各式可加得所以，所以题型三、分式的运算【例3-1】计算【答案与解析】【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.【例3-2】已知且,求的值.【答案与解析】因为,所以原等式两边同时乘以,得:即所以所以【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.【变式1】已知，化简求值：【答案】原式【变式2】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【变式3】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．【答案】原式=将x＋y＝－4，xy＝－12代入上式，∴原式类型四、分式方程及应用【例4-1】如果方程有增根,那么增根是.【答案与解析】因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案:【点评】使分母为0的根是增根.【例4-2】a何值时,关于x的方程会产生增根?【答案与解析】方程两边都乘以,得整理得.当a=1时,方程无解.当时,.如果方程有增根,那么,即或.当时,,所以;当时,,所以a=6.所以当或a=6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.【例4-3】为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．根据题意得：．方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．但x2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．【例4-4】甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：解得x＝80，经检验x＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得解得：y≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．【变式1】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（）A． B． C． D．【答案】设走路线一时的平均速度为x千米/小时，故选A．【变式2】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．【答案】（1）设原计划零售平均每天售出x吨．根据题意，得，解得x1=2，x2=﹣16．经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2）．实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．类型五、二次根式的定义及性质【例5-1】当x取何值时，的值最小？最小值是多少？【答案与解析】∵∴，∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.【例5-2】要使式子有意义，则a的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x的范围．类型六、二次根式的运算【例6-1】计算：；【答案与解析】原式【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．【例6-2】【答案与解析】原式＝=30-12+5-2【总结升华】此题关键是变为=5-2.【中考过关真题练】一．选择题（共3小题）1．（2021•上海）下列实数中，有理数是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝，不是有理数，不合题意；B.＝，不是有理数，不合题意；C.＝，是有理数，符合题意；D.＝，不是有理数，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（2020•上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．6 B． C． D．【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与不是同类二次根式，那么A不符合题意．B．根据算术平方根以及同类二次根式，＝3与不是同类二次根式，那么B不符合题意．C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与是同类二次根式，那么C符合题意．D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与不是同类二次根式，那么D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解决本题的关键．3．（2018•上海）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2 D．【分析】先化简，再合并同类项即可求解．【解答】解：﹣＝3﹣＝2．故选：C．【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．二．解答题（共2小题）4．（2018•上海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝＝5﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．5．（2017•上海）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．【解答】解：原式＝3+2﹣2+1﹣3+2＝+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共15小题）1．（2022•松江区校级模拟）下列代数式中，归类于分式的是（）A． B． C． D．【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；B、是分式，故本选项正确；C、不是分式，故本选项错误；D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．2．（2022•长宁区模拟）的倒数是（）A． B．2 C． D．﹣【分析】的倒数是，再分母有理化即可．【解答】解：的倒数是，．故选：C．【点评】此题考查分母有理化，是初中代数的重要内容，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．3．（2022•奉贤区二模）化简的结果是（）A．1 B． C． D．3【分析】首先进行二次根式化简，再进行合并同类项，即可得出答案．【解答】解：，＝2﹣，＝．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确地进行化简二次根式是解决问题的关键．4．（2022•嘉定区校级模拟）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．5．（2022•浦东新区校级模拟）计算的结果是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：原式＝，故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，理解（）2＝a（a≥0）是解题关键．6．（2022•上海模拟）（﹣）﹣1的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【分析】根据a﹣p＝（a≠0）计算，再求相反数即可得出答案．【解答】解：原式＝＝﹣2，﹣2的相反数是2．故选：D．【点评】本题考查了负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．7．（2022•杨浦区二模）下列各式中，运算结果是分数的是（）A．sin30° B． C． D．【分析】A、sin30°＝是分数；B、底数不为0的0次幂为1，是整数；C、2是整数；D、是无理数．【解答】解：A、原式＝，∴符合题意；B、原式＝1，∴不符合题意；C、原式＝2，∴不符合题意；D、原式＝，∴不符合题意；故选：A．【点评】主要考查了二次根式的性质与化简、实数、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握这几个性质的综合应用是解题关键．8．（2022•金山区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．