莆田市重点中学2023年数学九年级上册期末检测试题含解析

莆田市重点中学2023年数学九上期末检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.以P（—2,-6）为顶点的二次函数是（）

A.y——5（x+2）"+6B.y——5（x—2）-+6

C.y=5（x+2）~—6D.y—5（x—2）~—6

2.AABC中，ZC=90°,内切圆与AB相切于点D,AD=2,BD=3,则AABC的面积为（）

A.3B.6C.12D.无法确定

3.已知y是x的反比例函数，下表给出了X与），的一些值，表中处的数为（）

X-113

y3-3▲

A.3B.-9C.1D.-1

4.下列语句中正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

5.如图，在平行四边形ABCD中，点M为AD边上一点，且AM=2DM，连接CM,对角线BD与CM相交于点N,若CDN

C.11D.12

6.—「的相反数是（）

2019

]__1_

A，2019B，-2019C.2019D.-2019

7.已知。4,OB是圆。的半径，点C,。在圆。上，且。4//8C,若NA£>C=26°,则E8的度数为（）

D

A.30°B.42°C.46°D.52°

Y—3

8.若分式—7的值为0,则x的值为（）

x+4

A.3B.-3C.4D.-4

9.顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（）

A.平行四边形B.菱形C.梯形D.正方形

k

10.如图，反比例函数y=—（攵WO）的图象上有一点A,AB平行于x轴交y轴于点B,△ABO的面积是1,则反比

x

例函数的表达式是（）

11.若关于X的一元二次方程（〃2-1）/+5%+m2-3机+2=0有一个根为0,贝IJ用的值（）

A.()B.1或2D.2

12.如图，AABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置.如果AABC的面积为10,且

sinA=@，那么点C的位置可以在（）

5

A.点G处B.点C2处C.点C3处D.点C4处

二、填空题（每题4分，共24分）

13.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平

距离X（米）的函数解析式是y=-|/+10x（04x44）.水珠可以达到的最大高度是（米）.

14.某校棋艺社开展围棋比赛，共加位学生参赛.比赛为单循环制，所有参赛学生彼此恰好比赛一场.记分规则为：

每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，若所有参赛者的得分总和为76分，且平局的场数不

超过比赛场数的:，则机=.

15.投掷一枚材质均匀的正方体骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率等于.

16.如图，AA'3'。是AABC以点。为位似中心经过位似变换得到的，若。8':8'5=2:1,则AA'3'C'的周长与

AABC的周长比是.

17.在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为:，则袋中红球的

个数为.

18.AGl,yJ,B（-2,%）,两点都在二次函数y=的图像上，则匕与外的大小关系是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）用配方法解方程：x2-6x=l.

20.（8分）车辆经过某市收费站时，可以在4个收费通道4、8、C、。中，可随机选择其中的一个通过.

（1）车辆甲经过此收费站时，选择A通道通过的概率是—;

（2）若甲、乙两辆车同时经过此收费站，请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率.

21.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,AO为边上的中线AB于点E

（1）求证：BDAD=DEAC.

（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.

（3）在（2）的条件下，求COS/B0E的值.

22.（10分）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高在课外活动时间测得下列数据：如图，从

地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C

点（A、C、8在同一条直线上且与水平线垂直）2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高。（结果精确到0.1米，

布＞F.732).

23.(10分)在矩形ABCD中，。是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF

24.(10分)一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球1个，若从中随

2

机摸出一个球，这个球是白球的概率为一

3

(1)求袋子中白球的个数

(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率.

25.(12分)如图，四边形ABCD是正方形，连接AC,将AABC绕点A逆时针旋转a得连接CF,0为CF

的中点，连接OE,OD.

(1)如图I,当a=45°时，求证：OE=OD；

(2)如图2,当45°<a<90°时，(1)=还成立吗？请说明理由.

