新高考数学一轮复习题型归类与强化测试34平面向量的数量积及其应用2

专题34平面向量的数量积及其应用

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：平面向量数量积的基本运算

题型二：平面向量数量积的简单应用

题题型三：两平面向量垂直问题

型题型四：向量数量积的综合应用

归题型五：平面向量的实际应用

类

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

【考点预测】

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和上。是平面上的任意一点，作晶=a,S=b,则/

zo8=e(owewji)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与上它们的夹角为仇我们把数量⑷向cos。叫做向量

a与b的数量积(或内积)，记作ab,即a力=HA|cos夕规定:零向量与任一向量的数量积为0,

即0“=0.

⑶投影向量

一一M

如图，在平面内任取一点。，作(W=a,ON=b,过点〃作直线ON的垂线，

垂足为Mi,则函就是向量a在向量8上的投影向量.oi—看不

设与8方向相同的单位向量为e,a与8的夹角为仇则而1与e,a,。之间的关系为所i=|a|cos

de.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(xi,yx),6=(x2,yi),。为向量a,8的夹角.

(1)数量积：a-b=\a\\b\cos0=x\X2+y\y2.

(2)模：\a\=\fa^a=\lx^-yl.

,c、七小八abXix+yiy2

(3)夹角：cos0=---=一/2丁.

同网\Jxj+y^--\Jxl+yl

(4)两非零向量a_L8的充要条件：ab=0<=>xiX2+V1J2=0.

(5)|®A|W|a|网(当且仅当a//b时等号成立)=|xiX2+yu2|W也彳+式-也彳+比.

3.平面向量数量积的运算律

()®b=Zra(交换律).

(2)痴山=4(a%)=/(劝)(结合律).

(3)(a+b>c=®c+>c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+(a—b)=a2—1)2；

⑵(a±A)2=a2±2ab^b2.

2.有关向量夹角的两个结论

已知向量a,b.

(1)若a与分的夹角为锐角，则口协＞0；若a协＞0,则a与分的夹角为锐角或0.

(2)若a与8的夹角为钝角，则a协＜0；若a协＜0,则a与8的夹角为钝角或兀

【方法技巧】

1.计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义:a-b=\a\\b\cos(a,b).

(2)利用坐标运算，若a=(xi,yi),6=(x2,J2),则a・A=xiX2+yu2.

(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

2.求平面向量的模的方法

①公式法:利用同="及(a±A)2=同2±2々仍+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所

求向量，再利用余弦定理等方法求解.

3.求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos求解时应求出a也同，回的值或找出这三个量之间的关系；

同团

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充票条件

a_Lbo®A=0o|a—A|=|a+A](其中aw0,IWO).

4.用向量方法解决实际问题的步骤

二、【题型归类】

【题型一】平面向量数量积的基本运算

【典例1】(2021•北京)a=(2,l),b=(2,­1),c=(0,l),则(回+5)/=；ab=.

【典例2】在平面四边形48CQ中，已知善=庆7,尸为。(上一点，&=3PD,\AB\

=4,|AD|=3,彳feib的夹角为仇且cos6=：,则叁丽=.

【典例3】在边长为2的正三角形48c中，河是5c的中点，。是线段的中点.①若前＞=

xBA+yBC,贝Ux+y=；®BD-BM=.

【题型二】平面向量数量积的简单应用

【典例1】(2020•全国I)设a,8为单位向量，且|a+〃=l,则|a—臼=.

【典例2】(2020,全国HI)已知向量a,8满足同=5,网=6,ab=-6,则cos(a,a+b)等于

()

31191719

A.--B.--C—D.-

35353535

【典例3】(2020•全国n)已知单位向量a,8的夹角为45。，Az—8与a垂直，则左=.

【题型三】两平面向量垂直问题

【典例11已知向量^^与式的夹角为120°,且港|=3,|iC|=2.^^P=MS+iC,且割，病,

则实数A的值为.

【典例2】已知向量a,8满足同=1,网=2,a~b=(^3,啦)，贝为+2臼=()

A.2/B.2由

C.V17D.V15

【典例3】(多选)设a,8是两个非零向量，则下列命题为假命题的是()

A.若|“+臼=同一网，则a_L8

B.若a_Lb,则|a+)=同一向

C.若|a+〃|=|a|一血,则存在实数九使得8=布

D.若存在实数九使得分=觞，则口+臼=同—网

【题型四】向量数量积的综合应用

【典例1】在△4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,向量股=(cos(Z—8),sin(Z—5)),

n=(cosB,—sinB),且〃〃〃=—：.

⑴求sin/的值；

(2)若a=4/，b=5,求角8的大小及向量房I在比方向上的投影.

【典例2】已知2,B,C分别为△4SC的三边a,b,c所对的角，向量》/=(sinN,sin8),n

=(cosB,cosA),且》r〃=sin2c.

