2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）期末难点特训（一）和二次函数有关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训一（和二次函数有关的压轴题）1．（如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．2．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x2＋5x－3函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝－2x2＋5x－3函数可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝－2x2＋5x－3的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2＋x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）2019的值；（3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝(x－2)(x＋3)互为“旋转函数”．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）如图1，若△ABC为直角三角形，①求n的值；②P是抛物线上的一点，Q是抛物线的对称轴上的一点，若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标；（2）如图2，过点B作BC的垂线BD分别交抛物线和y轴于点D、E，且BE=ED，求n的值．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．6．如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连接AC，tan∠ACO=2，D是BC的中点，（1）求点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.7．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．8．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点其中点A在点B的左侧，交y轴正半轴于点C，且，点D在该函数的第一象限内的图象上．求点A、点B的坐标；若的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；若点D为该函数图象的顶点，且是直角三角形，求此二次函数的关系式．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+m与x轴，y轴分别交于点A、点B（0，-1），抛物线y=x2+bx+c经过点B，交直线AB于点C（4，n）．（1）分别求m、n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2），若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．10．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有

个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．12．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）13．已知二次函数的图象与轴分别交于点、(在左侧)，与轴交于点，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为.(1)原抛物线的函数解析式是.(2)如图①，点是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点的坐标;(3)如图②，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由.14．已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．（）分别求出直线和抛物线的函数表达式．（）设的面积为，的面积为，若，求的值．（）如图，在（）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、．①在轴上找一点，使，并求出点的坐标．②求的最小值．17．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为轴负半轴上一点，于点交轴于点．已知抛物线经过点、、．（）求抛物线的函数式．（）连接，点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标．（）如图，为中点，设为线段上一点（不含端点），连接．一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止．若点在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点的坐标．18．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．期末难点特训一（和二次函数有关的压轴题）1．（如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．【答案】（1）；（2）的函数表达式为，；（3），理由详见解析【分析】（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得．【详解】解：（1）∵抛物线l3：，∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，设x=0，则y=1，∴C（0，1），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；（2）解：设的函数表达式为由“友好”抛物线的定义，过点的函数表达式为与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是（3）理由如下：∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，①+②得：【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．2．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x2＋5x－3函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝－2x2＋5x－3函数可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝－2x2＋5x－3的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2＋x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）2019的值；（3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝(x－2)(x＋3)互为“旋转函数”．【答案】（1）y＝2x2＋5x＋3;(2)1;(3)见解析.【分析】（1）根据题目中的条件直接可以写出函数表达式（2）根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0的规律列出等式进行计算即可（3）函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求出点的坐标，再求出关于原点的对称点，进而求出经过对称点的二次函数，通过“旋转函数”的规律就可以证明两函数是互为“旋转函数”.【详解】（1）y＝2x2＋5x＋3;.（2）∵y1＝x2＋x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，∴解得∴（m＋n）2019＝（3－2）2019＝1

（3）证明：当x＝0时，y＝(x－2)(x＋3)，则C（0，－3），当y＝0时，(x－2)(x＋3)＝0，解得x1=2，x2=－3，则A（2，0），B（－3，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（－2，0），B1（3，0），C1（0，3），

可求过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝－(x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋3…8分y＝(x－2)(x＋3)＝x2＋x－3∵a1+a2＝＋(－)＝0，b1=b2=，c1+c2＝3＋(－3)＝0∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝(x－2)(x＋3)互为“旋转函数”【点睛】此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力，掌握旋转函数的规律是解题的关键.3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）OC=；（2）y=x﹣，抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，坐标为（，﹣）．【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．【详解】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，当x=﹣时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）如图1，若△ABC为直角三角形，①求n的值；②P是抛物线上的一点，Q是抛物线的对称轴上的一点，若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标；（2）如图2，过点B作BC的垂线BD分别交抛物线和y轴于点D、E，且BE=ED，求n的值．【答案】（1）①，②点的坐标为和和；（2）【分析】（1）先证明，得到OA、OB、OC之间的关系，再设出A和B两点的坐标，利用根与系数的关系得出关于n的方程，求解即可；（2）设出P和Q两点的坐标，再分情况讨论哪两条线段为平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标公式建立方程求解即可；（3）先设出B点坐标，再通过相似建立比例线段，求出E点坐标，然后通过做辅助线构造相似三角形，得到D点的坐标，将B和D两点坐标同时代入抛物线解析式中求解即可．【详解】解：（1）①由题可知：C（0，-n）∴∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCO=90°又因为∠ACO+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠OCB，由∠AOC=∠COB,∴，∴∴，设∴即，解得n=0(舍)，n=4，∴n=4．②由（1）知，时，，∴B(8,0)

