【一元次不等式的解法及其应用探究8200字（论文）】

一元n次不等式的解法及其应用研究目录摘要 4第一章绪论 51.1研究背景 51.1.1国外研究背景 51.1.2国内研究背景 61.2不等式在数学中的重要地位 61.3研究意义 61.3.1理论意义 61.3.2现实意义 7第二章.一元n次不等式的解法 82.1一元二次不等式的解法 82.1.1因式分解 92.1.2不等式恒成立的情形 102.2可因式分解的不等式 10第三章一元n次不等式解法的应用 133.1中学教学的背景 133.2一元n次不等式的解法 133.2.1图形解法 133.3研究结论 15参考文献 16摘要:不等关系是数学中最基本的数量关系,从不等式的历史来看,可发现不等式作为研究数学问题的工具充满了迷人的魅力.无论是初高中的数学知识结构中,它都占据了重要的地位,同时也是高考中经常会出现的考点.高考数学考查的内容反映了教育改革的方向和人才培养的要求,对教育教学工作有一定的导向作用.基于不等式在高考中的重要地位及其研究价值.本文以一二次不等式的解法为基础,对一元n次不等式的解法及其应用进行了深入的探讨.本文共分为了四个部分：第一部分,对本课题的国内外研究背景、目的和意义进行了介绍,对本研究的研究方法和依据进行了说明.第二部分,介绍了一元n次不等式的解法.第三部分,探讨了一元n次不等式的解法的应用及对本研究的结论进行了总结.关键词：不等式;不等式的应用;不等式的解法第一章绪论1.1研究背景1.1.1国外研究背景数学不等式是在数学等式基础上发展起来的概念，不等式的出现打破了等式所要求的平衡，同时也为数学思想带来了新的突破，数学领域也开始进入新的阶段。世界对不等式的研究主要源自欧洲国家，南斯拉夫人对不等式研究产生了浓厚的感兴趣，同时不等式领域的研究也取得了重要的成果。不等式理论的发展与其他理论一样，是一个建立理论而后不断完善的过程，而从不等式理论的发展过程来看，伦敦数学学会主席Chebycheff的演讲让不等式理论与等式的成立之间建立了桥梁，他认为基本不等式与等式的联系是具有内在性的，通过研究基本不等式向等式转化的条件，不等式与等式之间能够形成统一，从而使得不等式的研究更加具备实用意义。这一公开性的演讲为不等式理论的研究指明了新的方向，同时也让不等式理论体系更加丰富，让不等式中蕴含的数学思想更加复杂而有逻辑性，让数学体系变得更加紧密和有秩序，为后人对不等式理论的深入研究奠定了基础。此外，Lnequalities的问世缔造了数学不等式应用学科，这一学科的诞生已经有了深厚的基础理论作为支撑，并且通过对不等式应用的研究，不等式体系更加具备系统性，不等式的公式，通过数学条件与实际条件的相互转化，形成了与实际问题的沟通，从而不等式体系更加科学，不等式系统也更加丰富和完善，成为重要的数学概念之一。国外学者对不等式研究具有浓厚的兴趣，因而在不等式的研究许多领域都做出了重要贡献，其中哈代在其著作《不等式》中对不等式的公式进行了总结，并通过研究分析公式之间的逻辑相关性，形成了不等式研究的最初系统；密特利诺维奇的则根据前人研究的基础，总结出版了《解析不等式》，并对不等式的研究内容进行了细化，拓展了不等式研究的深度和广度。1.1.2国内研究背景中国对不等式的研究较晚，20世纪80年代以来不等式曾在中国掀起研究热潮，并集中体现了该时期研究的贡献和成果。在不等式研究在中国兴起的时候，中国不等式研究小组的创立更是为不等式理论的深入研究打下了基础，该小组创办了科学研究杂志，专门刊登不等式研究的最新成果，形成了研究与传播一体化的局面，同时也让更多对不等式感兴趣的人才投入到这一领域的研究中。不等式研究小组的创办让不等式的研究更加具有系统性，同时能够发挥团体的作用将不等式研究推向高效高质量的层面，中国在不等式领域的研究成果逐渐在国际领域具备一定的实力。在数学家大会等影响力较大的会议上也不断出现不等式研究者的身影，中国学者对不等式的研究方向逐渐从基本不等式向不等式与其他分支的结合扩展，对不等式问题的证明和研究也取得了颇具特色的理论成果。1.2不等式在数学中的重要地位数学中数学思想的发展也是从规则向不规则的方向发展，不等式就是这种发展方向的重要体现。