信号与线性系统：第3章 信号分析

第三章信号分析§3.1引言信号分析——研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。

问题：1、选择作为信号分量的单元函数的原则是什么？2、怎样的一个函数集才能完全地表示各种复杂信号？付里叶级数式中若已知An和

n，则f(t)就决定了。频谱分析§3.2信号表示为正交函数集3.2——1矢量的分量和矢量的分解

称为矢量在矢量上的投影式或分量。C12——标量系数

则误差矢量为和的模为

从解析角度：令可得C12是在最小平方误差的意义上标志着两个矢量和相互近似程度的量。令其为0，则有故简称相关系数12结论：若要用一矢量的分量去代表原失量而误差矢量最小，则此分量只能是原矢量的垂直投影。当=0时，随着，C12

当时，称与为正交矢量正交的条件是

C12=0或•=0yx一个平面矢量可以毫无误差地用一个二维的正交矢量集来表示。称此正交矢量集为完备正交矢量集。0正交矢集，令、分别表示x方向和y方向的单位矢量，则和应具有如下关系：0xyz其中有、、的关系：在n维空间中,构成的矢量集||n维正交矢量集的单位矢量的关系：成为归一化正交矢量集。r=1,2,3,…,n.l

m矢量各分量的模为r=1,2,3,…,n.系数当k=1时，就成为归一化正交矢量集。3.2——2信号的分量和信号的分解

信号=函数

单值函数1、正交函数设在区间（t1,t2)内，有f1(t)和f2(t),若再此区间内用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来近似地代表原函数f1(t),将有一误差函数

(t)为：

(t)=f1(t)+c12f2(t)

令由此可得当C12=1时，f1(t)=f2(t),

(t)=0随着C12，

(t)

当C12=0时，f1(t)=f2(t)在区间(t1,t2)内正交。显然，f1(t)和f2(t)在区间正交的条件是：C12=0或系数C12---------相关系数例2—1设矩形脉冲f(t)有如下定义f(t)=+1(0<t<

)-1(

<t<2）f(t)4

-014

-1

2试用sint在区间（0，2

）内近似表示此函数，且使方均误差最小。解：f(t)在区间（0，2

）内近似为f(t)

C12sintf(t)4

-014

-1

2例2—1设矩形脉冲f(t)有如下定义f(t)=+1(0<t<

)-1(<t<2）

0例2—2试用正弦函数sint在区间（0，2

）内来近似表示余弦函

数cost。

解：由于2、正交函数集设有n个函数g1(t),g2(t),…gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下关系：故C12=0因此不能用sint表示cost。Km为一常数l

m则此函数集称为正交函数集。当Km=1时，成为归一化函数集。同时令亦即l

m这样3、信号在完备正交函数集中的分解定义一：如果在正交函数集{g1(t),g2(t),…gn(t)}之外，不存在函数x(t)。得于是分别求得c1,c2,…,cn。满足等式r=1,2,…,n则此函数集称为完备正交函数集。定义二：如果在正交函数集{g1(t),g2(t),…gn(t)}在区间（t1,t2）内近似表示函数f(t),即方均误差为若令n

则此函数集称为完备正交函数集。当时，就意味着函数f(t)可以毫无误差地由相互正交的函数组成的无穷级数来表示:f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…3.2—3复变函数的分解设f1(t)和f2(t)是实变量t的复变函数，若f(t)在区间(t1,t2)内，可以由c12f2(t)来近似，则有：

f1(t)

c12f2(t)

方均误差由误差函数的模的平方来计算，即可得：由此时可看出两函数在区间(t1,t2)内正交的条件是：

c12=0

或=0如果在区间(t1,t2）内，复变函数集

g1(t),g2(t),…gn(t)满足以下关系：l

m则此函数集为正交函数集

f(t)在区间(t1,t2）内可表示为：f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…各分量的系数为：§3.3信号表示为付里叶级数

