福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中数学试题一、选择题1.设复数z满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，.故选：D2.已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得当时，，故选项A不正确；，当时，，故选项B不正确；当时，，故选项C不正确；因为，所以，故选项D正确.故选：D.3.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（）A.2 B. C.2或 D.或〖答案〗C〖解析〗向量，不共线，且，，与共线，所以存在实数，使得，所以，求得实数或．故选：C．4.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.5.若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097〖答案〗C〖解析〗由展开式的通项公式为，所以一次项系数，二项式系数和，令，则所有项的系数和，所以.故选：C.6.已知角θ的大小如图所示，则＝（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗由图可知所以，则，故选：C.7.已知，，且，则的最小值为（）A.3 B. C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗令，，则，则可化为，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），则的最小值为3.故选:A.8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以所以，当时也符合上式，故，则数列的通项公式，则数列的前2022项之和为．故〖答案〗为：4045．二、多项选择题9.已知直线，其中，下列说法正确的是（）A.当时，直线与直线垂直B.若直线与直线平行，则C.直线过定点D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，此时，直线与直线垂直，A对；对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；对于C选项，对于直线，由可得，所以，直线过定点，C对；对于D选项，当时，直线的方程为，即，此时，直线在两坐标轴上截距不相等，D错.故选：AC.10.已知函数，则（）A.的最大值为3 B.的最小正周期为C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递减〖答案〗BC〖解析〗所以的最大值为，故选项A不正确；的最小正周期为，故选项B正确；因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确；令，解得：，所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确，故选：BC.11.已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（）.A.平面QBCB.设三棱锥和的体积分别为和，则C.平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍D.二面角的正切值为〖答案〗BCD〖解析〗∵同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，∴PQ为球O的直径，取AB的中点M，连接PM、QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，设底面的中心为N，P到底面的距离为h，球的半径为R，则PN=h，OP=R，ON=R－h，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四点共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；由QN=4PN，可得，故B正确；∵平面ABC截球O所得的截面面积为，球O表面积为，∴平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍，故C正确；∵，∴，，∴，即二面角的正切值为，故D正确.故选：BCD.12.已知函数，则以下判断正确的是（）A.函数的零点是B.不等式的解集是．C.设，则在上不是单调函数D.对任意的，都有．〖答案〗BD〖解析〗对于A项，零点是数不是点，故A错误；对于B项，令，而恒成立，原不等式等价于，解之得，故B正确；对于C项，，所以，设，则，设即定义域上单调递增，，即存在使得，即存在使得，所以时有，则，在上单调递增，故C错误；对于D项，设，由C项结论可知在上单调递增，所以有，又，即成立，故D正确.故选：BD.三、填空题13.已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则______.〖答案〗〖解析〗设等比数列的首项为，因为6，，成等差数列，所以，即，又，所以，解得，所以.故〖答案〗：.14.若，则______．〖答案〗〖解析〗已知，且，则，故．15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.〖答案〗〖解析〗根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有种涂色方案故〖答案〗为：16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.〖答案〗〖解析〗，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故〖答案〗为：．四、解答题17.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．解：（1）由正弦定理，得，即，所以，从而，因为，所以．（2）因为，由（1）知，，解得，所以，所以，，，所以的面积为．18.已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）数列为等差数列，其前n项和为，且，，设数列的首项为，公差为d，则，解得，，所以.（2）数列.当时，，所以.当时，，所以.所以.19.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.（1）解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.（2）解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，；，所以，随机变量的分布列为：所以.20.如图，在长方形中，，点是棱上一点，且.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求的值.（1）证明：以为原点,为轴为轴，为轴建立空间直角坐标系，不妨设,则，,，，于是，，故；（2）解：平面，平面的法向量为，又.设平面的法向量为，则，所以向量的一个解为.因为二面角的大小为，则,解得.又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.21.已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．（1）解：由题意知，焦距，故，又，故，所以，故椭圆C的方程为．（2）①证明：由消去y，化简得：，设，，则，，，故，因为，所以，所以，坐标原点到直线l的距离为，所以的面积为，故的面积为定值．②解：假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，设，则，又因为，即，得，与矛盾，故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．22.