湖南省“一起考”大联考2024届高三下学期模拟考试数学试题（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省“一起考”大联考2024届高三下学期模拟考试数学试题（一）一、选择题1.已知，若为纯虚数，则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因为，且为纯虚数，所以解得，故选：A．2.已知与的夹角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故选：C．3.已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，函数为奇函数，而选项中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项；当，，排除C；当时，从图象可知，，而对于选项，，，所以，与图象不符，排除选项.故选：.4.夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（）（不考虑材料厚度）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，圆台的高，故该容器容积，故选：D.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗直线分别与轴，轴交于，两点，,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故〖答案〗选A.6.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，则，令，当时，，故是的一个对称中心由，故A错；由，故B错由，故C错；故选：D．7.如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（）A.4 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为扇形的面积为，即，所以，设，则在中，，连接，根据切线的性质知，则在中，，所以，令，则，且，所以原式，当且仅当，即时，等号成立，又，所以时，取得最小值，为，故选：B8.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选：D.二、选择题9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确；对于C，若，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；对于D，若，则，所以，由及，可知，则当，即时，取得最小值，故D正确．故选：BD．10.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与所成的角的大小为B.直线平面C.平面平面D.四面体外接球的体积与正方体的体积之比为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：连接，如图，由正方体的结构特征知，，即为正三角形．又因为分别为的中点，则，因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，又，所以直线与所成的角的大小为，A正确；对于B：因为，所以平面平面，故直线平面，B正确；对于C：取的中点为，连接，显然的中点为，则，假设平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，则，与矛盾，C错误；对于D：不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体的三条侧棱两两垂直，则它的外接球即为以为棱的长方体的外接球，于是球的直径，体积为，于是，D正确，故选：ABD．11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意，第一次取得黑球概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，则，所以A错误；对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，则，所以B正确；对C，由，得，所以C正确；对D，由，得，所以D正确．故选：BCD．三、填空题12.已知全集，集合，则__________．〖答案〗〖解析〗由已知，又，所以．故〖答案〗为：13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.〖答案〗〖解析〗由题意，不妨设点P在第一象限，如图.因为，则，，.因为，则，可知，则，即，整理得.由得，解得或（舍去），所以C的离心率为.故〖答案〗为：.14.已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则__________．〖答案〗573〖解析〗由数列是等差数列，设其公差为，因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以，则．当时，，即，共有个，因为，所以，令，则，两式相减得，则，所以，故〖答案〗为：573.四、解答题15.在中，内角的对边分别为,且．（1）证明：是锐角三角形；（2）若，求的面积．（1）证明：因为，所以由正弦定理得，整理得．则，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以是锐角三角形．（2）解：因为，所以，所以．在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面积为．16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中．（1）证明：平面BCD；（2）求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值．（1）证明：因为平面平面CDEF，平面平面，又，即，且平面ABCE，所以平面CDEF，又平面CDEF，故，又，即，且，平面BCD，所以平面BCD；（2）解：取EF的中点G，连接CG，如图．由，得，故四边形CDEG为平行四边形，则，又，所以．由（1）知平面CDEF，所以，则直线CG，CD，CB两两垂直，以为原点所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，由勾股定理得，由全等关系知，故，从而，设平面ABF的法向量为，故，令，则，故．由（1）知平面BCD，故平面BCD的法向量为，设平面BCD和平面ABF的夹角为，故．17.已知函数，.（1）若的极大值为1，求实数a的值；（2）若，求证：.（1）解：的定义域为，.当时，，在上单调递增，函数无极值；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，解得.经验证符合题意，故实数a的值为.（2）证明：当时，，故要证，即证.令，则，.令，，则，所以在上单调递增，又因为，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，即，所以，所以，即，故得证.18.某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：观点高二高三热爱3020不热爱20（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由题意可知，高二学生热爱数学概率为，热爱数学的学生人数，则，，，，故的分布列为：0123的期望为．（2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，所以，令，则，所以，因为的对称轴为，且当时，，所以在上恒大于0，所以在上单调递增，而，所以实数的最小值为57．19.已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.（1）求双曲线E的标准方程；（2）若l交y轴于点P，，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.（1）解：由题意得，，则当l与x