三角函数是一种完备正交函数集，周期信号展开为各三角函数分量的叠加。

3.3—1三角付里叶级数mnm、n为任意整数其中为上述三角函数的公共周期，m和n均为正整数。Cos0°=1,则函数1、cost、cos2t、…cosnt、…sin

t、sin2

t、…sinn

t、…合起来形成一正交函数集。对于任何一个周期为T的周期信号f(t),若满足狄利希莱(Dirichlet)条件，则可在区间(t1,t1+T)内表示为三角付里叶级数：当n=0时，直流分量为当n=1时，a1cos

t和b1sin

t合成一（角）频率为

T的正弦分量，称为基波分量，

称为基波频率。当n>1时，可将ancosn

t和bnsinn

t合成一正弦分量为：

ancosn

t+bnsinn

t=Ancos(

nt-

n)故表示f(t)的付利叶级数又可写成an、bn与An、相位

n之间的关系为

an=Ancos

nbn=

Ansin

n

一般来说，n越大，越小；当n，

即式中误差函数f(t)=10<t<T/2-1T/2<t<Tf(t)10-1TT/2t方波相关系数a和b.当n为奇数当n为偶数(a)近似函数与原信号的差别(b)误差函数(a)近似函数与原信号的差别(c)误差的平方及均方误差(b)误差函数因此，在区间(0,T)内f(t)可表示为：f(t)=4/(sint+1/3sin3t+1/5sin5t+…)14/

sint0T2TT

4T

20

Tt14/（sint+1/3sint）0T2TT

4T

20

3TtT2T433T2T4(a)近似函数与原信号的差别(c)误差的平方及均方误差14/(sint+1/3sint+1/3sint）0T2T(b)误差函数

5T

4T

20Tt(c)误差的平方及均方误差T2T407.021=e553.3—2指数付里叶级数当n取

至

包括0在内的所有整数，则函数集ejn

t（其中n=0、±1、±2）为一完备的正交函数集。任意函数f(t),可在区间（t1,t!+T)内用此函数集表示为：mn式中为指数函数的公共周期，m和n均为整数。根据欧拉公式cos

1/2(eje-j),可知

cos（ntn)

1/2[ej（ntn)e-j(ntn)]

又An=A-n,-n=-n令a0=An,得{令n=-k,即k=-n,当n=1时,k=-1,当n=

时，k=-,故有Cn=1/2Ån即当T=2/时，

cosn

t=cosn(t+kT)

sinnt=sinn(t+kT)

ejnt=ejn(t+kT)其中，k为任意正负整数。周期信号的函数，只要在以任何时间t1为起始点的一个周期内将它表示为付氏级数，则此级数也就从-

到+

的整个时间区间内表示了这一周期信号。--

C式中Å=Ane-j

n3.3—3函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系

波形的对称性分两类：（1）、对整周期对称。如偶函数和奇函数。（2）、对半周期对称。如偶谐函数和奇谐函数。1、偶函数和奇函数若f(t)=f(-t)时，称之为t的偶函数；当满足f(t)=-f(-t)时，则称之为t的奇函数。Af(t)-TTt0T2T4A2f(t)-TTt0A2T2T2A2偶函数的特点：偶函数相对纵轴对称，奇函数对于原点对称。对于偶函数有或对于奇函数有：或x其中是任意时间值。周期性偶函数和奇函数的谐波含量：令t1==T/2当f(t)为偶函数时，bn=0,只含ancosn