C(0,-4)又∵抛物线对称轴为直线x=3

∴设点P坐标为，Q点坐标为由平行四边形的性质可知：当BQ、CP为平行四边形对角线时，BQ与CP的中点重合，∴∴，代入P点坐标公式可得：P当BP、CQ为平行四边形的对角线时，同理可得P点坐标为当BC、PQ为平行四边形的对角线时，同理可得P点坐标为综上所述P点的坐标为和和．（2）解设B点坐标为（a，0），∵BC⊥BD，∴∠CBE=90°∴∠CBO+∠OBE=90°，又∵∠CBO+∠BCO=90°，∴∠OBE=∠BCO，因为∠BOE=∠COB,∴Rt△CBE中，△BEO∽△CBO∴∴，所以过D作DH⊥x轴于H点，∴DH∥OE,∴,∵，∴,∴将B点（a，0），代入抛物线解析式，解得n=0(舍)或综上所述．【点睛】本题为二次函数与相似综合题，涉及到了相似三角形的判定与证明、平行四边形的性质的应用、图像上点的坐标与二次函数解析式的关系、待定系数法、平行线分线段成比例等内容，要求学生理解并熟记相关概念，能运用相关公式进行求解，对学生的综合分析、推理和计算的能力都有较高要求，题中蕴含了数形结合和分类讨论等思想方法．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4）【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解；(2)过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【详解】解：(1)当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)，∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)，∴0=-k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵CD=4AC，∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，∴点D的横坐标为4，故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4；(2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)，如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），∴0=-k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a)，∵E是直线l上方的抛物线上的动点，∴时，△ACE的面积的最大值为时，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得a，故答案为：a；(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴设P（1，m），分类讨论：情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位，∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4，将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a，∴Q(-4，21a)，∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2，解得a²=，又a<0，∴a=，此时P(1，)；情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位，∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为-1+3=2，将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为-3a，∴Q(2，-3a)，∴m=5a-(-3a)=8a，则P(1，8a)，∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2，解得a²=，又a<0，∴a=，此时P(1，-4)，综上所述，P点坐标存在，且P(1，)或P(1，﹣4)．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键6．如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连接AC，tan∠ACO=2，D是BC的中点，（1）求点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.【答案】（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②【分析】（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；（2）①证明在该种情况下DE为△ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；②可得G点的运动轨迹为，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P点运动到M点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度.【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=90°，∵在Rt△ACO中，tan∠ACO==2，∴OC=2，又∵D为CB中点，∴CD=2，∴D（2,2）；（2）①如下图所示，若点B恰好落在AC上的时,根据折叠的性质,∵D为BC的中点，∴CD=BD,∴,∴,∴，∴,DF为△ABC的中位线，∴AF=BF,∵四边形ABCD为矩形∴∠ABC=∠BAE=90°在△BDF和△AEF中，∵∴△BDF≌△AEF，∴AE=BD=2,∴E(6,0),设，将E（6,0）带入，8a+2=0∴a=，则二次函数解析式为，此时P（0,0）；②如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F'，点G也随之运动到G'．连接GG'．当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性移动．∵OM=OC=∴,当P点运动到M点时，设此时二次函数表达式为，将代入得，解得，所以抛物线解析式为，整理得.当y=0时，，解得x=8（已舍去负值），所以此时，设此时直线的解析式为y=kx+b，将D（2,2），E（8,0）代入解得，所以，当x=4时，，所以,由①得，所以,∵△DFG、△DF'G'为等边三角形，∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'，∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，即∠G'DG＝∠F'DF，在△DFF'与△FGG'中，，∴△DFF'≌△FGG'（SAS），∴GG'＝FF'，即G运动路径的长为．