2023届福建省永泰县第二中学高三年级上册10月月考数学试题

2023届福建省永泰县第二中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1.全集U=R,且4={8||%-1|>2},B={X|X2-6X+8<0},则@4)B=()

A.{x|-t,x<4}B.{x|2<x<3}

C.{x|2<A;,3}D.{x|-l<x<4}

【答案】A

【分析】化简集合A,根据集合的补集、并集运算即可.

【详解】全集U=R,4=卜|上一力2}={+<_1或x>3},B={X|X2-6X+8<0}={X|2<X<4},

所以,A={x|-l领k3},所以@A)B={x|-L,x<4},

故选：A.

2.若tan〃=3,贝18cos2，+2sin26=()

A.—B.C.—2D.2

55

【答案】D

【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系可得8cos2®+2sin2e=88sl+4sin£cos，，化弦为切结

sin26»+cos2(9

合已知即可得解.

【详解】解：8cosZ+2sin2e=8co%+4sin%os0

sin2(9+cos2<9

8+4tan<98+12^2

一tai?6+l-9+1—•

故选：D.

14

3.己知直线2如+肛—4=0(相>0,〃>0)过函数y=log,(x—l)+2(〃>0,且。工1)的定点T,则一+一

mn

的最小值为()

A.4B.6C.3+20D.3+2指

【答案】C

［分析］根据y=log„(X-1)+2求出点T,再代入直线方程得到m+^=\,最后利用基本不等式里“1”

的妙用求最值.

【详解】函数丫=唾,,(》—1)+2过定点(2,2),所以7(2,2),

yj

将7(2,2)代入直线2必+鹿了一4=0,得4m+2〃=4,即加+］=1,

因为m>0,n>0,

所以，i+:4二1+%+JL+222,也上+3=2&+3,

mnn2mvn2m

当且仅当士"=='-，即加=虚-1，〃=4一2加时"="成立.

n2m

故选：C.

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，得到函数为奇函数，排除A,再根据函数的零点个数排除D选项,

根据在y轴左侧附近时，y>。排除C,选出正确答案.

r（、—cos3x_cos3x

【详解】由于町=/=7"丁手

3、

cos3x

=-“X),

3X-3-V

••./（x）是奇函数，图像关于原点对称，排除A,

令/（x）=0,得cos3x=0,

兀

3x=E+—,keZ,

2

.E兀,„

••x=----1—,keZ,

36

...函数/,（X）有无数个零点，排除D.

当xe（0系），y>0,排除C.

故选：B.

5.已知/（x）是定义在R上的奇函数，/（X+2）为偶函数，且当0<x42时，/（X）=log?2x,则/（2022）=

()

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】B

【分析】由f3+2)为偶函数，结合/(x)为奇函数，可得/(x)以8为周期的函数，从而根据已知的

解析式可求出“2022).

【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数，故可得/(另=-/(-x),

又/(x+2)为偶函数，所以有：/(x+2)=/(-x+2),

所以，有/(x+2)=—〃x—2),BP/(x+4)=-/(x)

所以f(x+8)=—/(x+4)=/(x),故以8为周期，

故“2022)="252x8+6)="6)=/(-2)=-〃2).

因为当0<x42时，/(x)=log,2x,

所以/(2022)=-/(2)=-log24=-2.

故选：B

6.已知函数是定义在R上的偶函数，且在(-<»,0]〃=〃1-5)/=/1082；卜=/(0.2°5),

则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.c>a>b

C.b<c<aD.c>b>a

【答案】B

【分析】由偶函数性质变形(1脸£]=〃1叫3),然后由对数换底公式、对数函数性质比较log?3,

logQ大小，再由指数函数性质结合中间1比较0.2°5与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论.

【详解】函数/(力是定义在R上的偶函数，且在(F,0]上是单调递增的，所以

5

,/^log21j-/(log23),log23=log49>log45>l,0<0.20-<l,所以c>a>b,

故选：B.

5215

7.设a=r为=lnypc=sinjp则()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.h<c<a

【答案】A

【分析】构造函数“X)=x-sinx(|>x>0)和g(x)=ln(l+2x)-<x<；),利用导数求解单调性,

即可判断.