t或a0/2无bnsinn

t当f(t)为奇函数时，a0=an=0,

只含

bnsinn

t无直流分量和ancosn

t例：周期三角形脉冲和锯齿形脉冲展开为n=1,3,5,……

2、偶谐函数和奇谐函数若满足f(t

T/2)=f(t)时,则称之为偶谐函数；而满足f(t

T/2)=-f(t)时，则称之为奇谐函数。f1(t)tAT2T2T403T4-T3T4TT4

偶谐函数特点：偶谐函数是两半周期完全相同的周期性函数。

奇谐函数特点：奇谐函数是周期为T的周期函数，它的任意半个波形可由前半周期沿横轴移动半个周期后反褶得到。f1(t)tAT2T20-TTn=2,4,6,……又

同样可求得故对于f2(t)可求得TTTa2=0b2=0依此类推，可得a0=0an=bn=0(n为偶数）(n为奇数）(n为奇数）表2—1n=1,3,5,…对称情况偶函数f(t)=f(-t)奇函数f(t)=-f(-t)性质只有常规项及余弦项a0an(n0)n=1,2,3,…bn0只有正弦项00偶谐函数f(t

)=f(t)只有偶谐波只有奇次谐波n=2，4，6，…n=1,2,3,…n=2，4，6，…奇谐函数f(t

)=-f(t)0n=1，3，5，…n=1，3，5，…§3.4周期性号的频谱f(t)10-1T/2Tt方波f(t)={0<t<T-1T/2<t<T其三角付氏级数表示式为奇次谐波的振幅用长度不同的线段表示An0

357

频谱图振幅频谱相位频谱周期信号频谱的三个特点：1.离散性——谱线是离散的而不是连续的；故称之离散频谱。2.谐波性——谱线所在频率轴上的位置是的整数倍。3.收敛性——谱线随n而衰减到零。A为脉冲幅度

为脉冲宽度T为脉冲重复周期在一周期内A0f(t)A----------''-T0T周期性矩形脉冲信号t''（1）将f(t)展开为三角形式付氏级数注：——抽样函数

bn=0故（2）将f(t)展开成指数形式的付氏级数在的表示式中，令n=0，得直流分量第n次谐波的振幅为可见，振幅与/T之比有关。02A5An

n=0

n=

n=

n=0

n

2

4

6

(a)T=5

0A5An

n

2

4

6

(b)T=10

0A10An

n

2

4

6

(c)T=20

（3）求振幅频谱若令T=5,并依次令n=0,n=1,n=2,，分别求出A0、A1、A2…等各次谐波的振幅值。将其用相应长度的线段代表并按频率高地依次排列，即得振幅频谱。

由可看出，为实数，（而）即（4）求相位频谱=cos0=1cos=–1当角度在第一、二象限时,sin为正，为正实数,即=1,故

n=0。

…三、四.…负,…….负…-1…….。即当2n<n/T<(2n+1)时，

n=0当（2n+1）<n/T<(2n+2)时，

n=将T=2/代入上两式并化简，得

n=0，当4n/<n<2(2n+1)/，n=0,1,2,……

n=，当2(2n+1)/<n<2(2n+2)/，n=0,1,2,……由此作出相位频谱如下

n

02/4/6/8/(n)f(t)的相位频谱02A

TAn

n

2

4

6

复数振幅.Cn=/2，按其正负值作出频谱图。讨论：脉宽和周期T的比值改变对频谱结构的影响。1.不变而T增大时：（1）谱线逐渐变密。（因为=2/T，故T

谱线变密）（2）各条谱线高度减小。（An与T成反比）2.T不变而

减小时：（1）振幅为零的谐波频率提高。（2）整个频谱的振幅都相应减小，收敛速度降低。频带宽度的定义：对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称频宽。

信号的时间特性和频率特性间的关系——时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。§3.5非周期性号的频谱fT

(t)A-TT0ttf

(t)A0周期矩形脉冲信号fT(t)非周期单脉冲信号f(t)当T，谱线的间隔(=2/T),若T

，则0，离散频谱变成连续频谱；An亦无限趋小,但仍有相对大小。为了表示这种关系有必要引入一个新的量。设fT(t)，其两边乘以T/2，且当T

时，这个量不趋于零，这个极限量用符号F(j)表示，即又当T

时，趋于无穷小而用d来表示，n趋于，

，故因为具有单位频带的振幅的量纲，所以F(j)称为原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。F(j)是一个复函数，可写成习惯上把——