【点睛】本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键.7．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)或或或．【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，，∵，故有最大值，当时，其最大值为；(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两种情况：①当时，，，，过点A作AH⊥BC与点H，，解得：，∴CH＝则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；②时，，则直线OQ的表达式为：…③，联立①③并解得：，故点或；综上，点或或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点其中点A在点B的左侧，交y轴正半轴于点C，且，点D在该函数的第一象限内的图象上．求点A、点B的坐标；若的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；若点D为该函数图象的顶点，且是直角三角形，求此二次函数的关系式．【答案】（1）、；（2）；（3）二次函数表达式为：或．【分析】(1)函数的对称轴为：，，即可求解；(2)由，即可求解；(3)分两种情况，求解即可．【详解】解：函数的对称轴为：，，点A、B的坐标为、；二次函数表达式为：，即：，把点B、C坐标代入一次函数表达式得：，则一次函数表达式为：，过点D作x轴的平行线交BC于E点，设点D的坐标为，则点E的坐标为，，，故有最大值，当时，最大值为，解得：，点D的坐标为，故：二次函数表达式为：；点B、C、D的坐标分别为、，则直线CD所在直线表达式中的k值为：，同理，，当时，由两直线垂直k值互为负倒数得：，解得：正值已舍去，当时，同理解得：，故：二次函数表达式为：或．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+m与x轴，y轴分别交于点A、点B（0，-1），抛物线y=x2+bx+c经过点B，交直线AB于点C（4，n）．（1）分别求m、n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2），若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．【答案】（1）m=1，n=2；（2）；（3）；当t=2时，p有最大值．【分析】（1）由B点坐标可求得m的值，则可求得直线解析式，把C点坐标代入即可求得n的值；（2）由B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（3）可先用t表示出DE的长度，再利用△AOB∽△DFE可表示出DF和EF，利用矩形的性质可表示出p，利用二次函数的性质可求得p的最大值．【详解】解：（1）∵直线y=x+m与y轴交于点B（0，1），∴m=1，∴直线解析式为y=x1，∵直线经过点C（4，n），∴n=×41=2；（2）∵抛物线经过点C和点B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=；（3）∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），DE∥y轴交直线AB于点E，∴D（t，），E（t，），∴DE=，∵DE∥y轴，∴∠DEF=∠ABO，且∠EFD=∠AOB=90°，∴△DFE∽△AOB，∴，在y=中，令y=0可得x=，∴A（，0），∴OA=，在Rt△AOB中，OB=1，∴AB=，∴，∴DF=，EF=，∴p=2（DE+EF）=2×（）DE=，∴，∵，∴在0＜t＜4范围内，当t=2时，p取最大值．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、矩形的性质及方程思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出DE的长，再利用相似三角形的性质表示出EF和DF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．10．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①点P坐标为（﹣2，6），点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；②△CPD的面积为或4．【分析】（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；（2）①四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，当OD垂直于AC时，OD最小，点D为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），即可求解；②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD两种情况，求解即可．【详解】（1）将点A的坐标代入直线y＝x+c得：0＝﹣4+c，解得：c＝4，将点A坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16﹣4b+4，解得：b＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4，故点A、C的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），将A、C点坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得，则直线AC的表达式为：y＝x+4；（2）①∵四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，当OD垂直于AC时，OD最小（即EF最小），∵OA＝OC，∴点D为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），故点P坐标为（﹣2，6），把点D纵坐标代入二次函数表达式得：﹣x2﹣3x+4＝2，解得：x＝，故点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；②当△ADE∽△CDP时，则∠CPD＝90°，PC＝PD，则PC∥x轴，则点P的纵坐标为4，则点P坐标为（﹣3，4），点D在直线AC：y＝x+4上，则点D坐标为（﹣3，1），则PD＝4﹣1＝3＝PC，则S△CPD＝×PC•PD＝；当△ADE∽△PDC时，同理可得：S△CPD＝×PD•CH＝4，故：△CPD的面积为或4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点，其中（2），利用矩形性质OD＝EF，确定EF最小值，是本题的难点．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有