【详解】当x《0,夕时，记/(x)=x—sinx,则/'(x)=l—cosx之0,故/(处在x《0,热单调递增,

故/(x)>”0)=0,因此得当xe(0,9时，x>sinx,故Qsin、，即"c；

/?-a=ln^---^-=lnfl+2x^-^-,设g(x)=ln(l+2x)-x(0<x<；),则&-a=g(d，因为

l-2x

g'(x)=--------1=

l+2xl+2x

当0<x<g时，g'(x)>0.所以g(x)在(0,；)上单调递增，所以g(K)>g(O)=O,即">〃，所以

b>a>c,

故选：A

二、多选题

8.若函数/(x)=上单调，则。的取值可以是()

A.1

【答案】AC

［分析］方法一：首先求得0x+］eG(y+5，?<v+9(0>O),由/(x)在(看,上单调可构造不

等式组，结合®>0可确定%所有可能的取值，由此可得。的范围，进而确定选项；

方法二：利用诱导公式可化简得到〃x)=-sin<yx,得到£&<的<£0,根据£0-£04万，可确

6336

TT

定石。W2乃，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得①的范围，进而确定选项.

【详解】方法一：当时，GX+g++，

—a)+—>-7r+2k九

62(丘z),

-CD+-<2k7l

32

33、

-3+12kWgW5+6k(kGZ)或—9+12k«W-5+6k(Z£Z)；

333113

由一3+12Z;+6女得：k<--又2+6%>0,:.k>~；一一<k<-

242444f

3(3-

又ZcZ,/.A：=0,-3<ey<—,又。>0,：.coe\0,—；

2I2」

353

由一9+12AK——+6%得：k<~；又——+6攵>0,

242444

99

又ZEZ,:.k=\,:.3<co<-即@£3,-；

21L2_

综上所述：诋(°，|3,1.

方法二：=cos[s+]]=-sins®>。)，

(7r7ry7i%

当百时，—CO<CDX<—CO^

163J63

〃x)在仔，口上单调，・•・1G-£G=94)

:.—a)<27r；

(63J3663

7tTC八兀、兀

—>—CO>0—CD>—

TiJI:"或67,解得：或3404苫，

由一一/工2万知：

637t/7171,3冗22

(39

/.69e0,—3,—

【2」[2.

故选：AC.

9.函数y=Asin(fyx+e)(A>O,0>O,O<e<7t)在一个周期内的图象如图所示，贝！］().

A.该函数的解析式为>=2川|》+"

B.该函数图象的对称中心为keZ

C.该函数的单调递增区间是。航-弓,3E+：｝keZ

D.把函数y=2sin(x+g)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的|倍，纵坐标不变，可得到该函数

图象

【答案】ACD

【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.

A=2,周期7=号=4(兀一；)=3兀，

【详解】由题图可知,

所以02则y=2sin]|x+。)

3

..[27T]_.f71I1

因为当w时,y=2sinl—x—+^>l=2,EnnpsinI—4-I=I,

所以7+9=—H2kit,keZ,即e=i+2E,keZ,

623

又0<e<7i,故9=],从而y=2sin(|x+1],故A正确；

27c713

令一xH—=kit,ZeZ,得工=---1—kn,kwZ,故B错误;

3322

jr27rIT

令——+2/：7t<—x+—<—+2^71,ZeZ,

2332

得———\-3kii,keZ,故C正确；

44

函数y=2sin(x+方)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变，

可得到y=2sin(gx+g),故D正确.

故选：ACD.

10.已知函数/(x)=e*+eT-cos2x,若〃%)>/&),则()

A.为偶函数B.“X)在(田,0)上为增函数

C.xf>x}D.e*f>l

【答案】AC

【分析】对A,根据偶函数的定义判断即可；对B,求导分析函数的单调性即可；对C,根据函数

的单调性与奇偶性判断即可；对D,根据国-々>。不一定成立判断即可.

【详解】对A,因为/(-x)=eT+e'-cos(-2x)=e'+er-cos2x=/(x),所以为偶函数，故A

正确；

对B,r(x)=e-e-，+2sin2x,当0,,x<四时，ev-e-'J®),2sin2x0,所以r(同..0,当xg时，

^-e-^-^>e-e-'>2,2sin2X一2，所以附勾>°，所以在乩+⑹上单调递增，因为“引

为偶函数,所以/(x)在(-8,0)上为减函数，故B错误；

因为/(%)>/(%),所以/(|刈>/(同)，又因为“X)在［0,+©)上递增，所以R>同，即x；>x；,

故C正确；

显然±-七>0不一定成立，则不成立，故D错误.

