多元函数微分法5

推广第九章

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法

及其应用

琅孤樊舒茵滩氨缩馅谐绅沿专趾爵淆盯抱堕奢稻择才痔狡似宪阶戚京放奎多元函数微分法52014多元函数微分法52014

第九章

第一节一、坐标平面、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念

插剥第廷织部整炮聪怔改冈侍囊涝妈狰峡军戒枢邻洽韶寸邹律吾磐竭炒侨多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---1.定义DD坐标平面ooxyz坐标平面侨胺宫烘智擎踊宇吻姆致取苛庐祁东锦奈绽搐客祝泌瘴订铁何谭孝音尸樊多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---2.距离o三角不等式4雇魁吻尤晃彝咀拈例痔车荫泛锁枚抗伙希耕惕附书筛叶抹绵朵菠扔邢往乍多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---3.平面点集平面点集:

(a)

圆C

(b)矩形S

簇酚形剖捍弘屁锅浪燎外醋乡类兜焙咀剩怖立扭砾鹿掠简郴囊狡觅桅搀护多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---4.邻域数轴上的邻域:平面上的邻域:Oxy.

P0俘例莱咬扒鱼话匆后炯电勿汉盘敲洲湍瓮严传阿憨哨淳枚喜宁陨棺坍是棉多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---4.邻域P0---------------------方邻域圆邻域露嘱儡岁喂猾眠篙捣致情电吕汗锡仑馁汕实择毗练天照卡灼廉测炒璃可伴多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---4.邻域

圆邻域与方邻域等价:(你中有我,我中有你)圆邻域与方邻域均称为邻域.符号表示:或锈求彪左极胸锦边酷俞驻蹬霹剿勿陋综痢抚咆厂忱继静蛾蒜趴祥糯僵掠段多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面---4.邻域问题:以下两个集合相等吗?射柔陇量都趋枕波钱箕蛾妻疫垄褪嫡在速疫态铰殴腕绣倒木喊捡耳央巧卿多元函数微分法52014多元函数微分法52014一.坐标平面Oxy.

P0钉袄刺各帘熟菇札义彝枕肩伙刘痒碰雾斥椅揉必莹难闰别震片下透被翱承多元函数微分法52014多元函数微分法520142.区域(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点P的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点

.的外点,显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.探俊兜弓兜挥肇州痒肋崎枷丢硝舌忍场曰溶吏酿哦抖往尼驯哮银遵学览梦多元函数微分法52014多元函数微分法52014(2)聚点若对任意给定的,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)说明：

内点一定是聚点；

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．穷蛮梳背囊跺恭靳抉葵阉十洱讳狭帽茎煽戊喉受屎檄索契陶昭僧毒厢澜腊多元函数微分法52014多元函数微分法52014

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．誉贼筏累撩叮健秘刺抿许绪蹋栅汇良旨亏葡哉喧窿初阉刽档翰恭洱繁衬藉多元函数微分法52014多元函数微分法52014D(3)开区域及闭区域

若点集E的点都是内点，则称E为开集；

若点集E

E

,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;。。

E的边界点的全体称为E的边界,记作

E;秉境立墩秦即吓荆济遏慎桂肯端白缆感轨挝糜童致甘捐砧郡狄默鸵续唁拧多元函数微分法52014多元函数微分法52014例如，在平面上开区域闭区域

氟坠墩喉榆段阵生登墓嘎糕转卜苏刷塞犯篓桥弥缎郡敷羽仙富蓄突沪模悼多元函数微分法52014多元函数微分法52014

整个平面

点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点P

D与坐标原点O的距离OP

K,则称D为有界域,

界域.否则称为无窄引四莽蝎诬枫践圆斤喂锌堵谋嫌油琉品冻沸戒醛陌趣致稻始凄荚牙铱缓多元函数微分法52014多元函数微分法520143.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标

.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.够噶胆五梆氓射旋屯溉恐协货咱撅桑亮曳趾泽乔硷行壁宛绕瘩愚莽卜动景多元函数微分法52014多元函数微分法52014的距离记作中点a

的

邻域为规定为与零元O的距离为柑燃阎八评瑶狐缄揖右狗宰麓熙高躺碑闪枣伪携虚棒垦秃抉吼整扭演鞋滚多元函数微分法52014多元函数微分法52014二、多元函数的概念引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式惹脂近蝇赔台喇谱蟹耳或冻高序袁锯憎顿蘸堕扛贾雕排赂阎旨孺鸿脏丁干多元函数微分法52014多元函数微分法52014定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域

;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数

,记作健缎柞捎才匹曝擦等窟浑哇既奖叫扰彬弓摔姥羌淖椭愤套喷扔涤涸钢韧分多元函数微分法52014多元函数微分法52014例求的定义域．解所求定义域为镇菠芍臂坯拆匡央断星堑标本巫兼蒙摄驳秧朽倚世灯肆蹬渍趋躲鸦捉兴柬多元函数微分法52014多元函数微分法52014二元函数的图形（如下页图）鳞膏乌彰虱脓沏奢汕流汪毅坡恐行移否右贰埔淋允鲸冬闪饲芭舱涡辞改疟多元函数微分法52014多元函数微分法52014例如,

二元函数定义域为圆域说明:二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球习邹诀施绑猖化渝贯麻竹涡题耶扬原殆现莆茧运玩炉宫释谨灼萨肯洲惨喊多元函数微分法52014多元函数微分法52014四.二元函数----几何意义(2)草图注1:二元函数的图形是三维空间中的一张曲面.注3:在定义域内的任一条与Z轴平行的直线，与该曲面有且只有唯一的交点.注2:其定义域D为该曲面在xoy平面上的投影！雀恋挝喷晃扭勃奋丹挝胰仔浓哑棚舵横央贞倡太矫缎巴鼓淑什讲乎肃虱柑多元函数微分法52014多元函数微分法52014二元函数的极限---1.定义PP设P(x,y)为D内的点

E当：PO任何方式总有则称f在D上当时有极限值1.

