2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形课件

第六讲解三角形知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容___________________＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝________________b2＝________________c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理常见变形①a＝___________，b＝___________，c＝___________

②sinA＝________，sinB＝________，

sinC＝________③a∶b∶c＝___________________④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝__________

cosB＝__________

cosC＝__________2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点二在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下知识点三三角形常用面积公式知识点四实际问题中的常用术语

术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度知识点五实际测量中的常见问题

求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα归

纳

拓

展在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．6．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinCcosA，sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC．7．三角形中的射影定理：bcosC＋ccosB＝a，acosC＋ccosA＝b，acosB＋bcosA＝c.9．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角：③若b2＋c2<a2，则角A为钝角．10．在锐角三角形ABC中，必有sinA>cosB，sinB>cosC，sinC>cosA等．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C．(

)(2)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．(

)(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．(

)(4)在△ABC中，若bcosB＝acosA，则△ABC是等腰三角形．(

)×√×××题组二走进教材AA．45° B．75°C．105° D．60°B题组三走向高考C[解析]

解法一：∵acosB－bcosA＝c，∴sinAcosB－sinBcosA＝sinC，∴sin(A－B)＝sinC，∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去)，解法二：由acosB－bcosA＝c得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sinAcosB＋cosAsinB，∴cosAsinB＝0，又知sinB≠0，考点突破·互动探究利用正、余弦定理解三角形——自主练透D2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是(

)B3．(2024·南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝______.4．(2023·全国甲理，16,5分)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝______.2名师点拨：2．正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．3．在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．4．已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理.判断三角形的形状——师生共研1．(2023·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是(

)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[解析]

解法一(转化为三角函数)：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．由正弦定理知上式可化为sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．解法二(转化为边)：同解法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．2．(2024·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(

)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形B名师点拨：判断三角形形状的2种途径【变式训练】1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则△ABC的形状为(

)A．等边三角形

B．直角三角形C．钝角三角形

D．不确定AA．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，正、余弦定理的综合应用——师生共研角度1三角形面积问题名师点拨：三角形面积公式的应用原则2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．角度2三角形中的范围问题(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．名师点拨：解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．【变式训练】1．(角度1)(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．(1)求A；(2)若b＝2，D为AB的中点，求CD的取值范围．名师讲坛·素养提升三角形中的实际测量问题角度1测量距离问题(2023·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(

)A[解析]

过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示，由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．名师点拨：距离问题的常见类型及解法1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．角度2测量高度问题60名师点拨：求解高度问题的三个关注点1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．角度3角度问题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解析]

如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.名师点拨：角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题