二面角的几何求法

关于二面角的几何求法学习目标：1、知道二面角和二面角的平面角定义以及二面角平面角的范围。2、熟悉二面角的常见作法：定义法、垂面法、三垂线法3、掌握求二面角的一般步骤第2页,共21页，2024年2月25日，星期天

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:复习:2、二面角的表示方法AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义第3页,共21页，2024年2月25日，星期天二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必须满足：

3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:[00，1800]

二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1

P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1第4页,共21页，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角A-VC-B的大小。VABC第5页,共21页，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第6页,共21页，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第7页,共21页，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCAO解：过B点作BO⊥VC于O,连接AO.因为在正三棱锥中VA=VB,VO=VO,∠BVO=∠AVO.所以所以AO⊥VC。所以∠BOA即为所求二面角的平面角。在△AOB中，设AB=1，则AO=BO=作角证角求角定义法第8页,共21页，2024年2月25日，星期天探究准备想一想：

1、还能用什么方法作出二面角的平面角？

（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；

（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。ABCαβαβαβγ第9页,共21页，2024年2月25日，星期天例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第10页,共21页，2024年2月25日，星期天分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E为SC的中点，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。∵AB⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600解毕。SECAD议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？

垂面法第11页,共21页，2024年2月25日，星期天

PABCD过B作BD⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结ED，解：过B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC为正△，∴BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=例3:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值。三垂线法第12页,共21页，2024年2月25日，星期天课堂小结：1、二面角以及二面角的平面角的定义、范围。2、二面角平面角的作法：定义法、垂面法、三垂线法3、求二面角的步骤：作角-----证角--------求角第13页,共21页，2024年2月25日，星期天第14页,共21页，2024年2月25日，星期天第15页,共21页，2024年2月25日，星期天第16页,共21页，2024年2月25日，星期天预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第17页,共21页，2024年2月25日，星期天谢谢指导！第18页,共21页，2024年2月25日，星期天预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第19页,共21页，2024年2月25日，星期天A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。

∵

F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,