不等式打破了等式的规则美，同时也赋予了数学不规则的思想，体现了数学思维没有边界的特点，也鼓舞了一众数学家深入探究数学理论的决心。从数学的历史中回归到数学的教学，可以发现不等式关系是中学数学教学中的重要部分，不等式的思想体现了数学教学的内容的过渡性，是简单数学知识向难点的过度；在高中数学中，不等式的知识体系得到了加深，对不等式的学习更加具有系统性。此外不等式与其他知识的联系也是高中数学教学的重难点，比如将不等式与函数知识进行联系，可以将极限思维与数形结合的思想纳入这一体系中，并对极限点进行求解，最终得到符合条件的范围。此外，不等式的综合运用也是高考中常考的知识点，高考题中对不等式知识的设置，往往包括直接和间接两种，但不论以哪种方式对不等式知识进行考察，都必须承认不等式知识始终贯穿在中学数学的教学中，对数学教育和数学思想的形成有着重要意义。1.3研究意义1.3.1理论意义不等式知识体系属于数学教学中的重要部分，也是一个从初中开始打基础到高中开始深入运用的知识之一，由于不等式知识体系中涵盖着较为丰富的数学思想，同时也属于数学解题的基本方法之一，所以对不等式解法进行研究，并且深入挖掘解法背后的数学思想，有助于对不等式理论进行深入的解读。不等式中蕴含的数学思想是学生成长过程中所必备的逻辑思维之一，深入研究不等式解题的思维方法，可以对学生的逻辑思维能力进行提升，也能够帮助学生更好地理解数学体系中的其他知识。此外，不等式与等式之间的关系是数学体系中联系思维的基础，通过对不等式理论的深入研究，能够加深对二者之间关系的理解，同时也能够将联系的思维运用到与其他知识的联系中。这种联系性思维能够为学生的理论研究打下基础，同时也能够帮助学生利用数学知识的联系性进行举一反三，培养学生求同和求异的思维，引导学生从二者的辩证关系中探寻数学规律的美感。此外,这个阶段的学生易于思考、接受能力较强,这为教学提供了良好的条件.1.3.2现实意义如今的求职过程中经常会遇到一些被冠以“奇葩”之名的题目.这些其他的题目通常都有一个特点，即运用一定的逻辑思维设置干扰项，从而掩盖问题的本质，一旦求职者未曾透过现象看到本质，即摸不清楚答题的套路，那么这些奇葩的题目将成为求职过程中的阻碍，求职者的自信心也会受到打击。

而从找到问题本质的方法来看，求职者需要具备系统的逻辑思维，即优秀的问题分析能力，这种能力可以看作是多元化思维的体现。如果求职者具备多元化思维，则可以对问题进行多角度的分析，从而找到问题的共性和根源，在奇葩的问题在多元化的分析中也会迎刃而解。为了避免求职者被其他问题所难倒，在学生时代教育体系就应当注重多元化思维的教育，而数学教育是最能够体现逻辑思维和灵活性思维的学科。在数学教育中不等式存在着多种变式，这一知识体系也贯穿在初高中的教学中，因而不等式的灵活性和方法性对学生的成长具有重要作用。在教学中,我们注重结果的同时也要注重过程.为此,我们在讲解一元n次不等式的解法过程中渗透了数学归纳法的思想,让学生拥有全局观念,并且运用到今后的学习中.为今后的学习奠定坚实的基础.第二章一元n次不等式的解法 定义2.1假设x是一个符号或文字,形如a（2.1）的表达式称为数域F上的一元多项式,简称一元多项式.其中a0,a1,a2,…,an都是F中的数,n是非负整数.a0称为零次项或常数项,a1在（2.1）中,当ak=0时,akxk这一项可以不写,当an≠0时,anxn称为多项式（2.1）的首项（最高次项）；a这样,数域F上每一个系数不全为零的多项式有一个唯一确定的次数,特别,首项是零次的多项式a0(a0零多项式不定义次数,而零次多项式的次数为零,它是一个非零常数,两者是完全不同的.以后谈到多项式f(x)的次数时,总假定f(x)≠0.定义2.2设F是一个数域,给定Fxf和一个数c∈F.那么在fx的表达式里,把x用c来代替,就得到Fa这个数叫做当x=c时f(x)的值,表示为f(c).