多元积分学总结及例题精讲

G.F.B.Riemann(1826-1866)只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学.只有在认识到自然现象是连续的之后，构造抽象模型的努力才取得了成功。------黎曼揣诽垫牵纲嚼汾醛庙辊搂摧拽材筛腋咽郑笺妮挛缘监记炔献上沥忠莽说奎多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲多元函数积分学泵缄长思起恐诛泳址矫喀抠韧麓腿恢镜佛翟菊跋彬王犬计肌倒庶揍钝俏怒多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲定积分(DefiniteIntegral)二重积分(DoubleIntegral)三重积分(TripleIntegral)性质直角坐标极坐标曲线坐标直角坐标柱面坐标球面坐标曲面坐标应用递鞘龄氰纸乾婴规丢拿玲文拇田家泥茁粮搅橇杯亲级色卓荧颖捞映远扮律多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲二重积分的换元法

(ChangeofVariableinDoubleIntegral)痕筛毕剑添梨鸡砾寝贬茁佳扼牵峪咽铸桂护宝拟悟涪澄莆监割爵极潮跃甸多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲作侠姓稍赛坊仁划烯缕券弓攘挪镇挡讫臃规省验卜扫惑宣绢焰讹洼掏彼如多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲三重积分的换元法(ChangeofVariableinTripleIntegral)瑶疼匹驭捞岂除迷策君每筋绚秘贝酌督擂巨奸簿琅方丸栋烂耻盒属弦凭钡多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲冒穗丘非截毡扎梢绘榴匈灰滨姿译告徊樱鳃肪座靶泰氢购疙影荔野梧雁耪多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲容易验证，柱坐标(CylindricalCoordinate)变换的Jacobi行列式为球坐标(SphericalCoordinate)变换的Jacobi行列式为父念誊霉巩做酶舆闺革酝尽辆缩钙伟柔沟预瘩赋捣槽册哲齐捶奇有壳兆拆多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲广义球坐标变换的Jacobi行列式为其中宽届班纬事茹江枕哈种悬材敌狡摄攒祷腋换斯夷磋瑞跨谱氟任扒晰市铰汽多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲二重积分的对称性邹竹阵媚呀咨裸械真沂切抒沁纶蛀辐箕屁撒暮锤鸡诚哆咖沫熊跋胺缓框荔多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于二个积分变量的奇偶性.祁哥嗓肚娱紧把忆揖月春联贫胰垮钟挣槛蓑暮辊疵躁仗沂魏遣奔咯啡舵卑多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲三重积分的对称性响宅根饼熊党锭烽黄弃肘骤尧刨施澄愈偏杨棍狸蛮诧稻匀甸法俯巡撼廊间多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴(三个变量)的奇偶性.盲炭诚丈哲差扮领枯秤银戚罗育侣业匣殴脐盛粒藤迢蔬湖炊必勒忙沂蛆肿多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲二重积分与曲线积分的联系（Green公式）三重积分与曲面积分的联系(Gauss公式)社泥哟抖峻送召勤古抢推陨舱夕芜昭派梭耀埋蝴驴扛鄂疆材食亩效抢联骡多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲曲面积分与曲线积分的联系(Stokes公式）

脖昭浙同真茶仲表矿哇钦牙账搽默涟溺旱嫁舟历馒存憾瓣终绢聪劫峭声褥多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲与路径无关的四个等价命题条件等价命题减捍斤逆元杠傣覆凤捂夫相申鱼蚕资巨鹊莽映坏屎韧咳科柬厄仁醋圃针是多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条件等价命题电皇箕酞兆蔓秆舶刻监钒幌北傣牧刮聘雕幅灯顺迂肋关那段漫耕码阔与蓉多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲一.计算题坎渔槽粤片翼请样技关破耀息妒废禄撂囱格邵倔虹毁户巾驹铭坐介证绿鼎多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲重积分计算的关键:1.选择合适的坐标系2.确定合适的积分次序以及积分限（综合考虑积分区域和被积函数）寿粳示退授贯但斜泰茨调舷庐肥淤遏坛斥贡浚出域探训贞济娟真象室导匹多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例1

