2024八年级下数学专题2.2 勾股定理章末达标检测卷（人教版）含解析

2024八年级下数学第17章勾股定理章末达标检测卷【人教版】考试时间：100分钟；满分：100分题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2018秋•宜兴市期中）下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，412．（3分）（2018秋•江都区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（）A．5m B．m C．m D．m3．（3分）（2019春•丰润区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c24．（3分）（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（）A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E5．（3分）（2019春•洛阳期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm26．（3分）（2019春•西工区校级月考）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．20207．（3分）（2019春•郯城县期中）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对8．（3分）（2019春•岑溪市期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm9．（3分）（2019春•番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．810．（3分）（2018秋•临安区期中）△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（）①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019秋•响水县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有．（填序号）12．（3分）（2018秋•临安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于．13．（3分）（2019春•常德期中）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．14．（3分）（2018秋•盐都区期中）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝．15．（3分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．16．（3分）（2018春•旌阳区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积．18．（8分）（2019春•长汀县期中）在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．19．（8分）（2019秋•太仓市校级期中）（1）如图，在6×6的网格中，请你画出一个格点正方形ABCD，使它的面积是10．（2）如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．20．（8分）（2018秋•阜宁县期中）已知如图，AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°．求四边形ABCD的面积．21．（10分）（2018秋•大田县期中）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．22．（10分）（2018秋•宝安区期中）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．第17章勾股定理章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2018秋•宜兴市期中）下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【答案】解：A、和不是整数，此选项错误；B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…2．（3分）（2018秋•江都区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，解得，CD＝，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．3．（3分）（2019春•丰润区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c2【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【答案】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．4．（3分）（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（）A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．5．（3分）（2019春•洛阳期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．6．（3分）（2019春•西工区校级月考）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．2020【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．故选：D．【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．7．（3分）（2019春•郯城县期中）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．【答案】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，∴OB＝＝3米，在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，∴OD＝＝4米，∴AC＝OD﹣OB＝1米．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．8．（3分）（2019春•岑溪市期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【答案】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开﹣最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．9．（3分）（2019春•番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．10．（3分）（2018秋•临安区期中）△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（）①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．【答案】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），∴t＝13÷2＝6.5（秒），∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正确；依据△BCP为等腰三角形，当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；当点P在边AB上时．①如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，∵AC×BC＝AB×CD．∴CD＝＝4.8，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；②若BC＝BP，∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），∴t＝12÷2＝6（秒）；③若PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．故选：A．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019秋•响水县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有（1）（2）（3）．（填序号）【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【答案】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；（2）52+122＝132，能构成直角三角形；（3）82+152＝172，能构成直角三角形；（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；故答案为：（1）（2）（3）．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．12．（3分）（2018秋•临安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于．【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．【答案】解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，∴AD＝＝12，又∵DE⊥AB，∴BD•AD＝AB•ED，∴ED＝，故答案为：【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2019春•常德期中）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是8米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．【答案】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，∴折断的部分长为＝5（m），∴折断前高度为5+3＝8（米）．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．14．（3分）（2018秋•盐都区期中）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝5．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据勾股定理计算即可【答案】解：作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝DC，AE＝AC＝6，∴BE＝4，在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，解得，DC＝DE＝3，∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．