二次函数的图象与性质

关于二次函数的图象与性质二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？2.二次函数y=ax2的性质是什么？向上对称轴顶点坐标对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大；开口方向y轴（0，0）a＞0a＜0对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。解析式

y=ax2﹙a≠0﹚

y=ax2+k﹙a≠0﹚向下函数的增减性a＞0a＜0（0，k）第2页,共17页，2024年2月25日，星期天下面，我们探究二次函数y=a﹙x-h﹚2的图像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.第3页,共17页，2024年2月25日，星期天探究画出二次函数的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············－2－8－4.5－200－2－8－4.5－2xyO－22－2－4－64－4y=－﹙x+1﹚2

21y=－﹙x-1﹚2

21第4页,共17页，2024年2月25日，星期天

可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线的开口向_________，对称轴是_直线______________，顶点是_________________．下x=1(1,0)xyO－22－2－4－64－4y=－﹙x+1﹚2

21y=－(x-1)2

21第5页,共17页，2024年2月25日，星期天讨论抛物线与抛物线有什么关系？可以发现，把抛物线向左平移1个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移1个单位，就得到抛物线．xyO－22－2－4－64－4第6页,共17页，2024年2月25日，星期天探究

在同一坐标系中作二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.顶点不同,分别是原点(0,0)和(1,0)位置不同;最小值相同第7页,共17页，2024年2月25日，星期天二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.顶点不同,分别是原点(0,0)和(－2,0)位置不同;最小值相同

在同一坐标系中作二次函数y=2(x＋1)2和y=2x2的图象,会是什么样?第8页,共17页，2024年2月25日，星期天归纳与小结二次函数y=a﹙x-h﹚2的性质:（1）开口方向：当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；（2）对称轴：对称轴直线x=h;（3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0）（4）函数的增减性：当a＞0时，对称轴左侧(x

﹤

h时)y随x增大而减小，对称轴右侧(x≥

h时)y随x增大而增大；当a＜0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。（5）最值第9页,共17页，2024年2月25日，星期天上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x变大了，要使y不变，则需要x减。）分类理解第10页,共17页，2024年2月25日，星期天函数开口方向对称轴顶点y=2(x+3)2

y=-3(x-1)2y=5(x+2)2y=-(x-6)2y=7(x-8)2向上向上向上向下向下直线x=-3直线x=1直线x=-2直线x=6直线x=8(-3,0)(1,0)(-2,0)(6,0)(8,0)填表：练习第11页,共17页，2024年2月25日，星期天1.抛物线y=-3(x+2)2开口向

，对称轴为

顶点坐标为

.2.抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线

向

_____平移

个单位得到的3.你能写出开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式吗？下x=-2(-2,0)y=3x2左0.5y=2(x+2)2应用举例：第12页,共17页，2024年2月25日，星期天4.将抛物线y=-2x2向左平移一个单位，再向右平移3个单位得抛物线解析式为

.5.抛物线y=3(x-8)2最小值为

.y=-2(x–2)20第13页,共17页，2024年2月25日，星期天6.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为

.7.已知二次函数y=8(x-2)2当

时,y随x的增大而增大,当

时，y随x的增大而减小.(-2,0)(0,-12)x≥2x﹤2第14页,共17页，2024年2月25日，星期天1、二次函数是由二次函数向

平移

个单位得到的。2、二次函数是由二次函数

向左平移3个单位得到的。右2练习第15