图1图2

26.如图，在四边形ABC。中，ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点0,AC平分NR4Q,过点。作

交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)若AB=#,BD=2,求OE的长.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【解析】若二次函数的表达式为y=，〃(x-a)2+b,则其顶点坐标为(a,b).

【详解】解：当顶点为「(一2,-6)时，二次函数表达式可写成：y=m(x+2)2-6,

故选择C.

【点睛】

理解二次函数解析式中顶点式的含义.

2、B

【分析】易证得四边形OECF是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r,BC=3+r,AB=5,根据勾股定理列方程即

可求得答案.

【详解】如图，设OO分别与边BC、CA相切于点E、F,

连接OE,OF,

分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,

ADE±BC,DF±AC,AF=AD=2,BE=BD=3,

.\ZOEC=ZOFC=90°，

VZC=90°,

J四边形OECF是矩形,

VOE=OF,

，四边形OECF是正方形，

设EC=FC=r,

AAC=AF+FC=2+r,BC=BE+EC=3+r,AB=AD+BD=2+3=5,

在&△ABC中，AB2=BC2+AC2

52=（3+r）2+（2+r）2,

工r2+5尸一6=0,

即r—lr+6=0,

解得：尸=1或厂=-6（舍去）.

JOO的半径r为1,

•••SABC=〈6CXAC=；X（3+1）（2+1）=6.

故选：B

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法，注意

数形结合思想与方程思想的应用.

3、D

【分析】设出反比例函数解析式，把x=-l,y=3代入可求得反比例函数的比例系数，当x=3时计算求得表格中未

知的值.

【详解】>是x的反比例函数，

k

一，

x

x--\,y=3,

k—xy——1x3——3,

二当x=3时，

故选：D.

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标适合函数解析式，在同一函数

图象上的点的横纵坐标的积相等.

4、D

【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案.

详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中,

相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D.

点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型.理解圆的性质是解决这个问题的关键.

5、C

【分析】根据平行四边形判断△MDNsaCBN,利用三角形高相等,底成比例即可解题.

【详解】解：•••四边形ABC。是平行四边形,AM=2OM,

二易证△MDNs^CBN,

MD:BC=DN:BN=MN:CN=1：3,

；.S谢:S△丽=1:3,SADNC：SAABD=1:4,（三角形高相等，底成比例）

,:S«DN=3,

**•SAMt>N=l,SADIiC=3,SziMD=12,

s四边形ABNM=11,

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，中等难度,利用三角形高相等,底成比例是解题关

键.

6、A

【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案.

【详解】解：一盛的相反数是：3历・

故选A.

【点睛】

此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

7、D

【分析】连接OC,根据圆周角定理求出NAOC,再根据平行得到NOCB,利用圆内等腰三角形即可求解.

【详解】连接CO,

■:ZADC=26°

.,.ZAOC=2ZA£>C=52°

'：OA//BC

.*.ZOCB=ZAOC=52°

VOC=BO,

.*.DB=ZOCB=52o

故选D.

【点睛】

此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.

8、A

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可.

X—3

【详解】解：•.•分式-7的值为1,

x+4

x-2=l且x+4^1.

解得：x=2.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.

9、A

【解析】连接AC、BD,根据三角形的中位线定理得到EH〃AC,EH=[AC,同理FG〃AC,FG=-AC,进一步

推出EH=FG,EH〃FG,即可得到答案.

【详解】解：连接AC、BD,

YE是AD的中点，H是CD的中点，

.,.EH=-AC,

2

1

同理FG=—AC,

2

.,.EH=FG,

同理EF=HG,

二四边形EFGH是平行四边形，

故选：A.

本题考查了中位线的性质，平行四边形的判定，属于简单题，熟悉中位线的性质是解题关键.

10、C

【分析】如图，过点A作ACLx轴于点C,构建矩形ABOC,根据反比例函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC

的面积.

【详解】如图，过点A作AC±x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，

k=2或k=-2.