【解答】解：∵＝，∴选项A不符合题意；∵＝2，∴选项B不符合题意；∵是最简二次根式，∴选项C符合题意；∵＝3，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了最简二次根式的特征和判断，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．9．（2022•虹口区二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．【解答】解：∵＝，∴选项A不符合题意；∵＝，∴选项B不符合题意；∵是最简二次根式，∴选项C符合题意；∵＝2，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了最简二次根式的特征和判断，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．10．（2022•普陀区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．x C．3 D．【分析】化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解答】解：A、＝，与是同类二次根式，故此选项符合题意；B、x与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C、3与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．11．（2022•黄浦区二模）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．【解答】解：与不是同类二次根式，所以选项A不符合题意；与不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；＝2，与是同类二次根式，所以选项C符合题意；＝2，与不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式化成最简二次根式是正确判断的关键．12．（2022•松江区校级模拟）下列式子属于同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A选项，与2是同类二次根式，故该选项符合题意；B选项，与2不是同类二次根式，故该选项不符合题意；C选项，与5不是同类二次根式，故该选项不符合题意；D选项，与2不是同类二次根式，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．13．（2022•金山区校级模拟）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，原式＝，故该选项不符合题意；C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．14．（2022•崇明区二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据同类项二次根式的定义可得3x﹣5＝x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：3x﹣5＝x+3，解得：x＝4，故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，同类项二次根式，熟练掌握同类项二次根式的定义是解题的关键．15．（2022•宝山区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．【解答】解：＝2，因此与不是同类二次根式，所以选项A不符合题意；与不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；＝2，与是同类二次根式，所以选项C符合题意；＝2，与不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式化成最简二次根式是正确判断的关键．二．填空题（共12小题）16．（2022•黄浦区二模）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．【分析】根据分式有意义的条件，可得：3+x≠0，据此求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴3+x≠0，∴x的取值范围是x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．17．（2022•杨浦区三模）计算：＝．【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【解答】解：原式＝＝．【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．18．（2022•徐汇区校级模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≠2．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，2x﹣4≠0，解得，x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．19．（2022•金山区校级模拟）化简：﹣＝．【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、化简即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．20．（2022•青浦区模拟）计算：•＝2n2．【分析】根据分式的乘法法则计算即可．【解答】解：•＝2n2，故答案为：2n2．【点评】本题考查的是分式的乘法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．21．（2022•嘉定区二模）计算：＝1．【分析】根据分式的加减运算法则进行化简即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝1，故答案为：1．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．22．（2022•宝山区模拟）化简：＝．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝．故答案为：【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．23．（2022•长宁区模拟）计算：＝．【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．24．（2022•宝山区模拟）计算：＝﹣1．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•普陀区二模）3﹣2＝．【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．26．（2022•徐汇区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：3x﹣2≥0，∴x≥，故答案为：x≥．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．27．（2022•上海模拟）化简：＝．【分析】直接化简二次根式，进而相乘求出即可．【解答】解；5＝5×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．三．解答题（共17小题）28．（2022•上海模拟）先化简，再求值：，其中x＝4cos30°．【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的意义、分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的化简后代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝（2+1﹣）•＝•＝•＝•＝，当x＝4cos30°＝4×＝2时，原式＝＝4+2．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用绝对值的性质、零指数幂的意义、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．29．（2022•嘉定区校级模拟）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+﹣＝﹣2．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．30．（2022•嘉定区二模）计算：（）﹣1+（1﹣）+﹣（）3．【分析】先算负整数指数幂，二次根式的乘法，分母有理化和乘方运算，再合并即可．