和()——的曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。由于而若f(t)为实信号，则F(j)和F(-j)是一对共轭复数，即

F*(j)=F(-j)因此，若F(j)=|F(j)|e-j()

则F(-j)=|F(-j)|e-j(-)比较两式，故|F(j)|=|F(-j)|和(-)=-()可见|F(j)|是频率

的偶函数，()则是频率

的奇函数。当T无限趋大时，付里叶变换式正反简记为F(j或f(t)）三角函数形式的f(t)F(j)=ℱ{f(t)}F(t)=ℱ

-1{F(j)}tf

(t)A0f(t)=A|t|</20|t|>/2

门函数，记为G

(t)或g

(t)，表示门的宽度。根据付氏正变换式，可得上式的模和相位分别为当当周期性脉冲频谱与非周期性单脉冲频谱的讨论：1.它们的包络线形状完全相同,都具有抽样函数Sa(x)的形式。式中的不连续变量n

在F(j)式中换成了连续变量。结论：非周期性脉冲信号的频谱函数F(j)和由该脉冲按一定周期T=2/重复后所构成的周期信号的复数振幅之间,只要知道一个,另一个就可以由

和n

的互换并乘以或除以2/T得到。0A

|F(j

)|

2

4

6

(a)幅度谱8

0A

F(j

)

2

4

6

(c)频谱函数8

0

()

2

4

6

(b)相位谱8

§3.6常用信号频谱函数举例

1.单边指数信号f(t)=Ae-t(t)，>0解：

0|F(j)|A

(b)振幅频谱Ae-t(t)f(t)t0(a)单边指数脉冲

0

()

2（c)相位频谱2

-§3.7付里叶变换的性质——信号的时域特性和频域特性的关系线性若f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)则af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)其中a、b均为常数。2.时延性f(t-t0)若f(t)F

(j)则F

(j)ℱ[f(t-t0)]=证:根据FT的定义，有同理ℱ[f(t+t0)]=F

(j)f1(t)t0A

f2(t)t0A

2

20

()

2

4

6

相位谱8

2

例：求矩形脉冲的频谱函数。解：门函数的频谱函数为)2()(wttwSaAjF2=由时延性可得显然|F1(j)|=|F2(j)|

证明：根据FT的定义有频移性（调制定理）

若f(t)

F(j)j

ctj

ct则f(t)e

F(j-)ℱj

ctj

ct即f(t)e

F(j-)同理可得j

ctj

ct

f(t)e

F(j+)频谱搬移

ℱℱℱℱ[]即f(t)cos

ct

1/2[F(j+j

ct)+F(j-j

c)]类似地可得

ℱ[f(t)sin

ct]=j/2[F(j

t

j

c)

-F(j

-

j

c)

]例2.7—2求矩形条幅信号的频谱函数G

(t)t0A

2

2Atf(t)=G(t)•cos

ct

2

2A

2-

c2

c+2

c-½[G(j+j

c)+G(j-j

c)]0

A

2

4

G(j

)0

6

2

4

解：门函数的频谱为G(j

)=A

Sa(

/2)F(j

)=1/2F(j-j

c)+1/2G(j+j

c)=A

/2Sa[(

-

c）/2]+A

/2Sa[(

+

c）/2]

f(t)=G(t)cos

ct=1/2G(t)(e+e)=1/2G(t)e+1/2G(t)ej

ct-j

ctj

ct-j

ct4、比例性（尺度变换特性）

f(at)F(j/a)例2.7—3：f(t)=sint在0

t2π间有一个完整的正弦波。讨论:(1)若f(t)沿t轴压缩三倍，新函数应记为f(3t)=sin3t.

