【考研-东北财经-不确定性条件下的消费者选择行为(期望效用理论)】5计算题

1．在一自由市场，一商贩的效用函数为代表收入。他每天的收入为200元，但按规定应交纳50元的固定税费。市场监管人员按10%的概率抽查。被抽中则肯定能被查清是否已缴税，偷税者将被罚款。（1）为了打击偷税，市场监管人员需要决定罚款额至少应为多少？请求出。（2）假定该商贩还有其他与该市场无关的随机收入，即各以50%的概率获得100元和300元，那么你对（1）的回答是否有变化？如果有，请给出。（北大2004研）解：（1）缴税时商贩的效用为假设偷税罚款为X元，则逃税的效用为设则解得：所以罚款额至少为188.74元。（2）在有其他收入的情况下缴税时商贩的效用为假设偷税罚款为X元，则逃税的效用为设则解得：5．设有一居民李四效用函数为U（x，y）＝x14y34，其中x为食品消费量，y为其他商品的消费量，且该居民的收入为5000元，x与y的价格均为10元，请计算：（1）该居民的最优消费组合。（2）若政府提供该居民2000元的食品兑换券，此兑换券只能用于食品消费，则该居民的消费组合有何变化？（厦门大学2003研）解：（1）要实现消费者的效用最大化，应满足：即得①同时要满足收入约束：②联立①②得：（2）y500354.170145.83200500700x消费者的预算约束如图所示，政府提供该居民2000元的食品兑换券后，消费者的预算线变为一条折线。此时，消费者的无差异曲线与其没有公切点。所以，该居民的最优消费组合为折点，即：。6．近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险，假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为，其中W表示财富价值。（1）计算该户居民的效用期望值；（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？解：（1）该户居民的期望效用为：；（2）由可得：

故该户居民是风险规避者。（3）缴纳保险费后，居民的财富确定，为：不缴纳保险费，居民的预期效用为：11.46令元。故居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保险费为2×25%＝0.5万元故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是5434－5000＝434（元）2．某人有10万元的存款，存入银行可以获取2％的利率。他可以将一部分钱投入股票市场，现在假设股票市场仅仅存在一种股票，收益率和方差服从正态分布N（0.1，1），他对于均值和方差的偏好为U（μ，σ）＝10μ－σ2，他应该将多少钱投放到股票市场上？（清华大学2004研）解：设此投资者将x比例的钱投资放到股票市场上，则他存入银行的比例为（1－x）。这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。其中，无风险利率，风险资产的期望收益率，标准差则投资组合的期望收益率为：标准差为：则对投资组合的偏好可表示为：投资者追求效用最大化，应满足：得：x＝0.4即投资者应将（万元）的钱投放到股票市场上。4．假设王五的效用函数为，其中I代表以千元为单位的年收入。（1）王五是风险中性的，风险规避的还是风险爱好型的，请解释。（2）假设王五现在的年收入为10000元，该工作是稳定的，他可以获得另一份工作，收入为15000元的概率为0.5，收入为5000元的概率为0.5，王五将作何选择？（中山大学2004研）解：（1）王五的货币边际效用为；>0货币的边际效用是递增的，所以王五是风险爱好者。（2）王五获得另一份工作的期望收益为期望收益和原来的年收入一样，因为王五是风险爱好者，在期望收益相同时，王五会选择风险更大的工作，即王五将辞掉目前的工作，而找另一份工作。9.某人的效用函数形式为u=lnw。他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的0.9倍，50%的可能获得彩票款的1.4倍。请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票。（北大2006研）解：假设此人将其所拥有的1000元中的x用于购买彩票，他将剩余的（1000－x）元存在银行。对于（1000－x）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有1.1×（1000－x）元；而对于x元购买彩票的钱而言，将有两种可能性：①获得0.9x元，其概率为0.5②获得1.4x元，其概率为0.5综上所述，此人的期望效用为：EU＝0.5×ln[1.1×（1000－x）+0.9x]＋0.5×ln[1.1×（1000－x）+1.4x]解得x=916.6所以此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.6元用于购买彩票，将剩余的钱元用于银行存款。10．近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险，假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为其中W表示财富价值。（1）计算该户居民的效用期望值。（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？（北大1998研）解：（1）该户居民的期望效用为：75%×ln100000+25%×ln80000=11.46（2）故该户居民是风险规避者。（3）缴纳保险费后，居民的财富确定地为：不缴纳保险费，居民的预期效用为：11.46故元。