高考二轮复习数学课件（新高考新教材）第1讲空间几何体的结构表面积与体积

第1讲空间几何体的结构、表面积与体积专题四内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.空间几何体的表面积与体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积①棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.②棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱=Sh(S为底面面积,h为高),(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积①圆柱、圆锥、圆台的表面积S圆柱=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长),S圆锥=πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长),S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别为上、下底面半径,l为母线长).②圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱=πr2h(r为底面半径,h为高),(3)球的表面积与体积①球的表面积S球=4πR2(R为半径).②球的体积温馨提示求几何体体积常用的方法有:公式法,等积法,割补法.2.几个常用结论(1)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则其体对角线(即外接球的直径)为(2)正四面体(棱长都为a)的几个结论:易错警示正四面体一定是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.关键能力•学案突破突破点一空间几何体的结构特征答案B

[例1-2]如图,有一圆柱形的开口容器(下底面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为

.

名师点析几何体的表面展开及其应用(1)圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形,圆锥、圆柱的底面周长分别为扇形的弧长、矩形的一边长,据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决问题.(2)解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时,一般采用转化法,即将表面展开化为平面图形,通过“化折为直”或“化曲为直”来解决,注意展开前后哪些几何量发生变化,哪些不变.对点练1(1)021·山东淄博二模)已知圆台的上、下底面面积分别为4,16,则过该圆台的母线的中点,且平行于底面的平面截该圆台,所得截面的面积为(

)A.10 B.8 C.9 D.8答案

C

(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点,当A1M+MC取最小值时,B1M的长为(

)答案D

突破点二空间几何体的表面积[例2-1]国家游泳中心(水立方/冰立方)的设计灵感来源于威尔-弗兰泡沫,威尔-弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每个顶点处有1个正方形和2个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是(

)答案C

[例2-2](2021·全国甲,文14)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为

.

答案

39π解析

设圆锥的高为h,母线长为l,方法总结求几何体表面积的方法(1)对于简单几何体,常根据其结构特征求表面积,有公式的可直接利用公式求解.(2)对于组合体,先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组成形式,再求组合体的表面积.对点练2(1)现有一个橡皮泥制作的圆柱,其底面半径、高均为2,将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥,则该圆锥的侧面积为(

)答案

B(2)刍甍是中国古代数学中的一种几何体.一刍甍的直观图如图所示,其中前后两个面为全等的等腰梯形,底面为矩形,则其侧面积为(

)答案B

突破点三空间几何体的体积答案A

解析

设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,因为圆锥的轴截面是等腰直

[例3-2](2022·新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3答案C

解析

由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5

m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故该棱台的体积≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109

m3.故选C.方法总结求几何体体积的基本方法(1)直接法:对于规则的几何体,可利用相关公式直接计算求解.(2)割补法:对于不规则的几何体,可将其分割成规则的几何体,进行体积计算;也可把不规则的几何体补成规则的几何体,进行体积计算.(3)转换法:主要用于求三棱锥(四面体)的体积,将三棱锥的顶点和底面进行转换,使其底面的面积可求(或容易求),高可求(或容易求),从而代入公式求得体积.对点练3(1)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一.传统陀螺大部分是木制或铁制的,玩法是用鞭子抽.如图,一个倒置的木制陀螺可看成由圆锥和圆柱组成,上面为圆锥,下面为同底圆柱,其总高度为8cm,圆柱部分高度为6cm,已知该陀螺由密度为0.7g/cm3的木质材料做成,其总质量为70g,则此陀螺圆柱底面半径的长度约为(

)A.2.2cm B.2.4cmC.2.6cm D.2.8cm(2)(2023·新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

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答案(1)A

(2)

(2)

方法一(直接法):如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,方法二(补形法):如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,突破点四与球有关的接切问题[例4-1]已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,AB=2,侧棱PA⊥底面ABCD,且直线PB与CD所成角的余弦值为,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为

.

答案

6π

方法总结解决几何体外接球问题的基本方法(1)由球的定义确定球心.①正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.②正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点.③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点.④正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过构造直角三角形,利用勾股定理求得.(2)构造正方体或长方体确定球心.①可构造正方体的情况:正四面体,其棱长对应正方体的面对角线长;三条侧棱两两垂直的正三棱锥,其底面边长对应正方体的面对角线长,侧棱长对应正方体的棱长.②可构造长方体的情况:某一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体;四个面都是直角三角形的三棱锥;相对的棱相等的三棱锥.(3)利用性质确定球心.对点练4A.100π

B.128π C.144π

D.192π答案A

解析

设外接球的半径为R,由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,在轴截面中,设球心到上下底面因此球的表面积是S=4πR2=4π·25=100π.故选A.命题角度2几何体的内切球问题[例4-2]若在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球,则剩余部分的体积的最小值为

.名师点析求几何体内切球的半径的常用方法(1)将空间问题转化为平面问题,通过构造直角