第10招旋转问题中作辅助线的技巧课件人教版九年级上册极速提分法

第10招旋转问题中作辅助线的技巧九年级数学（上）极速提分法如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，对角线AC＝m，求四边形ABCD的面积．

例解题方法：此四边形不是特殊的四边形，要求面积通常需要将图形转化成规则的图形求解．解：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，如图．则AC＝AE，∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°.∴点C，D，E在同一条直线上．∵∠BAD＝60°，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝60°.

又∵AE＝AC，∴△AEC是等边三角形．技巧1利用旋转构成等腰三角形1.【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△DCB绕点D顺时针旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是__________；等边三角形【点拨】由旋转的性质可得BD＝B′D，旋转角∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即点B，A，B′三点共线，∴△BDB′是等边三角形．(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积；解：由(1)知，△BCD≌△B′AD，∴S四边形ABCD＝S△BDB′，AB′＝BC＝1，∴BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3.∵△BDB′是等边三角形，∴BD＝BB′＝3.解：如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E，由旋转的性质可得△BCD≌△B′AD，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A.∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BCD＋∠BAD＝360°－∠ABC－∠ADC＝360°－75°－60°＝225°，∴∠B′AD＋∠BAD＝∠BCD＋∠BAD＝225°，∴∠BAB′＝360°－(∠B′AD＋∠BAD)＝360°－225°＝135°，∴∠B′AE＝180°－∠BAB′＝180°－135°＝45°，∴△B′EA是等腰直角三角形．技巧2利用旋转构成等边三角形解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，连接PD，由旋转的性质得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠BDA，∠DBP＝∠ABC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°.∵AD2＋DP2＝32＋42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2，∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，∴∠BDA＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°，∴∠BPC＝∠BDA＝150°.【点方法】利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解本题的关键．3.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小明同学的方法是将△ABE绕点A