又•.•函数图象位于第一象限，

/.k>0,

：.k=2.

2

则反比函数解析式为y=—.

x

故选C.

【点睛】

此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.

11、D

【分析】把x=l代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值;注意二次项系数不为零,即

【详解】解：根据题意，将x=l代入方程，得：m2-3m+2=l,

解得：m=l或m=2,

又即n#l,

:.m=2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义.注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1丹这一条件.

12、D

【解析】如图：

,•*AB=5,S4ABe=1°,；•DC4=4,sinA=，:*—————^―,AC=4y/s,

55ACAC

22

•••在RTAADC,中，DC4=4,AD=8,.IAC4=78+4=4占，故答案为D.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、10

【解析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.

【详解】解：y=-|x2+10x=-|(x2-4x)=-|(x-2)2+10,当x=2时，y有最大值10,

故答案为：10.

【点睛】

利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.

14、1

【分析】设分出胜负的有x场，平局y场，根据所有参赛者的得分总和为76分，且平局的场数不超过比赛场数的;列

出方程与不等式，根据x,y为非负整数，得到一组解，根据机为正整数，且吗二D=x+y判断出最终的解.

【详解】设分出胜负的有x场，平局y场,

3x+y=76

由题意知，，1

y<-(x+y)

解得，x>2\-,

7

•:x,y为非负整数，

x=22x=23x=24x=25

•••满足条件的解为：1=7

y=10>y=4y=l

..m(m-l)

2

x—24

此时使，〃为正整数的解只有《，，即m=8,

y=4

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，一元二次方程的综合应用，本题注意隐含的条件，参赛学生，胜利的场

数，平局场数都为非负整数.

1

15、-

2

【解析】分析：利用概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生的可能性都相等，事

n

件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A尸一，即要求解.

m

详解：•••骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，

点数为2的倍数的有3个，分别为2、4、6；

31

.•.掷得朝上一面的点数为2的倍数的概率为：-=

62

故答案为：工.

2

点睛：本题考查了概率公式的知识，解题的关键是利用概率=所求情况数与总数之比进行求解.

16、2：1

【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可.

【详解】解：由题意可得出，AB:AB=OB:(BB+OB)=2:3

VAA'BC的周长与AABC的周长比=AB:AB=2i3

故答案为：2：1.

【点睛】

本题考查的知识点是位似变化，根据题目找出两个图形的位似比是解此题的关键.

17、5

【分析】等量关系为：红球数：总球数=：,把相关数值代入即可求解.

X1

【详解】设红球有X个，根据题意得：—

153

解得：x=l.

故答案为1.

【点睛】

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18、》|〉必

【分析】根据二次函数的性质，可以判断yi,y2的大小关系，本题得以解决.

【详解】•.•二次函数y=—gf+i,

.•.当xVO时，y随x的增大而增大，

・・・点A(-l,y)8(-2,%)在二次函数y=--x2+l的图象上，

V-l>-2,

M>%，

故答案为：弘>为.

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

三、解答题(共78分)

19、xi=3-A/1O，X2=3+V1O.

【分析】根据配方法，可得方程的解.

【详解】解：配方，得

x2-6x+9=l+9

整理，得(x-3)2=10,

解得X1=3-*2=3+Jid.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知配方法解方程.

13

20、(1)—；(2)—,图见解析

44

【分析】(1)根据概率公式即可得到结论；

(2)画出树状图即可得到结论.

【详解】(1)共有4种可能，所以选择A通道通过的概率是上.

4

故答案为：

4

(2)两辆车为甲，乙，如图，

开始

两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果,

123

工选择不同通道通过的概率二二二一.

164

13

故答案为⑴"⑵"图见解析

【点睛】

本题考查了概率公式中的等可能概型，和利用树状图解决实际问题，正确画出树状图是本题的关键.

21、(1)见解析；(2)£>£=—；(3)cosZBDE^—.

