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第第页对号函数在数学解题中的应用函数问题的解答

对号函数在数学解题中的应用

在求函数的最值或值域时，有些函数不能用均值不等式，主要是由于等号不成立，而用单调性又难以判断与证明。掌控对号函数的性质，使这类题目在解题中显得简便而精确。

函数ya*

b*

〔a0,b0〕叫做对号函数，因其在〔0，+∞〕的图象似

b*

ba

符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当*0时，a*

b*

ba

2

〔当且仅当a*R+〕的性质:当*

ba

即*时取等号〕，由此可得函数ya*

b*

〔a0,b0,*∈

时，函数ya*

b*

〔a0,b0,*∈R+〕有最小值2

b*

ba

，特别地，当

ba

a=b=1时函数有最小值2。函数ya*

ba

〔a0,b0〕在区间〔0，〕上是减

函数，在区间〔，+∞〕上是增函数。

b*

由于函数ya*

-

〔a0,b0〕是奇函数，所以可得函数ya*

b*

〔a0,b0,*∈R〕的性质：当*

ba

时，函数ya*

b*

〔a0,b0,*∈R-〕有最大值-2

b*

ba

，特别地，当

ba

a=b=1时函数有最大值-2。函数ya*

ba

〔a0,b0〕在区间〔-∞，-〕上

是增函数，在区间〔-，0〕上是减函数。

利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数y解：令t

y

t1t

2

*2*4*2*3

2

2

的最小值。

2

*2*3，那么t

1t

2

(*1)22

t

函数问题的解答

依据对号函数yt在〔1，+∞〕上是增函数及t的取值范围，当t2时y

t

1

有最小值

322

。此时*=-1.

2sin*

(*k,kZ)的单调区间，并求当*(0,)时函数的

2、求函数ysin*最小值。

解：令t=sin*,对号函数yt是增函数，所以ysin*

2

2t

在〔0，2〕上是减函数，故当*(0,]时sin*

2

sin*

22(,)上是增函数，由于函数ysin*是奇函数，所以函数ysin*2sin*sin*

2在(,0)上是减函数，在(,)上是增函数，由周期性，函数ysin*

22sin*

sin*

在(0,]上是减函数。同理，ysin*

2

2

在

在每一个区间(2k

(2k,2k(2k

2

,2k)(kZ)

上是减函数，在每一个区间

2sin*

2

)(kZ)

上是减函数；函数ysin*在每一个区间

32

)(kZ)

2

,2k)(kZ)上是增函数，在每一个区间(2k,2k

上是增函数。当*(0,)时t(0,1]，当t=1时即*3、求函数y2*

3*

2

时y有最小值3。

的单调区间，并用函数单调性定义证明之。

3*

解：利用对号函数性质，简单得出函数y2*

62

62

的单调递增区间是

62

〔-∞，-62

〕，〔，+∞〕，函数的单调递减区间是〔-62

，0〕，

〔0，〕。下面只证明在区间上〔0，

62

〕是减函数的情形：

3*1)

设任意的*1,*2〔0，

*2*1*1*2

〕,且*1*2，f(*1)f(*2)2*1

3*1*2

2*1*23*1*2

(2*2

3*2

)

=2(*1*2)3()=(*1*2)(2

)(*1*2)(

由于*1,*2〔0，

62

〕,且*1*2，所以*1*20,2*1*230

函数问题的解答

(*1*2)(

2*1*23

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