故选：AC

11.已知函数“X)的定义域为R，且〃x)+〃x+2)=2.若〃x)的图象关于点(1,1)对称，"0)=0,

贝I()

A."2)=4B.“X)的图象关于直线x=2对称

5

c.f(x)=f(x+4)D.Z/(2Q=12

k=0

【答案】BC

【分析】根据对称性得到/(x)+/(-x+2)=2,再结合题意得到/(-x+2)=f(x+2),即可判断B,

再在/(x)+/(x+2)=2令x=0,即可判断A,结合前面的条件可以得到〃x)=〃x+4),即可判断

C,最后根据周期性判断D；

【详解】解：因为/(X)的图象关于点(1,1)对称，所以f(x)+/(—x+2)=2,又〃x)+/(x+2)=2,

所以/(—x+2)=〃x+2),

所以/(x)关于直线x=2对称，故B正确；

因为〃0)+/(2)=2,40)=0,所以/(2)=2,故A错误;

由/(x)+/(x+2)=2,所以/(x+2)+/(x+4)=2,又/(x)+/(—x+2)=2,且/(—x+2)=/(x+2),

所以f(x)=/(x+4),故C正确;

5

\7(2幻=/(0)+〃2)+〃4)+〃6)+48)+〃10)=3/(0)+3〃2)=6,故口错误；

4=0

故选：BC

三、填空题

12.幕函数〃x)=(/-3%+3)/3"+6在(0,+向上单调递减，则机的值为.

【答案】2

【分析】利用基函数定义求出机值，再借助基函数单调性即可判断作答.

【详解】解：因为函数〃》)=(源-3加+3)/*=是基函数，

则有w2-3/n+-3=1,解得〃?=1或m=2,

当帆=1时，函数f(x)=x在(Ojw)上单调递增，不符合题意，

当加=2时，函数/*)=尤-2在(。,内)上单调递减，符合题意.

所以加的值为a=2

故答案为：2

13.已知x>l,无Fl的最小值为.

X—1

【答案】2拒

【分析】将所求代数式变形为结合基本不等式，即可求解.

x-lx-1

【详解】由x>l,则X2_2X+3=(XT)-+2=XT+2/Z=2A,

x-1x-lx-\v7x-l

2

当且仅当工-1=—；时，即x=&+l时取等号，此时取得最小值2近.

x-1

故答案为：20

14.已知cos（^-a］=|,则$沿仁+2"）=.

【答案】J

【分析】先找到J-。与m+2a的关系，再利用诱导公式与倍角公式求解即可.

66

【详解】因为2仁一“+e+24二会所以

sin（奈+2。）=siny-2^一=cos2（看一〃）=2cos2（看一〃）-1=2乂［-1=一］

故答案为：-；.

9

15.已知函数/（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时,r（-x）>2/（x）,且"3）=0,则不等式

/（力>0的解集为.

【答案】（一3,0）1_（3,+8）

【分析】利用奇函数的性质得到了'（-x）=If（x）,再根据不等式构造函数世月=萼，分析函数

e-

/?（"=绰在x>0时的单调性，根据单调性、奇偶性和/（3）=0解不等式即可.

e-

【详解】因为/（X）为奇函数，定义域为R，所以

f（T）=-/（X）=-（T）=-尸（X）=f（T）=/（X）,"0）=0,

又因为x>0时,r（-x）>2〃x）,所以为（x）>2f（x）,

构造函数〃（乂）=雪，所以/（X）J（x）：ya）,

e~e-'

所以当x>0时,〃'（x）>0,%（x）在（°，+8）上单调递增,

又因为"3）=0,所以为3）=0,〃（x）在（3,内）上大于零，在（0,3）上小于零，

又因为e2»>0,所以当x>0时，〃x）在（3,y）上大于零，在（0,3）上小于零，因为f（x）为奇函数,

所以当x<0时，〃x）在（F,-3）上小于零，在（-3,0）上大于零，

综上所述：“力>0的解集为（-3,0）53,内）.

故答案为：（-3,0）7（3,内）.

【点睛】常见的函数构造形式:

①g(x)=e*V(x),g，(x)=e"如(切+广(切；

②gGhf，，(力=生粤3・

四、解答题

16.已知函数/(x)=4sin1<wx-Wjcos3x在x=：处取得最值，其中0《(0,2).

⑴求函数f(x)的最小正周期；

(2)将函数J")的图象向左平移嚷个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标

不变，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)+左=0在[0,河上有解，求实数上的取值范围.

