函数微分的概念

关于函数微分的概念若给定函数在点处可导,根据导数定义有.由定理1.2知，，其中是当

时的无穷小量，上式可写作.(2.4.1)2.4.1

函数微分的概念返回1/16上一页上一页下一页下一页第2页,共18页，2024年2月25日，星期天(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和．第一项是的线性函数，第二项，当时是比高阶的无穷小量．因此，当很小时，我们称第一项

为的线性主部，并叫做函数的微分．2.4.1

函数微分的概念返回2/16上一页上一页下一页下一页第3页,共18页，2024年2月25日，星期天

定义2.3

设函数在点处有导数，则称为在点处的微分，记作，即，(2.4.2)此时，称在点

处是可微的.例如，函数在点处的微分为．2.4.1

函数微分的概念返回3/16上一页上一页下一页下一页第4页,共18页，2024年2月25日，星期天函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作．(2.4.3)如果将自变量当作自己的函数，则有，说明自变量的微分就等于它的改变量，于是函数的微分可以写成2.4.1

函数微分的概念返回4/16上一页上一页下一页下一页第5页,共18页，2024年2月25日，星期天，(2.4.4)即，

(2.4.5)也就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商．2.4.1

函数微分的概念返回5/16上一页上一页下一页下一页第6页,共18页，2024年2月25日，星期天解；.可见.2.4.1

函数微分的概念返回6/16上一页上一页下一页下一页例1

求函数在，时的改变总量及微分．第7页,共18页，2024年2月25日，星期天2.4.1

函数微分的概念返回7/16上一页上一页下一页下一页曲线坐标的改变量微分的几何意义示意图动画演示第8页,共18页，2024年2月25日，星期天函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处．当自变量取得改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量．2.4.1

函数微分的概念返回8/16上一页上一页下一页下一页第9页,共18页，2024年2月25日，星期天例2

求下列函数的微分：(1)；(2)．解(1)所以．(2)，．2.4.2微分的计算返回9/16上一页上一页下一页下一页第10页,共18页，2024年2月25日，星期天，无论是自变量还是中间变量，的微分总可以用与的乘积来表示．函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性．2.4.3微分的形式的不变性返回10/16上一页上一页下一页下一页以为中间变量的复合函数的微分第11页,共18页，2024年2月25日，星期天利用微分可以进行近似计算.这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值．由微分的定义知，当很小时，有近似公式．，，2.4.4微分的应用返回11/16上一页上一页下一页下一页第12页,共18页，2024年2月25日，星期天即．这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值．2.4.4微分的应用返回12/16上一页上一页下一页下一页第13页,共18页，2024年2月25日，星期天解令，，因为相对于较小，可用上面的近似公式来求值．2.4.4微分的应用返回13/16上一页上一页下一页下一页例3

设某国的国民经济消费模型为．其中：为总消费(单位：十亿元)；为可支配收入单位：十亿元).当时，问总消费是多少？第14页,共18页，2024年2月25日，星期天(十亿元)．2.4.4微分的应用返回14/16上一页上一页下一页下一页第15页,共18页，2024年2月25日，星期天2.4.4微分的应用例4

1830年代后期，法国生理学家普瓦泽伊（JeanPoiseuille）发现了今天我们仍在用来预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢复正常的血液流动．他的公式为

即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管的体积V等于一个常数乘以管半径的四次幂．问：半径r增加10%对V的影响有多大？返回15/16上一页上一页下一页下一页第16页,共18页，2024年2月25日，星期天解

因为

所以，r的微分和V的微分之间的关系为V的相对变化为即V的相对变化为4倍的r的相对变化，故10%的r增加将产生4