湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，故，故.故选：D.2.已知点是平行四边形的对角线的交点，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图：为相反向量，故A错误；为相反向量，故B错误；方向相反，故，C正确；因平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.故选：C.3.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，或，即或，即是的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（）A. B. C.0 D.3〖答案〗B〖解析〗因为函数是偶函数且在上是增函数，所以函数在上单调递减，所以，即，解得，又因为，所以或或，当或时，，此时为奇函数，不满足题意；当时，，此时为偶函数，满足题意；所以.故选：B.5.已知某物种在某特定环境下的某项指标与时间（天）满足函数关系式：，则在该特定环境下，至少经过（）天，该物种的该项指标不低于初始值时的100倍.（参考值：）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗当时，，令，化简得：，即，则至少经过5天该物种的该项指标不低于初始值时的100倍.故选：B.6.已知函数，若函数与的图像恰有4个交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，的图象过定点，当时，由图可知，函数与的图像无交点；当时，，与的图象有两个交点；当时，设直线与相切，联立方程有，则，解得或，结合图象可知，当时，切点位于x轴下方，不满足题意，舍去，由图可知，要使函数与的图像有4个交点，则，所以实数的取值范围为.故选：B.7.定义在的函数的图像位于轴上方，且是连续不断的.若的图像关于点对称，则的最小值为（）A. B.1 C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗因为的图像关于点对称，故，故，故，因为的图像位于轴上方，故，故即，当且仅当时等号成立，而，故最大值为9，故最小值为.故选：A.8.已知函数，若存在，使，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数图象如下：，所以，由于在上单调递减，所以存在，使成立，所以，，解得，所以的取值范围是.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，则当时，有，故A错误；对于B，因为，则，故，故B正确；对于C，成立，但，故C错误；对于D，由不等式的性质可得成立，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图像关于直线对称B.的图像的一个对称中心是C.在区间上单调递减D.若的最大值为，则的最小值为〖答案〗AC〖解析〗因为，对于选项A，由，得到，当时，，所以选项A正确；对于选项B，由，得到，所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B错误；对于选项C，由，得到，当时，，又，所以选项C正确；对于选项D，因为，当时，由题有，得到，此时的最小值为，当时，由题有，得到，此时的最小值为，所以选项D错误.故选：AC.11.函数的定义域为，且满足，当时，，则（）A.B.时，C.若对任意的，都有，则的最大值为D.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，因为，又，得到，所以选项A正确；对于选项B，当时，，所以，又，所以，得到，所以选项B错误；对于选项C，当时，，又，而，所以时，恒有，当时，，所以，又，所以，当时，，当时，，所以，又，所以当时，，当时，，所以，又，所以当时，，以此类推，所以的图象如图所示，由，得到或，由图知，在上关于对称，且，所以，当时恒成立，所以选项C正确；对于选项D，令，得到，令，因为，则，所以，，，又函数恰有三个零点，由图知，，所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.〖答案〗〖解析〗因为.故〖答案〗为：.13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由题设可得平移后图象对应的函数〖解析〗式为，因为，故，因为在不单调，故或，即或，所以或，故.故〖答案〗为：.14.已知函数的定义域为，且的图象关于点对称.若，当时，都有恒成立，则关于的不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗因为的图象关于点对称，所以即，故为上的奇函数，令，因为，当时，都有，故为上的减函数，而，故为上的偶函数，故为上的增函数，而，故当时，，故时，，时，，当时，，故时，，时，，故的解为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的三个内角满足：.（1）求的值；（2）求角的大小.解：（1），因为，，故为锐角且，所以.（2）因为，，故为锐角且，故，故，而，故.16.已知函数.（1）解关于的不等式：；（2）命题“”是真命题，求的最大值.解：（1）由，得到，即，当，即时，得到，当时，得到，当，即时，得到，综上所述，时，原不等式的解为，当时，原不等式的解为，当时，原不等式的解为.（2）由题知，在区间上恒成立，又对称轴为，当，即时，在区间上单调递增，所以，当时，恒成立，即满足条件，当，即，由题有，得到，所以，综上，的最大值为.17.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；（iiii）每天得分最多不超过12分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出〖解析〗式；（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？（参考值：）解：（1）模型①，由图象过点，得，解得，，在原点附近增长速度先快后慢，不符合；模型②为爆炸增长型函数，不符合，故选模型③，由题知，，解得，所以.（2）由（1）知，，令，得，解得，所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.18.函数的部分图像如图所示，（1）求函数的〖解析〗式和单调递增区间；（2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值.解：（1）由图易知，，得到，所以，又图象过点，所以，得到，又，所以，故函数的〖解析〗式为，由，得到，所以单调递增区间为.（2）由题知，又因为，所以，令，则，由的图象知，，且，得到，又由图知，所以，又，得到，所以，又因，所以.19.设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：.（1）求证：；（2）解方程：；（3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.解：（1）设，若，则，，故，而，，故，若，则，，故，而，，故，综上，（