1313

【分析】(1)先利用等腰三角形的性质证明NB=NC,AD±BC,然后再证明△BDEs2\CAD即可;

(2)利用勾股定理求出AD,再根据(1)的结论即可求出DE；

(3)在RtZkBDE中，利用锐角三角函数求解即可.

【详解】解：(1)证明：•••AB=AC,AD为BC边上的中线，

.,.ZB=ZC,AD1BC,即NADC=90°,

XVDEXAB于点E,即NDEB=90。，

.,.ZADC=ZDEB,

/.△BDE^ACAD,

•BD__D__E

••~一,

ACAD

.♦.BD-AD=DE・AC；

(2)：AD为BC边上的中线，BC=10,

r.BD=CD=5,

在Rt^ABD中，AB=13,BD=5,

，AD=4132-52=12,

由(1)得BD・AD=DE-AC,

又：AC=AB=13,

.,.5xl2=13DE,

(3)由(2)知，DE=—,BD=5,

13

60

.•.在RtZkBDE中，/"clDEB12.

cosNBDE------=-=——

BD513

【点睛】

本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及余弦的定义

是解题的关键.

22、AC=6米；CD=5.2米.

【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出的长.

【详解】解：由题意得，A3_LE5,CDLAE,

：.ZCDA=ZEBA=90a,

VZ£=30",

：.AB=-AE=S^:,

2

,:BC=2米,

：.AC=AB-BC=6^,

VZDCA=90°-NZMC=30°,

.•.CZ）=ACXcosNOCA=6X@q5.2（米）.

本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟

练掌握直角三角形的边角关系.

23、见解析

【解析】试题分析：首先根据题意画出图形，再证明—。石丝C0R进而得到AE=C凡再根据垂直平分线的性质

证明AE=CE=AE=CF,可得四边形AEb是菱形.

试题解析：

证明：如图所示，

ED

•.•。是AC的中点，

：.AO=CO,

又V在矩形A8C。中//〃C,

.*.Z1=Z2

...在△AOE和△CO尸中，

Zl=Z2,AO=CO,ZAOE=4COF=90,

二△AOEgZXCO尸(ASA),

：.AE=CF,

又•；EF是AC的垂直平分线，

：.AE=CE,AF=CF,

：.AE=CE=AF=CF,

•••四边形AEC厂是菱形.

点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

四条边相等的四边形是菱形.

4

24、(1)袋子中白球有2个；(2)P(两次都摸到白球)=-

9

【分析】(1)设袋子中白球有x个，根据摸出白球的概率=白球的个数+红、白球的总数，列出方程即可求出白球的个

数；

(2)根据题意，列出表格，然后根据表格和概率公式求概率即可.

X2

【详解】解：(1)设袋子中白球有X个，则

1+X3

解得x=2,

经检验x=2是该方程的解，

答：袋子中白球有2个.

(2)列表如下：

红白1白2

红（红，红）（红，白1）（红，白2）

白1（白1,红）（白1,白1）（白1,白2）

白2（白2,红）（白2,白1）（白2,白2）

由上表可知，总共有9种等可能结果，其中两次都摸到白球的有4种，

4

所以P（两次都摸到白球）=§

【点睛】

此题考查的是根据概率求白球的数量和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键.

25、（1）详见解析；（2）当45°<a<90°时，OE=8成立，理由详见解析.

【分析】（1）由旋转的性质得：AF=AC,NAEE=N8=90',AE=A6,根据直角三角形斜边中线的性质可得

OD=-CF,OE=-CF,进而可得OD=OE；

22

（2）连接CE、DF,根据等腰三角形的性质可得NACF=NAFC,利用角的和差关系可得NE4C=ND4尸，利用

SAS可证明△ACEgZkAFD,可得CE=DF,NECA=NDFA,利用角的和差关系可得NECO=NOR?,利用SAS

可证明△EOCgADO