如果f(c)=0,那么c叫做多项式f(x)2.1一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,成为一元二次不等式我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0a>0,设∆=b2−4ac,它的解按照∆>0,∆=∆∆>0∆∆<0y=a的图像a的根没有实数根a的解集{a的解集∅表2.1根据以上不等式的性质,我们便可以解决一些生活中的基本问题.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化二次项系数为正；（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根x1x2,那么“>0”型的解为x<x1或x>（3）否则,对二次三项式进行配方,变成ax结合完全平方式为非负数的性质求解.2.1.1因式分解因式分解是初二数学教学中首先接触的概念，这一知识体系提现了数学中分解和整合的思维，通过简单的因式分解能够把复杂的问题简化，因而因式分解的思想对其他数学问题的解法也具有指导意义。因式分解应用最多的领域是通过分解将式子进行恒等变化，而变化钱和变化后的式子只存在形式上的不同，式子的本质并没有发生变化。因式分解主要体现了学生的变式思维，要求学生能够找到最简单的方法对问题进行解答；同时运用因式分解进行知道也能够体现学生思维的灵活性，由于因式分解可以进行的角度非常多，从不同的角度对式子的共性进行归纳则会得到不同的因式分解结果，，而不同的因式分解，结果又能够对学生的思维能力进行体现。所以能力较好的学生能够寻找最简单的方式，用最快的时间对问题进行解答，而思维能力较弱的学生也能够通过简单的因式分解，对问题进行简化，虽然无法达到快速解题的目的却也能够体现数学思维的深化。因式分解的方法主要有提公因式法，这种方法主要考验学生的整体和分解能力，提公因式的本质，主要是找到式子的共性，然后对式子进行由整到分或者由分到整的变形，以达到简化解题过程的目的。根据以上描述我们知道,若要将8a3b2+12ab3c分解因式,首先应找出8a3b2与12ab3c的公因式,再提出公因式,我们看这两项的系数8与12,他们的最大公约数是4；两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a8=4a又如,在把2ab+c−3(b+c)分解因式时,b+c是这两个式子的公因式,可以直接提出2a=2.1.2不等式恒成立的情形与等量关系一样,不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用.与实数的基本性质（任意两个正数的和与积都是正数）一样,不等式也具有以下基本性质：（1）a>b,b>c⇒a>c;（2）a>b⇒a+c>b+c;（3）a>b,c>0⇒ac>bc;（4）a>b,c<0⇒ac<bc.（5）a>b,c>d⇒a+c>b+d;（6）a>b>0,c>d⇒ac>bd;（7）a>b>0⇒（8）a>b>0⇒2.2可因式分解的不等式多项式的因式分解理论与整数的因数分解理论相似,不同的是多项式的因式分解与系数所在的数域密切相关.如fx=x2−2在有理数域Qf定理2.2.1数域Fx的每一个n(n>0)次多项式f(x)都可以分解成Fx的不可约多项式的乘积；而且在不计零次因式的差别外f(x)的这种方解式是唯一的.也就是说,如果f此处pi(x)与qj(x)(i=1,2,…,r;j=1,2,…s)都是Fx的不可约多项式,q其中ci是F的不为零元素定理2.2.2实数域上一元多项式f(x)总可以分解成为一次因式和既约二次因式(∆=b2−4ac<0)px由于式中二次三项式(x2+F同解.(“”表示">""<""≥""≤"中任一种如果αii=1,2…,k是奇数,那么上式左边的符号恒与(x−x1)(x−xf同解.现在我们来讨论这一类型的n次不等式的解,它的解的研究可归结为fx的符号讨论不失一般性,现在我们约定fx的所有实根x1,x2…,是由大到小排列.反过来,xx如果我们把上面k+1个区间由右至左来编号,即把