个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，顶点坐标（，﹣）；（2）PB+PD的最小值为；（3）①5;②取值范围是【分析】二次函数的表达式有三种方法，这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些；这一题根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要，根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半把所要求的边转化，再根据点到直线垂线段最短求得最小值；第三问ABMN组成菱形，只有AB是定点，所以要讨论AB是邻边还是对角线；最后一问与圆的知识相结合，有一定的难度，主要根据∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F，以FA为半径，则弧AB所对的圆周角为60°，与对称轴的两个交点即为t的取值范围.【详解】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得∴∴顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得．如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°.∴∴要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点.由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点.综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点．由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，过F点作FG⊥MM'于G点，已知FG=∴，又∵G∴M（，M'∴方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定解析式，学会利用垂线最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.12．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．【详解】试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，解得b=，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．（2）设lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴lBC：y=-3x-6，设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（记为x），yM≥yN，∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴当x=-时，线段MN长度为最大值．（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．分析如下：如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴点B、A、C都在⊙Q上．①P在抛物线外，如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D∵BC为直径，∴∠BPC=90°∵BD′与y轴平行∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点∴PD∥x轴易得PC=1，PB=3，PA=2∴BP+CP=AP．②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，如图4，在PC上取BP=PT，∵BC为直径，∴∠BPC=90°∴△BPT为等腰直角三角形∴∠PBT=45°=∠1+∠2∵∠ABC=∠3+∠2=45°∴∠1=∠3∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）∴△BPA∽△BTC∴∵PC=PT+CT∴PC=PT+PA=PB+PA∴PC-PB=PA同理，如图5，也可得PB-PC=PA．考点：二次函数综合题．13．已知二次函数的图象与轴分别交于点、(在左侧)，与轴交于点，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为.(1)原抛物线的函数解析式是.(2)如图①，点是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点的坐标;(3)如图②，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1)；（2）最大值，点P的坐标(,)；(3)点M的坐标：(,)或(,)【分析】(1)根据题意可推导出原抛物线的顶点坐标，然后再求出抛物线的解析式；(2)过P作x轴的垂线交BC于N，则△PBC的面积分成△PNC和△PNB的面积之和，设出P的坐标，则△PBC的面积与P的坐标可建立函数关系式，进行求解即可；(3)分类讨论并设出M的坐标，表示出MQ和MC的长，建立方程，求解即可.【详解】解：(1)由题知，原抛物线的顶点坐标为(3,-4)设原抛物线的解析式为则∴即（2）如图，过P作x轴的垂线交BC于N

