高等数学 课件 1.5函数连续

第一章函数、极限与连续1.5函数连续目录二、间断点及其分类一、函数连续性的概念三、连续函数的性质一、函数连续性的概念1.增量在点x0的某邻域内有定义.如图,当自变量由x0变到x时,其差x-x0称为自变量在x0处的增量(或改变量),记作Δx,即函数值由y=f(x)变到,其差设函数y=f(x)一、函数连续性的概念且当自变量x在x0处的增量Δx趋近于0时,的增量也趋近于0,即则称函数y=f(x)在点x0处连续,定义1:如果函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,函数y=f(x)的连续点.点x0称为函数y=f(x)一、函数连续性的概念且当x→x0时函数极限存在且等于它在点x0处的函数值,定义1’:如果函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,即则称函数y=f(x)在点x0处连续,否则称y=f(x)在点x0处间断,点x0称为函数的间断点.在定义1中,设,则于是有如下等价定义:一、函数连续性的概念可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;一、函数连续性的概念例1:证明函数在点x=1处连续.证1:函数的定义域为当x=1处有增量Δx时,函数增量为因此故在点x=1处连续.一、函数连续性的概念例1:讨论函数解:因此在点x=0处的连续性.f(x)的定义域是R,且f(0)=1,故f(x)在点x=0处连续.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂讨论函数在处的连续性.主观题10分一、函数连续性的概念3.左连续、右连续的概念则称函数y=f(x)在点x0处左连续.定义2:如果函数y=f(x)在有定义,且右连续如果函数f(x)在开区间

(a,b)内每一点都连续,连续函数的图形就是一条不间断的曲线.则称函数f(x)在

(a,b)内连续.如果f(x)在

(a,b)内连续,且在点x=a处右连续,在点在点x=b处左连续,则称函数f(x)在

[a,b]上连续.一、函数连续性的概念例3:证明正弦函数y=sinx在

(-∞,+∞)内连续.证:取x点处的增量Δx,但且因此所以任取x∈(-∞,+∞),则即y=sinx在

(-∞,+∞)内连续.同理可证:余弦函数y=cosx在

(-∞,+∞)内连续.二、间断点及其分类(1)y=f(x0)不存在,即f(x)在点x=x0处没有定义;

(2)极限不存在;存在,但设在点处间断有以下三种情形,(3)虽然f(x)在点x=x0处有定义,且极限例4:观察下列函数在给定点的间断性在x=1处;(1)函数为间断点.在x=1处;(2)函数为间断点.二、间断点及其分类在x=1处;(3)函数为间断点.在x=0处;(4)函数为间断点.二、间断点及其分类函数在或处是什么间断点？跳跃间断点可去间断点无穷间断点振荡间断点ABCD提交单选题1分函数在处是什么间断点？跳跃间断点可去间断点无穷间断点振荡间断点ABCD提交单选题1分函数在处是什么间断点？跳跃间断点可去间断点无穷间断点振荡间断点ABCD提交单选题1分函数在处是什么间断点？跳跃间断点可去间断点无穷间断点振荡间断点ABCD提交单选题1分设试问为何值时函数在处连续？作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分三、连续函数的性质1.连续函数的运算定理1:若函数f(x)和g(x)在x0点处连续,商(分母不为0)

都在点x0处连续.则它们的和,差,积,即在其定义域内连续.例如:sinx,cosx在

(-∞,+∞)内连续,则在分母不为零的每个点上都连续,tanx,cotx,secx,cscx三、连续函数的性质定理2:区间上单调增加例如:在上单调增加且连续,其反函数在[-1,1]上也增加且连续,(或单调减少)的连续函数必定2.反函数、复合函数的连续性同理(单调减少)y=arctanx,y=arccotx在

(-∞,+∞)都是连续的.y=cosx在

[0,π]上单调减少且连续,则y=arccosx在

[-1,1]上也单调减少且连续.存在反函数,且其反函数在相应区间上也是单调增加三、连续函数的性质且且复合函数定理3:如果函数函数y

=

f(u)在点u0处连续,在点x0处的某邻域内有定义,则在点x0处连续.三、连续函数的性质3.初等函数的连续性基本初等函数在其各自定义域内都连续.一切初等函数在其定义的区间内每一点都连续.三、连续函数的性质定理4:(最大值与最小值定理)则f(x)在[a,b]上必若函数f(x)在闭区间

[a,b]上连续,有最大值和最小值.推论:则f(x)在[a,b]若函数f(x)在闭区间

[a,b]上连续,上必有界.三、连续函数的性质定理6:

(介值定理)f(a)≠f(b),且若函数f(x)在闭区间

[a,b]上连续,C介于f(a)与f(b)之间,则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(ξ)=C.定理5:(零点定理)f(a)∙f(b)<0,若函数f(x)在闭区间

[a,b]上连续,且则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(ξ)=0.三、连续函数的性质例5:证明方程在区间(0,1)内有根.证:又根据零点定理,在(0,1)内至少有一点ξ使得即在闭区间[0,1]上连续,证明方程在内至少有一个根.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分证明方程