【解答】解：原式＝2+﹣2++1﹣（）2×＝2+﹣2++1﹣2＝1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的相关法则．31．（2022•松江区二模）计算：（﹣）﹣1﹣+|1﹣|+．【分析】先算负整数指数幂，化简二次根式，去绝对值，分母有理化，再合并即可．【解答】解：原式＝﹣2﹣3+﹣1+﹣1＝﹣4﹣．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键式掌握二次根式的混合运算的相关法则．32．（2022•静安区二模）先化简，再求值：1﹣（a+）．其中，实数a的相反数是它本身．【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：1﹣（a+）＝1﹣•＝1﹣（a﹣1）＝1﹣a+1＝2﹣a，由题意得：a＝0，∴当a＝0时，原式＝2﹣0＝2．【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的性质，相反数，熟练掌握因式分解是解题的关键．33．（2022•普陀区模拟）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝•＝•＝﹣，当a＝+3时，原式＝﹣＝﹣1﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．34．（2022•同安区二模）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．35．（2022•徐汇区校级模拟）先化简，后求值：（）÷，其中x＝2019．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝•＝，当x＝2019时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．36．（2022•松江区校级模拟）计算：．【分析】先进行二次根式的化简，绝对值运算，零指数幂，负整数指数幂运算，再算加减即可．【解答】解：＝3++1﹣（2﹣）+1+2＝3++1﹣2++1+2＝5+2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．37．（2022•徐汇区模拟）计算：．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣（﹣）+1+﹣+＝2﹣﹣++1+﹣+＝+．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．38．（2022•松江区校级模拟）计算：．【分析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2＝2﹣﹣2﹣+3﹣2＝﹣2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．39．（2022•金山区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝＝，当x＝﹣时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．40．（2022•崇明区二模）计算：2﹣1+sin30°﹣﹣（﹣1）0．【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、分母有理化和零指数幂可以解答本题．【解答】解：2﹣1+sin30°﹣﹣（﹣1）0＝﹣﹣1＝．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．41．（2022•杨浦区二模）先化简再计算：，其中．【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝•+＝+＝＝＝＝，当时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．42．（2022•普陀区二模）先化简，再求值：（1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）＝•＝•＝，当a＝时，原式＝＝＝2﹣3．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．43．（2022•徐汇区模拟）先化简，再求值：÷（a+）．其中a＝+3．【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：÷（a+）＝÷＝÷＝•＝，当a＝+3时，原式＝＝＝＝﹣2．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．44．（2022•徐汇区模拟）先化简，再求值：，其中x＝2sin60°﹣（）﹣2．【分析】将原式第二项中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后再利用同分母分式的减法运算计算，得到最简结果，接着利用特殊角的三角函数值及负指数公式化简，求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．【解答】解：﹣÷＝﹣÷＝﹣•＝﹣＝﹣，当x＝2sin60°﹣（）﹣2＝2×﹣4＝﹣4时，原式＝﹣＝﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，以及负指数公式，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．【名校自招练】一．选择题（共1小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）已知0＜a＜b，则大小不一定位于a和b之间的数是（）A． B． C． D．【分析】取特殊值a＝1、b＝2，分别代入各选项计算可得．【解答】解：取特殊值a＝1、b＝2，则＝，在1和2之间；＝＝，不在1和2之间，符合题意；＝＝，在1和2之间；＝，在1和2之间；故选：B．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是取特殊值的方法比较大小．二．填空题（共11小题）2．（2017•浦东新区校级自主招生）如果（x﹣1）x+4＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是﹣4，0，2．【分析】分情况讨论：当x+4＝0时；当x﹣1＝1时，分别讨论求解．还有﹣1的偶次幂都等于1．【解答】解：如果（x﹣1）x+4＝1成立，则x+4＝0或x﹣1＝1即x＝﹣4或x＝2当x＝0时，（﹣1）4＝1故本题答案为：﹣4、2或0．【点评】主要考查了零指数幂的意义和1的指数幂．3．（2016•宝山区校级自主招生）若分式＝0，则x的值为2【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得2x2﹣4x＝0，且x2+x≠0，解得x＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．（2017•杨浦区校级自主招生）若x＝ab，y＝a2+b2，则+＝2a2+2b2．【分析】利用配方法、实数平方的非负性．先判断x+y、x﹣y与0的关系，在化简求值．【解答】解：+＝|x+y|+|x﹣y|∵y﹣x＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）+b2＝（a﹣）2+b2≥0，∴a2﹣ab+b2≥0即y﹣x≥0∵x+y＝a2+ab+b2＝（a2+ab+b2）+b2＝（a+）2+b2≥0，∴a2+ab+b2≥0即y+x≥0所以原式＝x+y+y﹣x＝2y＝2a2+2b2故答案为：2a2+2b2【点评】本题考查了二次三项式的配方、一次不等式及二次根式、绝对值的化简．利用配方和完全平方的非负性，判断x与y的和差的正负是解决本题的关键．5．（2017•浦东新区校级自主招生）计算：＝2﹣5【分析】观察与，与，发现有公因数，提取公因数后因式分解分子分母，约分、分母有理化后得结果．【解答】解：原式＝＝＝＝＝2﹣5【点评】本题考查了二次根式的混合运算，把分子、分母分解后约分是解决本题的关键．6．（2016•徐汇区校级自主招生）化简：＝1﹣【分析】利用二次根式的性质化简，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝＝1﹣．故答案为：1﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．7．（2016•宝山区校级自主招生）计算：＝﹣．【分析】直接分母有理化即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．8．（2017•浦东新区校级自主招生）已知a+a﹣1＝4，则a4+a﹣4＝194．【分析】直接