2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其表面积和体积课件

立体几何考

情

探

究考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，12；2023新课标Ⅱ，9空间几何体的结构特征和表面积正方体、圆柱及圆锥的结构特征与表面积空间想象运算求解综合性直观想象数学运算2023新课标Ⅰ，14；2023新课标Ⅱ，14空间几何体的体积棱台的体积空间想象运算求解综合性直观想象数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，18；2023新课标Ⅱ，20空间向量及其应用线面平行与垂直的证明、求空间角运算求解逻辑思维综合性逻辑推理直观想象2022新高考Ⅰ，4空间几何体的体积求棱台的体积空间想象应用性直观想象数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅰ，9空间角与距离异面直线所成角与线面角空间想象综合性直观想象数学运算2022新高考Ⅰ，19空间向量及其应用求点到面的距离及二面角的正弦值空间想象综合性直观想象数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，7空间几何体的结构特征和表面积球的表面积空间想象综合性直观想象数学运算2022新高考Ⅰ，8空间几何体的体积求四棱锥体积的范围空间想象综合性直观想象数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2021新高考Ⅰ，20直线、平面垂直的判定与性质线线垂直的判定、二面角的概念与应用、求三棱锥的体积运算求解空间想象综合性直观想象数学运算逻辑推理2021新高考Ⅱ，19直线、平面垂直的判定与性质面面垂直的证明、二面角余弦值的求解运算求解逻辑思维综合性逻辑推理直观想象【命题规律与备考策略】本章内容为高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行或垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题．高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后，分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程．第一讲空间几何体的结构及其表面积和体积知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台结构特征①有两个面互相____________，其余各面都是______________.②每相邻两个四边形的公共边都互相________有一个面是__________，其余各面都是有一个公共顶点的__________的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，________和________之间的部分平行且全等平行四边形平行多边形三角形截面底面名称棱柱棱锥棱台侧棱______________相交于________但不一定相等延长线交于________侧面形状________________________________平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形知识点二旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于________延长线交于________

垂直一点一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的________全等的______________全等的__________________侧面展开图________________________

矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环知识点三圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____________S圆锥侧＝__________S圆台侧＝__________________2πrlπrlπ(r1＋r2)l知识点四柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积S底h4πR2知识点五直观图直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为____________________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面________.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_______________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度为______________.45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半归

纳

拓

展1．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．2．柱体、锥体、台体体积间的关系：台体的体积常化为两锥体体积之差求解．3．多面体的外接球与内切球常用的结论：双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台．()×××(4)有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台．()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()×√×题组二走进教材2．(必修2P119T1)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()∴3r2＝12，∴r＝2.BACDB．该半正多面体的外接球的表面积为6π题组三走向高考[解析]

解法一：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，A．100π B．128πC．144π D．192πA考点突破·互动探究基本立体图形——自主练透1.(多选题)若正三棱锥V－ABC和正四棱锥V1－A1B1C1D1的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是()A．五面体

B．七面体C．斜三棱柱

D．正三棱柱AC[解析]

新的组合体如图所示，故选AC.2．下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是_______.⑤[解析]

①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．名师点拨：空间几何体结构特征的判断技巧1．紧扣各种空间几何体的定义及结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．2．说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式训练】(多选题)下列结论错误的是()A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱BCD[解析]

在如图所示的平行六面体中，侧面ADD1A1及侧面BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及平面DCC1D1都与底面ABCD垂直，故D错误；截面BDD1B1可能为矩形，故A正确；将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误；侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误．故选BCD.空间几何体的直观图——师生共研

已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()D[解析]

如图①、②所示的实际图形和直观图．[引申]若已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为__________.[解析]

在△A1D1C1中，名师点拨：2．在原图形中与x轴或y轴平行的线段，在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．【变式训练】(2023·四川成都阶段统测)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边A′B′与C′D′平行于x′轴．已知四边形A′B′C′D′的面积为1cm2，则原平面图形ABCD的面积为_________cm2.几何体的表面积与侧面积——师生共研C[解析]

结合题目边长关系，三棱锥如图所示，则表面积为：S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD2．(2024·湖北部分学校联考)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且AB＝1，AC＝3，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是______________.名师点拨：空间几何体表面积的求法1．旋转体的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意其轴截面及侧面展开图的应用．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．【变式训练】1.(2022·河南洛阳一模)如图已知正三棱锥S－ABC的高为3，底面正三角形的高为3，则该正三棱锥的表面积为()A[解析]

如图，SH为正三棱锥的高，则D为AB的中点，CD⊥AB，SD⊥AB.A．12πR2

B．10πR2C．8πR2

D．6πR2C几何体的体积——多维探究角度1直接利用公式求体积(2024·辽宁辽东十一所重点高中联合教研体摸底)底面半径为3，表面积为24π的圆锥的体积为()A角度2割补法求体积A．225 B．250C．325 D．375C[思考]本节考点3例2中陀螺的体积为________.角度3等体积法求体积(2024·浙江浙南名校联盟联考)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE－BCF，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，记三棱锥D－ABF的体积为V1，则该五面体的体积为()A．8V1 B．5V1

C．4V1 D．3V1C[解析]

因为ABCD为平行四边形，所以S△ABD＝S△BCD，所以VF－BCD＝VF－ABD＝V1.取EF的中点G，连接AG，DG，由题意知VD－AEG＝VD－AGF＝VD－ABF＝V1，所以该五面体的体积V＝VD－AEG＋VD－AGF＋VD－ABF＋

VF－BCD＝4V1.故选C.名师点拨：求空间几何体的体积的常用方法【变式训练】1．(2024·湖南长沙质检)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现将△ABD沿BD折起成△A1BD，折起过程中，当A1B⊥CD时，四面体A1BCD体积为()BA3.(2024·江西九校联考改编)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积V＝__________________cm3.26000π球与几何体的切、接问题——师生共研1.(2024·云南红河州、文山州模拟)在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，△PAB为等边三角形，AB＝BC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为_________2．(2023·福建龙岩质检)如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为()C名师点拨：几何体外接球问题的处理解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.特别的：1．若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则其外接球球心为斜边中点，半径为斜边的一半．2．有三条棱两两垂直或相对的棱相等的四面体可补成长方体或正方体，其外接球半径为体对角线长的一半．3．有一侧棱垂直底面的锥体可补成直棱柱，其球心为棱柱上、下底面外接圆圆心连线的中点，可利用球心到各顶点距离相等求得半径．注意：不共面的四点确定一个球面．几何体内切球问题的处理1．解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．特别提醒：正多面体的中心为其内切球、外接球的球心，并非所有的多面体都有内切球(或外接球)．【变式训练】A．32π B．28πC．26π D．24πA2．(2022·安徽蚌埠质检)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P－CEF(A，B，D重合于P点)，则三棱锥P－CEF

的外接球与内切