(1)求角C的大小；

(2)若sinZ,sinC,sinB成等差数列，且工•港一心=18,求边c的长.

【题型五】平面向量的实际应用

【典例1】已知平行四边形Z8CO,证明：AC^+BD^l(AB2+AD2).

【典例2】若平面上的三个力B,F2,B作用于一点，且处于平衡状态，已知尸I|=1N,周

=«*也N,Fi与后的夹角为45。，求：

2

(1*3的大小；

⑵B与防夹角的大小.

三、【培优训练】

【训练一】在RtZXZBC中，NC是直角，CA=4,CB=3,△4BC的内切圆与CZ,C8分别切

于点。，E,点尸是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若殍=%诙+延^,则x+y的值可

以是()

A.1B.2

C.4D.8

【训练二】已知｛x)=^|sin词，小，小，4为图象的顶点，0,B,a。为於)与、轴的交点,

线段力3。上有五个不同的点01,02,…，05.记石,。说i=l,2,…，5),则〃F〃5

的值为()

.15[2c/U八45n156

A.73B.45C.-D.

224

【训练三】定义两个平面向量的一种运算“6=|外回sina,b,则关于平面向量上述运算的

以下结论中，

①妙方=旅)〃；

②2(口m)=(居)幼；

③若〃=劝，贝I]a®b=0；

④若Q=劝且尢＞0,则(。+〃)初=(a®c)+(b⑻c).

正确的序号是.

【训练四】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点/(I,0)和点5(—1,0'

0),\oc\=\,且/幺。。=仇其中。为坐标原点..,

BOAx

(1)若。=，，设点。为线段CM上的动点，求|沆+而|的最小值；

(2)若2d，向量阳=庆?，«=(1—cos0,sin0—2cos0),求》r〃的最小值及对应的。值.

【训练五】已知在△4BC中，角Z,B,C的对边分别为a,b,c,向量加=(sinZ,sinB),

(cosB,cosA),mn=sin2C.

(1)求角。的大小；

(2)若sinZ,sinC,sin8成等差数列，且工•港一而=18,求c.

【训练六】在△48C中，NN,/B,NC的对边分别为a,b,c,已知向量阳=(cos8,2cos2

g-l),n=(c,b—2a),且/w・〃=0.

(1)求NC的大小；

(2)若点。为边48上一点，且满足就)=第，|前尸S，c=2®求△4BC的面积.

四、【强化测试】

【单选题】

［已知向量a=(左,3),b=(l,4),c=(2,1),R(2a-3b)±c,则实数向=()

915

A.--B.OC.3D.—

22

2.已知a,b是相互垂直的单位向量，与a,b共面的向量c满足ac=bc=2,则c的模为()

3.若两个非零向量a,8满足|a+〃=|a—勿=2同，则a—8与8的夹角为()

4.已知a=(—2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a—2A)，c,则与b共线的单位向量为()

f2^5_<|屋屿

B.I55J或I5'5J

75

5.在等腰三角形45c中，点。是底边4B的中点，若善=(1,2),CD=(2,t),则|①|等于

A.^5B.5C.2卡D.20

6.a,8为平面向量，已知a=(2,4),a—26=(0,8),贝Ia,b夹角的余弦值等于()

43

A.B.

55

7.若向量砺i=(l,1),砺2=(—3,—2)分别表示两个力Fi,Fi,则尸1+玳为()

AA/10B.2\[5

C#D.V15

8.已知a,b,c均为单位向量，a与分的夹角为60。，则(c+a>(c—2A)的最大值为()

A.1B.3

C.2D.3

【多选题】

9.(多选)下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的是(

A.(a+b)c=irc+bc

D.|a—〃W同+回

10.如图，点4B在圆。上，则成•就的值()

A.与圆。的半径有关

B.与圆。的半径无关

C.与弦45的长度有关

D.与点4B的位置有关

11.设db,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()

A.(a〃)c—(c«)6=0

B.\a\—\b\<\a-b\

C.(bc)a—(ac)b不与c垂直

D.(3a+2〃).(3a—2〃)=9同2—4回2

、、

12.已知Cl,«2是两个单位向量，丸£R时，|«1+初2|的最小值为；则®1+«2|等于()

A.1B.^3C.3D.2

【填空题】

13.设向量a=(—1,2),b=(m,1),如果向量a+2A与2a—8平行，那么a与分的数量积等

于.

14.已知点MN满足|庆|=|您|=3,^.\CM+CN\=2\f5,贝U跖N两点间的距离为.

15.若非零向量a,1满足同=3血=|a+2例,则a与4夹角的余弦值为.

16.已知向量a,b,其中同=3，\b\=2,且(a—则向量a和分的夹