什么是数学模型

关于什么是数学模型什么是数学建模数学建模举例数学建模竞赛第2页,共51页，2024年2月25日，星期天数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模数学建模方法：机理分析和测试分析

第3页,共51页，2024年2月25日，星期天近几年数模竞赛题调整加油站计量器乘公交看奥运眼科医院就诊方案确定出版社资源配置长江水质的评价和预测移植器官的分配体系寻找好的卫生保健系统艾滋病的治疗方案确定量化评价上海世博会的影响第4页,共51页，2024年2月25日，星期天模型建模的知识结构范围广、学科多：包括工业、农业、医学、生物学、政治、经济、军事、社会、管理、信息技术等方面。学科知识非常广泛：如微分方程、线性代数、概率统计、图与网络、回归分析、层次分析、量纲分析、机理分析、规划论、排队论、对策论、决策论、插值方法、差分方法、样条方法、变分方法等优化方法，以及计算机的操作和编程。数学建模所需要知识首先是“广”，其次才是“精”。

第5页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模引例从包汤圆（饺子）说起第6页,共51页，2024年2月25日，星期天通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）

今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。V和nv哪个大?Ssss…Vvvv(共n个)从包汤圆（饺子）说起定性分析V比nv大多少?定量分析第7页,共51页，2024年2月25日，星期天假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样

模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮的半径；r~小皮的半径V是nv是倍1.4从包汤圆（饺子）说起第8页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤第9页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第10页,共51页，2024年2月25日，星期天模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤第11页,共51页，2024年2月25日，星期天模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤第12页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第13页,共51页，2024年2月25日，星期天开展数学建模教学的目的1.培养学生的数学素质和创新能力培养学生分析问题和解决问题的能力培养学生的想象力培养学生的洞察力培养学生的判断力培养学生的创新意识第14页,共51页，2024年2月25日，星期天2.培养学生用数学的能力，探索数学教学改革的途径

数学教育应该培养学生两种能力：“算数学”（计算、推导、证明…）和“用数学”（实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用）；

传统数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者；

数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验。

第15页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第16页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第17页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模举例第18页,共51页，2024年2月25日，星期天椅子问题第19页,共51页，2024年2月25日，星期天

把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以使四脚着地放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给出表述，并用数学工具来证实吗？问题的提出

第20页,共51页，2024年2月25日，星期天⑴椅子的四条腿一样长，椅子与地面接触处可视为一个点，四脚连线呈正方形。模型假设：⑵地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。⑶对于椅子脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。第21页,共51页，2024年2月25日，星期天模型的建立AxA’yBB’CDC’D’设A、C两脚与地面距离之和为

B、C两脚与地面距离之和为

其中：第22页,共51页，2024年2月25日，星期天对任何

所满足的条件

不妨设

第23页,共51页，2024年2月25日，星期天建立数学模型(化为数学命题）设是的连续函数，,

且对任意，有则存在使第24页,共51页，2024年2月25日，星期天模型求解由介值定理，必存在使即但故即椅子的四条腿能同时着地。假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子第25页,共51页，2024年2月25日，星期天体重问题第26页,共51页，2024年2月25日，星期天问题的提出问题人体的体重是怎样随时间变化的？人体的体重会达到平衡吗？如何减肥？在一般情况下，人们每天的进食量是相对固定的，所获得的热量一部分用于自身的新陈代谢，一部分用于劳动和体育锻炼，剩余的热量以脂肪小形式贮藏起来。第27页,共51页，2024年2月25日，星期天假设以脂肪的形式贮藏的热量100%地有效，而1kg脂肪含热量10000卡，模型的假设1每天的进食量是2500卡2每天用于基本新陈代谢(即自动消耗)的热量是1200卡在健身训练中，他每天消耗的热量大约是

16卡/kg乘上他的体重(kg)5体重是时间t的函数w(t)，假定w(0)=w0

第28页,共51页，2024年2月25日，星期天模型的建立在时间内考虑能量的改变：所以第29页,共51页，2024年2月25日，星期天模型的求解方程是一个一阶线性非齐次方程，其解为：人体的体重能达到平衡状态第30页,共51页，2024年2月25日，星期天结果分析进食量新陈代谢运动量与体重有关的因素：

1进食量2新陈代谢

3运动量减肥的方法：控制饮食调节内分泌加强运动第31页,共51页，2024年2月25日，星期天人口模型第32页,共51页，2024年2月25日，星期天背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长第33页,共51页，2024年2月25日，星期天指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长第34页,共51页，2024年2月25日，星期天指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第35页,共51页，2024年2月25日，星期天阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第36页,共51页，2024年2月25日，星期天dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第37页,共51页，2024年2月25日，星期天参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第38页,共51页，2024年2月25日，星期天模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0x(2010)=306.0实际为380.0第39页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模竞赛第40页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模竞赛的开展情况

20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模教材较集中地出现在70年代）。

20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）；80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。

1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办，1989年我国大学生开始参加这项竞赛。

1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，1999年有26省（市、自治区）460所学校参加。数学建模竞赛与教学相互促进，估计目前开课的学校约400所（各专业，必修课，选修课，讲座）。第41页,共51页，2024年2月25日，星期天全国大学生数学建模竞赛

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)年份省（市、自治区）数院校数队数1992107931419931610142019942119686719952325912341996253371683199726373187419982640021031999264602241/4162000285172602/6082001285293081/7802002284448全国高校规模最大的课外科技活动第42页,共51页，2024年2月25日，星期天全国大学生数学建模竞赛

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)年份省（市、自治区）数院校数队数200331637540620043272468812005327958492200632846998520073296911742200832102312846200933113715042201033119717317全国高校规模最大的课外科技活动第43页,共51页，2024年2月25日，星期天数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度。大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。第44页,共51页，2024年2月25日，星期天辽宁1994-2008参赛院校数量统计年份19941995199619971998199920002001数量410111110152025年份20022003200420052006200720082009数量27303434354041第45页,共51页，2024年2月25日，星期天辽宁1994-2008参赛队数量统计年份19941995199619971998199920002