（3分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【答案】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（3分）（2018春•旌阳区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为13s或24s或s．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①当BP＝BA＝13时，∴t＝13s．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝24s．③当PB＝PA时，PB＝PA＝tcm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝13s或24s或s．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积．【分析】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．【答案】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，则AD＝，所以△ABC的面积＝．【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．18．（8分）（2019春•长汀县期中）在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝500米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．【答案】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，所以根据勾股定理有AB＝500米．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝240（米）．由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．19．（8分）（2019秋•太仓市校级期中）（1）如图，在6×6的网格中，请你画出一个格点正方形ABCD，使它的面积是10．（2）如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为，再勾股定理画出符合的图形即可；（2）分为三种情况：①AC＝BC，②AB＝BC，③AC＝AB，找出符合的点即可．【答案】解：（1）使4条边长为，如图所示：；（2）如图2所示：共7个点．【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错．20．（8分）（2018秋•阜宁县期中）已知如图，AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°．求四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在△ABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【答案】解：连接AC，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5（cm）∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．21．（10分）（2018秋•大田县期中）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：∵大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积＝（a+b）2，又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝90°；（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴∠B+∠D＝180°，∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得：a2+b2＝c2．【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．22．（10分）（2018秋•宝安区期中）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．【分析】（1）由△ACE≌△AED（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【答案】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AED（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则•AB•CH＝•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH＝＝9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．第18章平行四边形章末达标检测卷【人教版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（2019春•崇川区校级期中）要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（）A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：52．（2019秋•九龙坡区校级期中）下列说法不正确的是（）A．四边都相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形3．（2019春•无棣县期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）4．（2019春•夏津县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是（）A．3 B．4 C．5 D．2.55．（2019秋•滕州市期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A． B． C．4 D．56．（2019秋•灌云县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．15 D．137．（2019秋•南岸区校级期中）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若∠CBA＝115°，则∠CBD的大小为（）A．65° B．55° C．50° D．40°8．（2019春•武清区期中）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（）A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．9．（2019秋•建邺区期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8 B．15 C．15.2 D．1610．（2019秋•会宁县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④

第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（2019春•北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．12．（2019春•尚志市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，P是矩形ABCD边上的点，且PB＝PD，则AP的长是．13．（2019春•乳山市期中）如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BF∥DC，DC的延长线交AF于点E，CD＝3CE，AB＝8，则BF＝．14．（2019春•昌平区期中）工人师博常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师博此种检验方法依据的道理是．15．（2019春•邓州市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC边上一点，且CE＝2BE．若四边形ABEO的面积为3，则▱ABCD的面积为．16．（2019秋•北碚区期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为．评卷人得分三．解答题（共6小题，共52分）17．（8分）（2019秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．18．（8分）（2019春•昌平区期中）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．（1）求证：O是线段AC的中点：（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．19．（8分）（2019春•郾城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．20．（8分）（2018春•罗山县期中）如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE、CD和EF．（1）求证：DE＝CF．（2）求EF的长．（3）求四边形DEFC的面积．21．（10分）（2019春•长葛市期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF．∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形．（2）继续探索如图2，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q．求证：四边形MNQP是菱形．22．（10分）（2019秋•利川市期中）（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．第18章平行四边形章末达标检测卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019春•崇川区校级期中）要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（）A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．【答案】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．2．（2019秋•九龙坡区校级期中）下列说法不正确的是（）A．四边都相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】由菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【答案】解：∵四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形和矩形的判定定理是解题的关键．3．（2019春•无棣县期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）【分析】根据矩形的性质画出矩形得到第四个点的位置，即可得出写出第四个顶点的坐标．【答案】解：如图，则第四个顶点的坐标为（0，1）．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4．