令，则∴即B(5,0)，A(1,0)令，则∴C(0,5)∴直线BC的解析式为设P(,),则N(，)∴PN=∴由二次函数性质可知：当时，有最大值，且最大值为此时P(,)（3）①如图所示，当∠BQM=90°时设Q(,0)，则M(,)则BQ=MQ=∴BM=又BC=∴CM=∵△CMQ为等腰三角形∴=解得：此时M(,)②如图所示：当∠BMQ=90°时若△CMQ为等腰三角形，则△BMQ也为等腰三角形，则CM=BM=QM此时M为BQ的中点由(1)知：B(5,0)，C(0,5)∴M(,)综上所述，满足要求的点M的坐标为(,)或M(,)【点睛】本题主要考察二次函数的综合应用，抓准题目特点与分析核心是解题的关键.14．已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）D（0，﹣1）或D（0，6）；（3）最大面积为1.5，H（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出△CHF与△HFE的面积之和的函数关系式，即可求出最大值.试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB=2，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB=∠ABC=45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB=1，BC=2，CD=d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴=1，∴CD=AB=1，∴d+2=1，∴d=﹣1，∴D（0，﹣1）；②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d=6，∴D（0，6）；（3）如图，∵CE∥轴，∴令y=﹣2，∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，∴x=0（舍）或x=3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+，∴m=1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式；（2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标．【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），∵OC=2OA，OA=2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m==，∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y=﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，∴m==﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得=，∴OD2=OE•OQ,∴1=•OQ，∴OQ=，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2=PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．（）分别求出直线和抛物线的函数表达式．（）设的面积为，的面积为，若，求的值．（）如图，在（）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、．①在轴上找一点，使，并求出点的坐标．②求的最小值．【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为；（2）；（3）①；②.【详解】试题分析：对于（1），将点A的坐标代入抛物线的解析式求得a，根据待定系数法求解直线AB的函数表达式；对于（2），过作轴垂线交于，交抛物线于，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证△PMN∽△AEN，由，可得，将PN和AN用m表示出来，代入求解即可；对于（3）①当时，得，设，由旋转可得；②由①可知，，且相似比为，由此，故当旋转到所在直线上时，最小，即为长度，试题解析：（）把点代入抛物线得，∴，，∴与轴交点，令，得，∴．设为过，，∴，∴．（）∵过作轴垂线交于，交抛物线于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴．（）①在（）的条件下，，∴，设，∵旋转，∴，若，则，∵，∴，∴，∴，∴．②由①可知，当为时，，且相似比为，∴，∴，∴当旋转到所在直线上时，最小，即为长度，∵，，∴，∴的最小值为．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.17．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为轴负半轴上一点，于点交轴于点．已知抛物线经过点、、．（）求抛物线的函数式．（）连接，点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标．（）如图，为中点，设为线段上一点（不含端点），连接．一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止．若点在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为；（2）点的坐标为或；（3）此时，．【详解】试题分析：（1）先证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-x2+x+3；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-x2+x+3），则Q（x，-x+3），再计算出DQ=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根据S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；（3）过做平行轴交抛物线于，过做，可证，由此，过作的垂线，交点即为点，可得值和点坐标．试题解析：（），，∴，且，∴，，，，，∴，∴．设抛物线解析式为，将代入得，∴抛物线解析式为．（）设直线的解析式为，把，代入得，解得，∴直线的解析式为，作轴交于，如图1，设，则，，∴，∵，∴，整理得，解得，，∴点的坐标为或．（）设运动时间为，则，，过做平行轴交抛物线于，过做，∵，∴，，∴，∴，∴．过作的垂线，交点即为点，此时，．点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和不等式性质；理解坐标与图形性质，会利用两点之间的距离公式计算线段的长；会用待定系数法求函数解析式；熟练掌握一元二次方程的解法.18．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）y=x2﹣x+3，；（Ⅱ）满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）．【详解】试题分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0，解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）．考点：二次函数综合题．期末押题培优01卷（考试范围1.1-6.7）1．(本题3分)方程的解是（

）A． B．C． D．2．(本题3分)某公司共有51名员工（包括1名经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，则这家公司所有员工今年的工资与去年相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数 B．只有中位数C．只有众数 D．中位数和众数3．(本题3分)如图：，，那么CE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．(本题3分)某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（）A．该厂二月份的增长率 B．该厂三月份的增长率C．该厂一、二月份平均每月的增长率 D．该厂二、三月份平均每月的增长率5．(本题3分)如图，直线与相切于点，、是的两条弦，且，若的半径为5，，则弦的长为（

）A． B． C． D．6．(本题3分)下表中列出的是一个二次函致的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（