【答案】(l)T=g27r

(2)[>/2-2,72+1]

【分析】(1)由题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；

(2)转化为&=-g(x)在[0㈤上有解，再求正弦型三角函数的值域即可得解.

【详解】(1)/(x)=4sin^(»x-Yycosa)x=2A/2sin-coscox-242cos2cox

c兀

=&sin26yx-&cos26yx-0=2sin2a)x----)-72,

4

因为在x=£处取得最值，

4

7TTT7T3

所以2G•上一上=/+勺，kwZ,即。=2%+2，keZ,

4422

3

因为。€(0,2),所以当火=0时，0=/,

则f(x)=2sin(3x-£|-0,所以7=

(2)将函数Ax)的图象向左平移翁个单位，

36

得y=2sin-^=2sin(3x-^->/2,

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变,

71

得g(x)=2sinX--

因为当时，-二Wx-二4型,

666

所以一;Wsin卜71

41，g(x)£-,

因为方程g(x)+Z=O在。巾上有解，所以k=-g(x)在。力上有解，

所以ke[层2,&+1],

即实数k的取值范围为[夜-2,应+1].

17.已知函数/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求曲线V=/(x)在x=0处的切线方程；

(2)当xw[0,2n]时,求函数f(x)的最值.

【答案】(I)y=-1

3

⑵兀+

【分析】(1)求导，利用导数即可求解斜率，根据点斜式即可求解切线方程,

(2)利用导数确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由/(x)=x-sinx-cofix,得=l-cosx+sinx,

所以，/(o)=-i,r(o)=o.

所以曲线y=/(x)在x=o处的切线方程为y+l=0,即y=-l.

(2)令r(x)=l+&sin[x-：J>0,贝—苧，因反匕

IFITSTT_371

——+2kji<x——<—+2E=2E<x<—+2kn,kGZ,

4442

由于xe[0,2兀],故

故函数y=/(x)在(o]兀)上递增，在总兀，2兀)上递减，

故/(%=/(|五)=|兀+"*濡=111出{〃0),〃2兀)}=-1

18.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙

、不重叠地铺成一片.皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为

测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形ABCD(图2)中，AB=5,BC=8,ZABC=60°.

⑴若CA=5,AD=3,求平面凹四边形ABCD的面积；

(2)若NA0C=120。，求平面凹四边形A6C£>的面积的最小值.

【答案】(1)空叵；

4

⑵

12

【分析】(1)利用余弦定理可得AC=7,然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得;

（2）利用余弦定理及基本不等式可得S.c4”叵，进而可得平面凹四边形ABCC面积的最小值.

A。。12

【详解】（1）如图，连接AC,

在.ABC中，AB=5,8c=8,ZABC=60°,

由余弦定理，得，AC=yjAB123+BC2-2AB-BC-cosZABC=7>

在2As中，AT>=3,CD=5,AC=7,

AD2+CD2-AC?32+52-721

cosZADC=

2ADCD2x3x52

sinZ.ADC=

2

SAoc=gx3x5x曰=q^,又S诋=；x8x5x日=105/5,

S四边形ABCO=-S^ADC二3呼普

(2)由(1)知，AC=7,

ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC,

49=AD2+CD2+ADCD>3ADCD,当且仅当AO=CQ=冬，5时等号成立，

3

49

ADCD^—

3f

1490

..S=一皿85巾120。.」^，

ADnrC212

',$四边形A8CD=S^ABC-'△A*—1。栏一S^ADC-已'

.•.当且仅当AQ=CO=Z叵时，平面凹四边形ABC。面积取得最小值小8.

312

19.春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已

知某火车站候车厅，候车人数与时间，相关，时间，（单位：小时）满足0O424,fwN.经测算，

当16Md24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当0<”16时，候车人数会减少，

减少人数与W6-，）成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为了（，）.

（1）求/⑺的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为P=若照+320,则一天中哪个时

间需要提供的矿泉水瓶数最少？

,、5160-20/(16-r),(0<z<l)、

【答案】⑴/⑺=b60(164Y247S/),候车厅候车人数为4200人

（2"=10时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入（6,3960）,可得解析式，代入f=12,可得答案;

（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小,可得答案.

【详解】（1）当0＜，＜16时，设/⑴=5160-碗6-f）,/（6）=3960,贝必=20,

5160-20/(16-/),(0</

<l)z、

・•.〃/)=<(feN).

5160,(1641424)

/(⑵=5160-20x12x4=4200,

故当天中午12点时;候车厅候车人数为4200人.

100

2