（2019春•夏津县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【分析】根据平行四边形的性质可证明△BEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，∴∠BEC＝×180°＝90°，∵BE＝4，CE＝3，∴BC＝＝5，∵∠ABE＝∠EBC，∠AEB＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，∠DEC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，∴AB＝AE，DE＝DC，即AE＝ED＝AD＝BC＝2.5，由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝AE＝2.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键．5．（2019秋•滕州市期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A． B． C．4 D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．6．（2019秋•灌云县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．15 D．13【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．【答案】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF＝BC＝×8＝4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF＝BC＝×8＝4，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（2019秋•南岸区校级期中）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若∠CBA＝115°，则∠CBD的大小为（）A．65° B．55° C．50° D．40°【分析】由旋转的性质得出AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝65°，即可得出答案．【答案】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，∴AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABE＝115°﹣65°＝50°；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．8．（2019春•武清区期中）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（）A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【答案】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，故选：B．【点睛】本题考查三角形的中位线定理理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．9．（2019秋•建邺区期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8 B．15 C．15.2 D．16【分析】由勾股定理求出AC＝10，由题意得出AP+CP＝AC＝10，求出BP的最小值即可．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵P是AC上的一个动点，∴AP+CP＝AC＝10，当BP⊥AC时，BP最小，∵BP＝＝＝4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及垂线段最短；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．10．（2019秋•会宁县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE∴∠ABE＝∠HAD，∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥BE，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二．填空题（共6小题）11．（2019春•北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长．【答案】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴OB＝＝∴AD＝AB﹣2OB＝故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．求出OB的长是本题的关键．12．（2019春•尚志市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，P是矩形ABCD边上的点，且PB＝PD，则AP的长是4或．【分析】作BD的垂直平分线，分别交AD、BC于P、P′；由矩形的性质得出∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB，BC＝AD，设AP为x，则PB＝PD＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出AP，再由勾股定理求出AP′即可．【答案】解：∵PB＝PD，∴点P在BD的垂直平分线上，作BD的垂直平分线，分别交AD、BC于P、P′，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝9，设AP为x，则PB＝PD＝9﹣x，根据勾股定理得：AB2+AP2＝PB2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AP＝4，同理CP′＝4，∴P′B＝5，∴AP′＝＝＝．故答案为：4或．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2019春•乳山市期中）如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BF∥DC，DC的延长线交AF于点E，CD＝3CE，AB＝8，则BF＝．【分析】先求出E为AF的中点，根据三角形的中位线求出CE长，求出CD长，再根据直角三角形性质求出BF即可．【答案】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AB＝2CD＝8，∴CD＝4．∵CD＝3CE，∴CE＝．∴DE＝CD+CE＝∵D为AB的中点，BF∥DE，∴E为AF的中点，∴BF＝2DE＝．故答案是：．【点睛】考查了三角形的中位线性质、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出DE的长是解此题的关键．14．（2019春•昌平区期中）工人师博常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师博此种检验方法依据的道理是对角线相等的平行四边形是矩形．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）得到矩形ABCD可得到答案．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．15．（2019春•邓州市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC边上一点，且CE＝2BE．若四边形ABEO的面积为3，则▱ABCD的面积为9．【分析】根据平行四边形的性质可知△ABO面积是原平行四边形面积的，再推导出△BOE面积＝△BOC面积＝平行四边形ABCD面积，从而得到四边形ABEO的面积是平行四边形ABCD面积的，则可求原平行四边形的面积．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABO面积＝△BOC面积＝△AOD面积＝△DOC面积＝平行四边形ABCD面积．在△BOC中，CE＝2BE，∴△BOE面积＝△BOC面积＝平行四边形ABCD面积．∴四边形ABEO的面积是平行四边形ABCD面积的．∴平行四边形ABCD面积为9．故答案为9．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与面积问题，平行四边形的两条对角线分成的四个小三角形的面积都相等且等于原平行四边形的面积的．16．（2019秋•北碚区期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为．【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，再根据勾股定理列方程即可得到BF的长，进而得出△BEF的面积．【答案】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BF＝，∴△BEF的面积为××2＝．故答案为：．【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．三．解答题（共6小题）17．（2019秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质、掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．18．（2019春•昌平区期中）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．（1）求证：O是线段AC的中点：（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．【分析】（1）证明四边形ABCD是平行四边形，则结论得出；（2）证明△OAE≌△OCF（ASA）．则OE＝OF，可得出结论．【答案】证明：（1）∵∠E＝∠F，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分；即O是线段AC的中点．（2）∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（ASA）．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．（2019春•郾城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再证明AF＝EC，可证明四边形AECF是平行四边形；（2）由菱形的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA，由角的互余关系证出∠B＝∠BAE，得出AE＝BE，即可得出结果；（3）由勾股定理求出AC，由面积法求出AE＝＝4.8，再由勾股定理即可得出BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠B+∠ECA＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，∴AE＝BE＝CE＝BC＝5；（3）解：∵AC⊥AB，∴AC＝＝＝8，∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