）x…013…y…464…A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点C．函数的最大值大于6 D．当时，对应函数y的取值范围是二、填空题(共30分)7．(本题3分)已知，则分式的值为______．8．(本题3分)如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm．9．(本题3分)若关于x的方程的一个根是，则m的值为_____．10．(本题3分)圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是______厘米，这个圆的面积是______平方厘米．11．(本题3分)二次函数的图象向左移2个单位，再向下移3个单位后的解析式为______．12．(本题3分)把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是_____．13．(本题3分)若关于x的方程有实数根，则的取值范围是_____．14．(本题3分)如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为____cm215．(本题3分)如图，AB为的直径，点C、D在上．若∠ACD=50°，则∠BAD的大小为______°．16．(本题3分)如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿折叠，若点的对应点恰好落在的中点，则折痕的长为______．三、解答题(共92分)17．(本题6分)用适当的方法解下列方程(1)(2)18．(本题8分)图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点．(1)___________，___________；(2)求点B的坐标；(3)求的面积；(4)直接写出时x的取值范围．19．(本题6分)我县某校七（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：甲789710109101010乙10879810109109(1)甲队成绩的中位数是，乙队成绩的众数是；(2)计算乙队成绩的平均数和方差；(3)已知甲队成绩的方差是1.4，哪一队的成绩较为整齐？20．(本题8分)如图，C,D是以AB为直径的⊙O上两点，且∠ADC＝45°，过点C作CE∥AB．（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝60°，求图中阴影部分的面积．21．(本题8分)某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.(1)甲选择A检票通道的概率是___________;(2)求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.22．(本题8分)已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．23．(本题8分)如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，问：(1)所截去小正方形的边长多少时，留下的图形（阴影部分）面积为原矩形面积的80%？(2)设所截去小正方形的边长为y厘米，则当y取何值时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方体侧面积最大？最大值是多少？24．(本题8分)二次函数的图像与x轴交于，两点，且函数有最大值是2．(1)求二次函数的解析式；(2)设此二次函数与y轴的交点为点C，求的面积；(3)当x为何值时，．（请直接写出结果）25．(本题10分)如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，，的延长线交于点．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径及长．26．(本题10分)二次函数的图象经过点（1，0），（3，0）．(1)求、的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(3)在所给坐标系中画出二次函数的图象，并根据图象直接写出不等式的解集．27．(本题12分)问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．期末押题培优01卷（考试范围：1.1-6.7）一、单选题(共18分)1．(本题3分)方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用直接开平方法解答即可．【详解】解：则．故选A．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解答本题的关键．2．(本题3分)某公司共有51名员工（包括1名经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，则这家公司所有员工今年的工资与去年相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数 B．只有中位数C．只有众数 D．中位数和众数【答案】D【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是元，今年工资的平均数是元，显然；由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．众数也没有变化.故选：D．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响．3．(本题3分)如图：，，那么CE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵，∴，，即，∴CE＝3，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．4．(本题3分)某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（）A．该厂二月份的增长率 B．该厂三月份的增长率C．该厂一、二月份平均每月的增长率 D．该厂二、三月份平均每月的增长率【答案】D【分析】根据题意可得二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，即可求解．【详解】解：根据题意得：二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，∴中，x表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．(本题3分)如图，直线与相切于点，、是的两条弦，且，若的半径为5，，则弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长交于点E，连接．由题意可得，根据垂径定理求出，根据勾股定理可得，即可得，根据勾股定理可求的长．【详解】解：延长交于点E，连接．∵是切线，∴，又∵，∴即，∴，在中，，∴，在中，，故选A．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．(本题3分)下表中列出的是一个二次函致的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（

）x…013…y…464…A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点C．函数的最大值大于6 D．当时，对应函数y的取值范围是【答案】C【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意知，解得，∴二次函数的解析式为y=-x2+3x+4=-(x-4)(x+1)=-（x-）2+，A、a=-1<0，∴函数图象开口向下，故本选项不符合题意；B、与x轴的交点为（4，0）和（-1，0），故本选项不符合题意；C、当x=时，函数有最大值为>6，故本选项符合题意；D、函数对称轴为直线x=，当x=时，函数有最大值为，当x=-1时，y=-x2+3x+4=0，∴当时，对应函数y的取值范围是，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共30分)7．(本题3分)已知，则分式的值为______．【答案】6【分析】根据求得，然后代入求值即可得解．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：6．【点睛】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的约分是解题的关键．8．(本题3分)如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm．【答案】4【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