陕西省榆林市2024届高三第二次模拟检测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市2024届高三第二次模拟检测数学试题（理）第I卷一､选择题1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对A：依题意可得，故A错误；对B：即为与的交点，即，解得或，即，故B错误；对C：，故C正确.对D：，故D错误；故选：C.2.若向量，则（）A.-4 B.-3 C. D.-2〖答案〗A〖解析〗若，则，即，解得.故A正确.故选：A.3.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以解得所以.故选：D4.某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（）A.0040 B.0041 C.0042 D.0043〖答案〗C〖解析〗因为零件个数为1110，抽取30个零件，所以抽样间隔为，因为编号为0005的零件被抽检，所以所有被抽检的编号为，所以当时，，得被抽检的编号可以是0042，当时，，得被抽检的编号可以是0079，故选：C5.若满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出约束条件表示的可行域，设，如图所示，当直线经过点时，纵截距取得最大值12，所以的取值范围是.故选：A6.甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林沙漠国家森林公园､红碱淖､白云山､易马城遗址这7个景点中选4个游玩（按照游玩的顺序，最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（）A.180种 B.200种 C.240种 D.300种〖答案〗B〖解析〗先考虑第四站，第四站去红碱淖或白云山，故有种安排方法，接着考虑第一站，去掉榆林沙漠国家森林公园以及第四站去的景点，有种选择，最后从剩下的景点中选择任意两个景点游玩有故可得他们这四站景点的选择共有种.故选：B7.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，.故选：A8.已知定义在上的函数满足,当时，，则（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B9.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，故该几何体的表面积为.故选：D10.已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（）A. B.2 C.或 D.2或3〖答案〗C〖解析〗因为，所以可设，依题意可得：，则的离心率；或，则的离心率.故选：C.11.已知曲线与曲线的公共点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，设，则,故为增函数，因为，所以方程的解为，所以点的横坐标为.设，则，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.令，得；令，得.所以所求三角形的面积为.故选：B.12.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，故，则，即，由函数在上单调，得，即，即，解得，而，故或1，或2，当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，此时不合题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；综上，或.故选：B.第II卷二､填空题13.在中，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为在中，，所以由余弦定理，得，所以.故〖答案〗为：14.已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依题意可得的标准方程可设为或，将点的坐标代入得，则的标准方程为或.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.过球外一点作球的切线，若切线长为5，且，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗切点为，则，则球半径，所以球的体积为.故〖答案〗为：16.已知函数恰有3个零点，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗令，得或.作出的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为，因为，，所以由图可知的取值范围是.故〖答案〗为：三､解答题（一）必考题17.蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.（1）求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；（2）求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.解：（1）因为这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为，所以这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为.（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为.18.已知数列满足.（1）证明：为等差数列.（2）记为数列的前项和，求.（1）证明：因为，所以，所以，所以为公差是8的等差数列.（2）解：因为，所以，所以，则，所以19.如图，在底面是正方形的四棱柱中，平面，.（1）证明：四棱柱为正四棱柱.（2）设二面角为，求.（1）证明：因为，所以，则.又平面，所以因为，平面，所以平面.又底面为正方形，所以四棱柱为正四棱柱.（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则令，得.设平面的一个法向量为，则令，得.由，所以.20.已知为函数的导函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，．（1）解：，令，则，若，则，从而，所以即在定义域内单调递增，若，则当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数.（2）证明：不妨设，则，由（1）可知若，则在上是减函数，在上是增函数.从而，即在上是增函数，从而，也就是说当时，.21.已知椭圆左､右焦点分别为，过点，且.（1）求的方程.（2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解：（1），，整理可得：，，，，解得：，，椭圆的方程为：.（2）由（1）可得：，则直线的斜率存在，可设，，由得：，，，，直线过点，，直线方程为：，令得：，即；同理可得：；，线段的中点为定点.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数.（1）求曲线与曲线交点坐标；（2）求曲线的普通方程.解：（1）由曲线的参数方程，得，由，得，则，故曲线与曲线的交点坐标为.（2）由，得，则