(2)若f(t)沿t轴扩展两倍，新函数应记为f(t/2)=sin(t/2).(1)若f(t)沿t轴压缩三倍，新函数应记为f(3t)=sin3t.(2)若f(t)沿t轴扩展两倍，新函数应记为f(t/2)=sin(t/2).0f(t)=sint.1tπ2π(a)012π(c)tg(t)t01

2

2g(t/2)t01-

(d)g(t)扩展成g(t/2)01π2πtf(3t)=sin3t.(b)结论：代表信号的函数f(t)沿时间轴压缩或扩展而成的新函数，当a时大于1的正实数时，表示信号压缩了a倍，当a小于1的正实数时，表示信号扩展了1/a倍。

若

f(t)F(j

)

则f(at)1/|a|F(j/a)证：令x=at,则t=x/a,dt=1/adt

若a>0，则当t=

时，x=,t=-,x=-

时，于是ℱℱℱ若a<0,则当t=

时，x=-,t=-,x=

时，于是综合两种情况，便可得到对于a=-1f(-t)F(-jω)

比例性表示：信号在时域中的时间函数压缩（或扩展）a倍，相应的，它在频域中的频谱函数就要扩展（或压缩）a倍。对于a=1的情况，说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。f(t/2)t01-

f(t)t01

2

22

2

0

2

2F(2j)(a)a=0.5(b)a=1f(2t)t01

4

4

4

0

2

F(j)2

4

(c)a=24

0

1/2F(j/2)4

2对任意形状的f(t）和F(j

)

同样

若令

Bs分别为f（t）和F(jf)等效宽度，根据等效脉冲宽度和等效频带宽度的定义（见下图）,0f（0）f（t）t

0f（0）f（jf）tBs可以写出下列关系:解上式可得

•

Bs=1或Bs=1/

5、对称性若f(t)

F(j

则F(jt)2f(-)证：

上式右边，将变量

用一个虚设变量代替，可得：相应的有将变量x用t代替，则得ℱ所以，若

f(t)

F(j

则

F(jt)2f(-)如果f(t)

是t的偶函数,相应的有f()

得偶函数，此时

2f(-)=2f()=ℱ[F(jt)]如果偶函数f(t)

频谱函数是F(j，则与F(j

形式相同的时间函数F(j

的频谱函数与f(t)

有相同形式，而为2f()。f(t)=(t)（1）t0(a)f(t)=()（1）

0(c)f(j)=11t0(b)正变换f(jt)=1/2

1/2

t0(d)反变换偶函数时域和频域的对称性f(t)t01

2

2(a)

2

0t2

F(jt)4

(c)

4

0

4

2

F(j)

2

(b)02

2

2

F(j)(d)解：f(t)=1|t|<0|t|>

2

2其FT为2wtt)(SaF(j)=则根据偶函数的对称性，它的FT为ℱ[F(jt)]=2f()=20||<||>6.微分特性（1）时域微分若f(t)F(j)则证:(2)频域微分特性若f(t)F(j)则7.积分特性（1）时域积分特性若f(t)F(j)则证：ℱ推广如果F(o)=0，或将=0点除去不计，则得ℱ(2)频域积分特性若f(t)F(j)则8.卷积定理（1）时域卷积定理若则证：Y(j)=ℱ[y(t)]={令a=t-，da=dt}（2）频域卷积定理若f(t)F(j)g(t)G(j)，则f(t)g(t)§3.8含有冲击函数的付氏变换1.单位冲击信号（t）根据（t）的广义函数定义，可得ℱ[(t)]=

即(t)

1(t)0（1）t0

ℱ[(t)]12.常数Aℱ[A]=

ℱ[(t)]=1

ℱ-1[1]=

令=-x，则当=时，x=-；=-时，x=，故于是用

代替t，则最后用t代替x，得即ℱ[A]=A或当A=1时，有ℱ[1

]=或1f(t)A0tℱ[A](2

A)0

3.正负号信号Sgn(t)Sgn(t)01-1t(a)正负号信号Sgn(t)=1，