2013年4月自考04184线性代数经管类试题及答案含解析

线性代数（经管类）年月真题

0418420134

1、【单选题】

A:

B:

C:

答D:案：C

解析：

本题考查行列式展开定理.a22的代数余子式为，故选择C.参见教材P9.

（2013年4月真题）

2、【单选题】设A，B均为n阶矩阵，（A＋B）（A－B）＝A2－B2的充分必要条件是（）.

A＝E

B＝0

A:

A＝B

B:

AB＝BA

C:

答D:案：D

解析：本题考查矩阵的乘法运算.（A＋B）（A－B）＝A2＋BA－AB－B2＝A2－B2，则AB＝

BA；反之亦正确，故选择D.参见教材P42.（2013年4月真题）

3、【单选题】设向量a1，a2，a3线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.

a1，a2，a1＋a3

a1－a2,a2－a3,a3－a1

A:

a1，a2，2a1－3a2

B:

a2，a3，2a2＋a3

C:

答D:案：A

解析：

本题考查线性相关性概念。C、D显然线性相关，只需验证A、B两个选项.A：设数k1，

k2，k3，使k1＋k2＋k3(＋)

＝(k1＋k3)＋k2＋k3＝0，得关于k1，k2，

k3的线性齐次方程组，其系数行列式为:此方程组只有唯一零解，所以向

量组，，＋线性无关.因此，

不必再验证B.参见教材P88.（2013年4月真题）

4、【单选题】

1

2

A:

3

B:

4

C:

答D:案：B

解析：

本题考查齐次线性方程组的解。设方程组的系数矩阵为A，则A＝

所以，r(A)＝2，n－r(A)＝4－2＝2，故选择B.参见教材

P112.（2013年4月真题）

5、【单选题】设－2是3阶矩阵A的一个特征值，则A2必有一个特征值为（）.

－8

－4

A:

4

B:

C:

8

答D:案：C

解析：本题考查特征值与特征向量的若干结论.由定理5.1.3，A2的特征值为（－2）2＝

4，故选择C.参见教材P133.（2013年4月真题）

6、【问答题】

答案：6

解析：

本题考查行列式的性质2.＝6.故填写6.参见教材P12.（2013年4月真

题）

7、【问答题】A是3阶矩阵，若|A*|=4，且|A|＜0，则|A|＝________.

答案：－2

解析：

本题考查方阵的伴随矩阵，，所以|A|＝±2，又|A|＜0，所

以|A|＝－2，故填写－2.参见教材P49.（2013年4月真题）

8、【问答题】

答案：

解析：

本题考查矩阵的转置.，故填写。参见教材

P43.（2013年4月真题）

9、【问答题】设a1=（1，－2，5），a2=（4，7，－2），则-2a1+3a2＝________.

答案：（10，25，－16）

解析：本题考查n维向量概念及其线性运算.-2a1+3a2＝－2（1，－2，5）＋3（4，7，

－2）＝（10，25，－16），故填写（10，25，－16）.参见教材P82.（2013年4月真

题）

10、【问答题】

答案：

解析：

本题考查齐次线性方程组的通解的求法.设方程组的系数矩阵为A，则A＝

，r（A）＝2，3－2＝1，,取x2=1，得，故

填写.参见教材P114.（2013年4月真题）

11、【问答题】设A为3阶矩阵，r（A）＝2，若存在可逆矩阵P，使P－1AP＝B，则r（B）

＝________.

答案：2

解析：本题考查矩阵的秩.因为P可逆，则P和P－1均可分解为若干初等矩阵的乘积，所

以P－1AP相当于对A施行若干次行与列的初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩.已知

r(A)＝2，故r(B)＝2.参见教材P71.（2013年4月真题）

12、【问答题】已知向量组a1＝（1，2，－1，1），a2＝（2，0，t，0），a3＝（－1，2，

－4，1）的秩为2，则数t＝________.

答案：3

解析：

本题考查向量组的秩及极大无关组的求法构造矩阵并对其施行初等行变

换..已知向量组的秩＝2，所以，解得t＝

3，故填写3.参见教材P98.（2013年4月真题）

13、【问答题】设向量a1=（1，2，－1），a2=（3，2，1），则内积（a1,a2）＝________.

答案：6

解析：本题考查向量内积.（a1,a2）＝3＋4－1＝6.参见教材P146.（2013年4月真

题）

14、【问答题】

答案：

解析：

本题考查二次型的标准形.，故填写.参见教材P165.

（2013年4月真题）

15、【问答题】

答案：a+b+c+d

解析：

本题考查行列式的计算..参见教材P17.（2013年4月真题）

16、【问答题】

答案：

解析：

本题考查方阵的逆矩阵.因为，矩阵可逆，所以此方程有解.

求此矩阵的逆矩阵，先求其各元素的代数余子式A11＝2，A12＝0，A13＝0，A21＝1,A22＝

0，A23＝1，A31＝4，A32＝－2，A33＝2.所以，此矩阵的逆矩阵为所以，

.参见教材P48.（2013年4月真题）

17、【问答题】设A为3阶矩阵，将A的第一列与第二列互换得到矩阵B，再将B的第二列

加到第三列得到矩阵C，求满足关系式AQ＝C的矩阵Q.

答案：

解析：

本题考查矩阵的乘法运算.根据初等方阵的功能，将A的第一列与第二列互换得到矩阵B

相当于，而将B的第二列加到第三列得到矩阵C相当于所

以，满足关系式AQ＝C的矩阵Q为.参见教材P39.（2013年4月真题）

18、【问答题】

答案：

解析：

本题考查向量的线性组合.以4个已知向量坐标为列构造矩阵并对其施行初等行变换

所以，α4可以用α1,α2,α3线性表示，且

2α1+α2+α3=α4.参见教材P83.（2013年4月真题）

19、【问答题】

答案：

解析：

本题考查非齐次线性方程组的求通解方法.先把增广矩阵化简（1）当

，即时，方程组有解.（2）将代入增广矩

阵，得，据此得到原方程组的同解方程组，得方程组的一个

特解，原方程组的导出组的同解方程组为取

，得基础解系于是原方程组的通解为

k，其中k为任意常数.参见教材P120.（2013年4月真

题）

20、【问答题】

答案：

解析：

本题考查正定矩阵.由已知条件得二次型的实对称方阵其特征方程为

得特征值，，当时，解方程组

，得，单位化为，当时，解方

程组，得，单位化为，所以得正交变换方阵

使得，正交变换为正交变换为x＝py或.由

于此二次型的特征值均为正数，所以它是正定的.参见教材P172.（2013年4月真题）

21、【问答题】

答案：特征值λ1=λ2=1，λ3=2.A与对角阵相似.

解析：

本题考查相似标准形的结论.矩阵A的特征方程为得特征值

，.当时，解方程组,，得特征

向量，，当时，解方程组，得

特征向量，因为所以，三个特征向量线性无关，由定理

5.2.2知，A与对角阵相似.参见教材P144.（2013年4月真题）

22、【问答题】设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak＝0，证明A的特征值均为0.

答案：本题考查特征值与特征向量的若干结论.设n阶矩阵A的任意一个特征值为λ，对

应的特征向量为x，则有Ax=λx,Ak的特征值为λk，则Akx=λkx,因为Ak＝0，所以

λkx=0.而特征向量x≠0，所以λk=0，即λ=0.因此，由λ的任意性，A的特征