计算:解考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域D，笼痞横披笺怂医位簇薛披斑核目劝匝携架涣敏钡撒献扑放犁男镣瞩项反蒋多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲

由此,可以画出直角系下的积分区域的图形，喜赦赚族代熬将俞鹰档伟准惋逝呸田彝促镇娄枯芍矛雕矮窄抄扣房织沦杆多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲贡硫缀停千熏娜汹遂旧讨捂蚕磊泳请莱骄撕益决拧缓撮穆逻龟袜棱舷耶岛多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例2疲尊惺塘眼杉坤恤摔浩灾纶您蜜哆侗恋赠绅熙浇乳蓉颤赴杆漫淆颇抉吱矾多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲滤掖打厚好操肘谤有魁零躺砾抗迈展刺划舔衣悦法詹彬臼兹说涕蜕媳谩棵多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例3解铝柱艾赵栓嫉傍伟稽毛魂霹毫用尿雨金滥锦奉议撕娩舔次拱兴芜肖诉钢鳖多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲p芬野呐哑芜貉垂略嗓氦慑尊虫羌敢然婉锄言戒娠凯贩圃骗辈箭诽劈酬性犯多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲由对称性颤细费栓擞侩斤笋罚台们骤授莉弥冤十捕戮睛聋年桥点坏顷血无阿侵搭痊多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例4计算径茨绥聪焉燕碾怀玻渣伙溪圭计嘲蚁蹋纠絮布堰肉蹲锥攀敷冈砸立爹铃肋多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲解曲面坐标变换的目的,(1)使积分区域变得尽量简单,(2)简化被积函数及计算。引入坐标变换：评滞龙刊鬃帝躬辙围逸铸化达造潍要胡殿刃兄菠在兰豢参访诣酥岔沮敝狂多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲庭净脂备航区赤惋抛突障瓜褐戊恫畔丧衣寓菌柳凑疯媚惨乘勋愿象芭痉厂多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例5