x分别叫做第1,2,3,….,k,k+1区间,而把奇数编号的区间叫做奇区间,把偶数编号的区间叫做偶区间,并把记奇区间的符号记在数轴的上方,偶区间的符号记在下方,即“奇上”,“偶下”,如图图2.2.2定理2.2.3形如fx=xn+1的形式,令（1）当n=3时,xn(x+1)(（2）当n=5时,xn(x+1)(（3）当n=7时,xn(x+1)(⋮（4）为n时,xn(定理2.2.4形如fx=xn−1的讨论.与（1）当n=3时,xn(x−1)(（2）当n=5时,xn(x−1)(（3）当n=7时,xn(x−1)(⋮（4）为n时xn(x+1)(因式分解定理从理论上论证了Fx的每一个n(n>0)次多项式f(x)都可以唯一分解成Fx的不可约多项式的乘积.实际上,对于一般的多项式普遍的分解方法是不存在的定理2.2.5设Fxf则多项式f称为fx的导数或一阶导数一阶导数fx的导数叫做fx的二阶导数,记作f(x)；f(x)的导数叫做fx的三阶导数,记作f(x),等等,推论2.2.6形如fx=x对fx=xn−nx+a0证明：显然,函数fx=xn−nx+a0由此,fx>0,在定义域内单调递减,故而原函数在其定义域内单调递增,最小值大于零.所以fx推论2.2.7形如fx=x证明：当n为偶数时,fx>0,显然函数fx在R上单调增加,其最小值大于零.所以f第三章一元n次不等式解法的应用3.1中学教学的背景中学数学的教学对数学理论的涉及较少，主要体现在解题思维和解题方法的教学中。而在教学过程中最能体现解题思维和方法的工具就是与现实生活相联系的应用题。在大量的应用题中能够贯彻不等式的中心思想，而且能够对数学的思维进行提升和锻炼。在初中阶段学习对不等式的学习主要集中在对不等式概念的理解，通过将不等式概念与基础的应用题进行结合，最终得到数量的对比，而这一对比通常要用到不等式的符号。在这一类应用题中，主要解决的是对不等式概念的理解，并且将不等式的关系数量化，从而方便学生接受不等式所表达的不相等的关系。而在高中阶段的学习中，不等式的思想常常与函数知识想联系，绝对不等式知识的考查中体现了函数的逻辑思维。在这一阶段对不等式的考察可能直接体现在对函数定义域范围的确定中，也可能间接的与函数的几何图形相连接表达一种极限的思维。由于不等式与函数的结合是高考考察的重点问题，这一问题中体现的数学思想较多，逻辑关系较为复杂，因此在这个问题的教学中，需要引导学生对不等式的概念进行熟悉，并且运用等式与不等式的联系，帮助学生对不等式表达的不等关系进行理解。比如在对一元二次不等式的教学中，可以联系一元二次方程的解法，让学生找到解题方法的思路，其次找出一元二次次方程和一二次不等式的不同点，即符号的变化，最后总结一元二次不等式，主要是在一元二次方程的解的基础上，对符号和范围进行确定，最终得到了一元二次不等式的最终答案。虽然运用类比的思想，能够帮助学生更好的理解一元二次不等式，但是在教学过程中教师也要注重与学生的沟通和交流，及时找到学生思维的难点，继而针对问题进行解决。3.2一元n次不等式的解法3.2.1图形解法根据定理2.2.2,我们用一条曲线表示出f1(x)的图像在（−∞把f1(x)的实数根x1,x2…xl,按大小排列为x1<x2<…<xl后,分别在数轴上标出,如果各个一次因式的指数和∆是一个偶数,就从数轴的上方开始划曲线,自左至右依次经过x1,x解不等式f(x)=根据以上结论,在解不等式f(x)=x5−f(x)=x与f1(x)=(x+1)(x−1)(x−2)>0同解,而多项式f图3.2.1根与区间关系图从图形可以看出：f1(x)>0的解集：(−1,1)∪(2,+∞解不等式f(x)=(x+2)不等式f(x)=(x+2)(x+1)多项式f(x)有五个实根−2、−1、1、2、3,在数轴上分别标出,又因为各式的指数和：1+2+3+1+1=8图3.2.2根与区间关系图从图形可以看出：f(x)=(x+2)(x+1)2(−∞,−2)∪(1,2)∪(3,+∞)解不等式f因为x所以原不等式与不等式f同解,f1x>0的根由大到小分别是：图3.2.3由于f1x>0,所以它的解在奇区间里x如果将3中fx<0那么它的解集就是所以偶区间的并集x如果将3中fx≥0那么在数轴上,除两端是半开区间外,其余是闭区间,那么x3.3研究结论不等式知识在教材中的微观呈现方式有:集合的表示,定义基本概念,呈现基本原理，推理与证明等知识模块学习的载体.可见不等式