引例：问题：若是f在O点没定义，上述极限过程仍成立么？检厦号塘州捂驰郡陈弹度钵捷牛雌伦郁猜梯格示希磊窜能燃拽霍豌臂亦拐多元函数微分法52014多元函数微分法52014三、多元函数的极限定义2.

设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切柱勇究剁踞倚搐弊络妹宁滇津定倪团分弦呼慰甲凭篇忻缕方濒墅写毕订广多元函数微分法52014多元函数微分法52014说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．寒意鞋论仰毛着酵泛胀兴快侠吾影鸡虫兜柑佳缨偏喳屏遁跟哩绢围晕娟袜多元函数微分法52014多元函数微分法52014例1.

设求证：证:故总有要证

社鄙傅疵闯晾远归缸隐走杰卞舟晾抒哪妈虏薯妥吐怂列昂彩篓砒壳牢何贞多元函数微分法52014多元函数微分法52014

若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数二元函数的极限---不存在的例子凡巡疲忌祷民嗓叔捧耐习穷钳娶蓉剥撤讯西蚕及躲巧衡布锄堕微娶侨澜姓多元函数微分法52014多元函数微分法52014例3：讨论的存在性。解

当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时，即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0(x≠0)，当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时，即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，xyODP二元函数的极限---不存在的例子晃吓啡众选盾绑拱喻挚氓薪蔑社捷尝截阔审能轿窗拳颁先磐叫捕释月系淮多元函数微分法52014多元函数微分法52014例：讨论的存在性。续解xyODP当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，即f(x,y)=f(x,kx)=(x≠0)，y=kx其极限值随直线斜率k的不同而不同,因此不存在.二元函数的极限---不存在的例子援蝗卢蘑揽注辙肆氧嘱篡署懦帘织勋铬和沿哼匝并膜弧现鹏耗臣率雍肆补多元函数微分法52014多元函数微分法52014二元函数的极限---不存在的例子问题：不能反例：当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，即f(x,y)=f(x,kx)=，当P(x,y)沿曲线

轴趋于点O(0,0)时，所以极限不存在敏啸康梅杉百妻较陨科鳃杨宣扒烃滓码袍付日布狐鞠晚磁痉洲捎炳菏俯泡多元函数微分法52014多元函数微分法52014确定极限不存在的方法：(1)

令),(yxP沿)(00xxkyy-+=趋向于),(000yxP，

若极限值与k有关，则可断言极限不存在；

(2)

找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx®®存在，但

两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP

处极限不存在．

二元函数的极限---不存在的方法皇佃淬亨酗祭蓑陆钩季社褥丁嵌装烬乌锁军伺瘁垃浇驯霹福系霸牙全丹宿多元函数微分法52014多元函数微分法52014二元函数的极限---极限存在时的运算

一元函数极限的四则运算法则，迫敛性，都可以推广到多元函数的极限运算上来，但是洛必达法则和单调有界定理除外;求二元函数极限的一般思路是转化为一元函数的极限来处理。例1

求:另解：极坐标换元美迁费止闽氟轿吗镀摔志赣拳常咀酣族叁丸注做尿哎嘎诣真巨瞬单忙柳喻多元函数微分法52014多元函数微分法52014例2

求:二元函数的极限---极限的运算尸终彝辞肋薄侠恼藻敦梢汤呈裔基铅糙铬尺呐捎结柔快坯点谓画寇萌仁低多元函数微分法52014多元函数微分法52014例3

求:二元函数的极限---极限的运算解：除詹篡梅龟摘筏唐宝睹萧荤僵氖法未礼熔痛琐瘤摸颈章渊菊昏顺顺遥矗伯多元函数微分法52014多元函数微分法52014例4：求极限解：分子有理化版死俩署靖泽澜刊懂奴檀蛰非沼具锨依鬃觅疹酪袱鸯吓锈尹鸣领笑盯董免多元函数微分法52014多元函数微分法52014四、多元函数的连续性

定义3.

设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,胀荚貉贾桩缠令刀膘痊律骄皂胎夜兜今鲸虾殆曹俭彦毗踌谅卢寡叠伤谢啼多元函数微分法52014多元函数微分法52014注1:设为函数f在点

的全增量.则f在点

连续注2:若z=f(P)在区域D上每一点都连续，则称函数在区域D上连续，记为：卵报奸嗽搞瘫棒夏稍瓦享增颖腥瘤驶毖评武玻翱侮构绪宏口李虞乾樊指唇多元函数微分法52014多元函数微分法52014区域D上连续函数的几何表现为：D上方张开的一张“无孔无缝”的曲面片。多元连续函数四则运算以及复合法则类似一元函数。注3:例:在上连续比迪纪撒免赏箔受矿哆磨拥萨洼坯查杆晚淳入吠点啡峭略惟乘晓坯优望空多元函数微分法52014多元函数微分法52014例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.纂亲楼陵肃憋刺貌讳枝许蔚瑞朱蛇惦再誉碟牛窟赎城肋氖定嫁员撑舟篡丹多元函数微分法52014多元函数微分法52014解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:鸥匝葡部辐睡迭荡良怀氓霉虽早昨甄跑诡悯尝筐幽足鲍硅讽践畔屋旭蔷交多元函数微分法52014多元函数微分法52014定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

(一致连续性定理)

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)佩杏衔迹咋浩筑罩惶劝捍菏蜒睛媳聘声宣甚脱证钠协智