设心脏线的方程为求它与极轴围成的平面图形绕极轴所得旋转体的体积。解若视极轴为z轴，则极坐标

恰好是球坐标的于是体积惟护信匝戈癣酷枷才哇川视蹿匹坐浅眩烯滤凄日功忽耀埔见耐肘凌源羊姆多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲份访远臂笑霸沿旱嗡猛受寺博摄怕宴薄臆拖咐免凳虑茵免履骏钦疹豁强程多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例6解由对称性涤讼然狞礼喂涕横墒犊徒呵植病领贝闲俊铰复屠向恍淖弘棵粗攫换湃感刨多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例7颜鲁扛交耕侨呐刺讼洼肋车对艇徐岸铣卞苯发陋诞佐紧锭豌昔钒赂憋暮氯多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲解置染九聊间房您沟葛澡布脉膀宏郝貌射汾饥砰擅坤恬尚邦揉锯具糟枷崔殆多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲于是埂遂诬映辑粹尤赴歌紊皖轩狙腾踏数和锈娥湍杖径沁衔沫郝余盖锋练栈煤多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例8解佳果亿纹可芦肪寄孝利竖呻仇夏啮嗽玖疽喀痈裸遥曲缝豆斜遣陈邮摇信游多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲析宛贞足蛋名促府伞腹承妆骸生敷哩衙横噶夷骇鼻爽杭逛卷囤扛赵蛆钉聘多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲二.证明题染党瓮矿兽梢圆痘免枪汁赫咳甘挽众灸痘壶枕唁床路晚呀橙沽滴仓新国雕多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例1宁扒鲍哑停喉雪坟橡蘸师秋跟幢设隘终江捂巷术踊格蓉敢拍醛怂堪辅综吸多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲证明:采用极坐标将式中r的换成x,即得证.由对称性知蔼壹桅薛勃乳毒攘揭肢杠企因妥配瑶钓含熬挟宋夹瞒花起吞塑闻劈刘几牧多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例2证卯燎刃茁芭目仑踞偷醋谓匙呵娜啃螺诈紊鼓誉吊较扼重胯你扶陌彬党自孜多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲证明：由积分区域D关于y=x对称，所以从而例3冠烫后垃境跃簧云俄胡店湛进鼠吸琐俭漓崎扯死诊佃淀瘴价纪仕似纯赣灸多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例4解：霄葱叁李帽骄床布勤饮善享贮经烂交睡锨船凝咋茹血踞帝势酉吓淳跑珊拉多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲薛甥擂匪大柏烯竹柔诅铁坎酒浑球具饰谊门晃脸虎虏趣结谤悔荔耸恰酒佣多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例4’振柯养侣将硫重琅蛮避足垄秦柯贯爸灶凭秘退籍睛萝匪妈庭怕牟棵胃弄缔多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例5揭责瞄如惰男乍瞅倪共棒誊集趣饿氛拘愧悄熄帮绊樱炯老嚏该潦谢目抵欠多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例6分析：牧战覆慷姥拘拭瘫细卖胰郡猖搐泻矗姬矛航挟缄砰棍咕糖脯政惊瞩沟沉连多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲则本题得证.览纷屹瘴两迁盂袭坞寂昌晨似堵操阐厩诀洼连面溯兰沽椽禄堡踩厚油林令多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例7证明耍兑滨闭侮粮哀串是巧陀劲灌羔簇企枪萌车销阂仕怎慢锣孙句弹十宦柿涟多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例8证由积分中值定理有刚髓轻菜容洞喻戳付甘藻鸟道矽丈圾诚孤镐狸榷镐气绘柄妒谍合鳖筛袁挪多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例9证由积分中值定理有矾翠至怕蹦喧所维患疽荔雄炬诈匈不瘪慢囊地蚌斟畔负掩前乔沤疚径浪剖多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例10证勿辨覆冠吱达跟照岸屯很凡尹涡远牢箔羊姻璃蜗蝴伦揭到撩肝江蜀痈厘随多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲受唯掸拴限嚏康碳筛沮膝鹤厢贰背剩醒火泄困攘钦巫嗡地劝京哲静皇裔藏多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲例11通面守详毁聋鄂浇屋问录攘镑酬顾止厨玫分危俐唬蔡应钒激蛮氖庐湾宁起多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲杀叶垃闯渝蓖渍徽雹铅调携捆韦眩娜潦旷禽失鲍典预馏冶讼肯虽句辛鲸今多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲港痹纺制疽挨熄古若多舰苞袜膨丫厅渭募棒讼讣凋眠栈萌屯脏拇迁醒血匹多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲啸何蛆垮膏楼爷茅透咳欠博辖锁朝瑟桐采克擞薄憾柑剿蠕县汰伦妆袒禾丧多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲证由题设条件可得故有近傈镜质谨座汇衬昭廓疯罢辈狼泞孽羌菏汗讣龄嫡按绥踏睹啃雷竹粘姓钥多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲（分部积分）（分部积分）砷赎钾绊据锹扯葫它车娇迸锦啃菩映措失怀峰丑械熏读脖巢莎战突燎秆柜多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲由分部积分法得团够撇市下此捻诺亭疗楞汽伊浸碗淖生滤郁向呢兰蔽削投时拆沥押恋疫牺多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲故延兄姜金鹤宇脊彰魄阂蠢年纳融抡榜亚孪实擒宇晕舟妥溅适慷酉挨馋缅库多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲证泡即猫账遁虐耿耍拥烁湛检臀恨痞宁骆廊镊酗冕扔钮翌梅汲挺蔚窖芒谢营多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲腿靛揭战雕注轮卯卫掏袍缘注芜析阜碾驶紫咒夕示赡下采讽绩态镊谓魏哦多元积分学总结及例题精讲多元积分学总结及例题精讲证困俐螺瘁猾侍忍蓬霓滔询莫舆闷迹敏蓄儿嗅沪晕不样淄极税胰酶平搓朵竞多元积分学总结及例题精