居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保险费为2×25%=0.5万元故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是5434－5000=434（元）12．假定某君效用函数为U=20+2M，这里，U是效用，M是货币收入（万美元）。他有10万美元，想投资于某项目。他认为有50%的可能损失全部投资，有50%可能获得30万美元，试问：（1）如果他投资，他的效用是多少？（2）他是否会进行这笔投资？（复旦大学1998研）解：（1）该君货币期望值为0.5×0+0.5×30=15（万元）。因此，如果他投资，效用为U=20+2M=20+2×15=50。或：期望效用为（2）从效用函数的形式看，效用是货币收益的线性函数，因而他是一个风险中立者。他对风险持无所谓态度，关心的只是货币期望值极大，既然投资的货币期望值是15，而不投资的货币期望值为10，他当然会选择投资。13．收获后，农民决定是卖粮存钱还是存粮。假定农民预期一年后粮价将涨20%。（不考虑粮食质量的差异），而存粮一年期间老鼠将吃掉10%的粮食，银行存款的年利率是10%。计算当预期的通货膨胀率为5%时，农民将如何选择？通货膨胀率到什么水平时，农民将选择存钱?（北大1999研）解：假设农民现有价值1元的粮食。若他卖粮存钱，则一年后的收益为1+10%=1.1；若存粮，一年后的价值为（1+20%）（1－10%）（1+5%）=1.134，故农民将选择存粮。设通货膨胀至π时，农民将选择存钱，此时必有（1+10%）（1+20%）（1－10%）（1+π）因此，当通货膨胀率小于等于1.85%时，农民将选择存钱。14．如果一个市场中的消费者都具有拟线性偏好（quasilinearutility），即其中，……N代表第i个消费者，和分别代表每i个消费者对商品x和y的消费量，证明商品x的市场需求曲线一定不可能有正斜率。（北大1999研）解：对第i个消费者来说，其效用最大化问题为：使得其中mi为消费者i的收入由一阶条件因此，故斜率一定非正。15．如果某人的绝对风险规避系数为一常数，则这个人的效用函数的形式必为。证明：设则有,为任意常数。=>u（w）=故其效用函数的形式必为23．一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。他的效用函数形式是＝。若他买保险，保险公司要求他自己承担7620单位的损失（若火灾发生）。这个投保人愿支付的最高保险金是多少？解：假设这个投保人愿支付的最高保险金为R，则有=得＝385即此投保人最高愿支付保险金385元。17．一个农民认为在一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半。他的预期效用函数的形式为预期效用=这里，与分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。（1）假定农民一定要在两种如下表所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？谷物小麦28000元10000元谷子19000元15000元（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论。（3）怎样组合小麦与谷子才可以给这个农民带来最大的预期效用？（4）如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么，这种有关小麦种植的保险会怎样改变农民的种植情况？解：（1）∵∴种谷子（2）∵∴各播种一半时∴会选择每种作物播种一半。（3）设小麦的播种比例为x，谷子为1-x则预期效用令，且∴应选择比例种小麦。（4）当种植小麦时，得最大预期效用：而在只种小麦但投保情况下：∴会选择只种小麦并投保。某人A的效用函数为：，M为收入。如果他成为一名秘书，则每年肯定能够收入30000元；如果成为一名产科医生，在产育的高峰期将收入60000元（假设发生的概率为0.75），而在产育的低谷期则只能收入20000元（假设发生的概率为0.25）。如果有一家咨询公司能够预测两种情况将要发生的概率。A认为应该为这条信息费用最多支付多少钱。解：两种职业进行对比，如果为医生职业支付得过多，那么，他宁愿选择成为秘书。所以，当两个职业的期望收入效用相等，此时的X即为最大支付费用。如表3.1。表3.1A的效用矩阵秘书收入的期望效用：医生收入的期望效用：所以，医生收入的期望效用高于秘书收入的期望效用，A愿意为该信息支付费用。本题如果按照支付X信息费后，计算医生收入的期望效用，然后解方程，由于未知数处于两个不同分式的分母，解题将极为困难。此时，可以换一种思路，如果秘书的收入增加，当增加后秘书的收入的期望效用大于等于医生收入的期望效用，此时A将不愿意为该信息付费，那么此时假设的增加的收入即为答案。解题如下：当收入增加10000时候，A就开始不愿意为该信息支付费用了。所以，很显然，最大支付的费用为10000。如果支付费用为10000，进行验算：说明最大支付费用为10000符合题意。25．在固定收益率为的资产上投资美元，可以在两种状态时获得；而在风险资产上的投资在好日子收益为，在坏日子为（其中。通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究。（1）请画出两种投资的结果。（2）请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”怎样可以在你的图中得到显示。你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？（3）请说明个人对于风险的态度会怎样决定他们所持有的无风险资产与风险资产的组合。一个人会在什么情况下不持有风险资产？解：（1）