内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考2024届高三上学期期中数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考2024届高三上学期期中数学试题（理）第I卷（选择题）一､选择题1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，所以.故选：D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由集合，根据集合交集的运算，可得.故选：C.3.执行下面程序框图，输出的（）A.21 B.34 C.55 D.89〖答案〗B〖解析〗当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.4.如图所示，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的体积为（）A.10 B.20 C.30 D.40〖答案〗A〖解析〗如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，

其体积为：.故选：A.5.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设区间内取到数是，在内取到的数为，则满足，作出不等式组对应你的平面区域，如图所示，可得对应的图形的面积为，由两数之和大于，即，设直线交于点，可得，则的面积为，所以五边形的面积为，则两数之和大于的概率为.故选：C.6.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦函数的性质知：，所以命题为假命题，由指数函数的性质，可得，所以命题为假命题，则和都是真命题，可得，，，为假命题，所以为真命题.故选：D.7.五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（）A.360 B.240 C.216 D.168〖答案〗B〖解析〗这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.故选：B.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.9.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，，由，设点，所以，得，则，即或，所以.故选：A.10.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，定义域为R，所以所以为奇函数，且，排除AB；当时，，即，排除D，故选：C.11.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得因为，所以，即，解得，所以12.在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在三棱锥中，是等边三角形，，，，则，，则有，取中点O，连接，有，因此点O是三棱锥外接球球心，球半径，如图，因为点是棱的中点，则，等腰底边上的高，的面积，取中点F，连接，则，而平面，于是平面，在中，，由余弦定理得，有，的面积，，显然，令点O到平面的距离为d，因此，即，解得，令平面截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r，则有，所以平面截三棱锥外接球所得截面面积.故选：D第II卷（非选择题）二､填空题13.若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程__________.〖答案〗〖解析〗由题意知，即，在双曲线中，联立消去得到，所以双曲线的渐近线方程为，故〖答案〗为：.14.已知向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗由向量，可得，因，所以，解得.故〖答案〗为：.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．〖答案〗〖解析〗由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故〖答案〗为：.16.已知过点与曲线（）相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗∵，∴．设切点为，则有，所以过点P的切线方程为，又点在切线上，所以，整理得，由题意得方程有两个不等的正实数根．设，则，要使的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点，则需．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得．即实数的取值范围是．故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.在等差数列中，为其前n项和，且.（1）求数列的通过项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，由已知条件得，解得，；（2）由（1）得，.18.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3实验组：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：对照组实验组（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：0100.050.0102.7063.8416.635解：（1）依题意，可能取值为，则，，，所以的分布列为：故.（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.19.如图所示，在三棱锥中，平面（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，所以且，所以为直角三角形，，可得又因为，所以，可得，因为且，所以平面.（2）解：由（1）知：平面，因为平面，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，可得，设平面的法向量为，则，取，则，所以，设平面的法向量为，则，取则，所以，所以，即二面角的余弦值.20.已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．（1）解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性.解：（1），，即切点坐标为，又，切线斜率，则切线方程为，即：；（2），，令，则，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线，的交点为A，，求的值.解：（1）由消去参数得，即为的