专题4.3用乘法公式分解因式专项提升训练（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.3用乘法公式分解因式专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•天山区校级期中）下列因式分解正确的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2【分析】直接利用因式分解的定义，分别判断得出答案．【解答】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不合题意；B．x2+1无法分解因式，故此选项不合题意；C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，是因式分解，故此选项符合题意；故选：D．2．（2021秋•叙州区期末）下列因式分解正确的是（）A．2a2﹣4ab+b2＝（2a﹣b）2 B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） C．4p2+2p＝p（4p+2） D．x2+4y2＝（x+2y）2【分析】利用公式法、提公因式法逐个分解得结论．【解答】解：A．2a2﹣4ab+b2不能因式分解，故选项A不合题意；B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），分解符合题意；C．4p2+2p＝2p（2p+1），分解不彻底，故选项C不合题意；D．x2+4y2不能因式分解，故选项D分解不合题意；故选：B．3．（2021秋•镇平县期末）把代数式3x3﹣6x2y+3xy2因式分解，结果正确的是（）A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2） C．x（3x﹣y） D．3x（x﹣y）2【分析】先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．【解答】解：3x3﹣6x2y+3xy2＝3x（x2﹣2xy+y2）＝3x（x﹣y）2．故选：D．4．（2022秋•南岗区校级期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（）A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣m2+9 D．3x2y﹣27xy2【分析】用平方差公式分解因式的两项，首先两项都有平方，其次是符号相反．【解答】解：A：a2+（﹣b）2＝a2+b2是两数的平方和，故A错；B：﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2）是两数平方和的相反数，故B错；C：﹣m2+9＝32﹣m2平方差，故C正确；D：3x2y﹣27xy2＝3xy（x﹣9y），没有平方差，故D错，故选：C．5．（2022秋•中山区期末）若多项式x2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+3），则b+c的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式确定b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，∴b＝1，c＝﹣6，∴b+c＝﹣5，故选：A．6．（2022秋•合川区校级期末）已知2x﹣y＝3，则代数式x2﹣xy+14y2A．434 B．134 C．3 D【分析】先把前三项分解因式，再整体代入求解．【解答】解：∵2x﹣y＝3，∴x2﹣xy+14y=14（4x2﹣4xy+y2=14（2x﹣y）=14×＝4，故选：D．7．（2022春•运城月考）将下列多项式因式分解，结果中不含有x+3因式的是（）A．x2﹣9 B．x2+3x C．x2﹣6x+9 D．x2+6x+9【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），不符合题意；B、原式＝x（x+3），不符合题意；C、原式＝（x﹣3）2，符合题意；D、原式＝（x+3）2，不符合题意．故选：C．8．（2022秋•垦利区期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：利、爱、我、垦、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我垦利 B．游我垦利 C．游美垦利 D．游美【分析】先把代数式分解因式，再找对应因式所对的汉字．【解答】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），∴结果呈现的密码信息可能是：爱我垦利，故选：A．9．（2022秋•九龙坡区校级月考）若xy＝﹣3，x﹣2y＝5，则2x2y﹣4xy2的值为（）A．−15 B．−1 C．2 D．−30【分析】把2x2y﹣4xy2因式分解后，把xy＝﹣3，x﹣2y＝5代入即可得到答案．【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣2y＝5，∴2x2y﹣4xy2＝2xy（x﹣2y）＝2×（﹣3）×5＝﹣30．故选：D．10．（2022秋•和平区校级期末）已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．1 B．3 C．6 D．1010【分析】设x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，先求2x的值，再求x的值．【解答】解：设x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，则2x＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，∴x＝3，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•绿园区校级期末）因式分解：n3﹣25n＝n（n+5）（n﹣5）．【分析】先提取公因式n，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：n3﹣25n＝n（n2﹣52）＝n（n+5）（n﹣5）．故答案为：n（n+5）（n﹣5）．12．（2022秋•苍溪县期末）已知mn＝4，n﹣m＝3，则mn2﹣m2n＝12．【分析】先分解因式，再整体代入计算．【解答】解：∵mn＝4，n﹣m＝3，∴mn2﹣m2n＝mn（n﹣m）＝4×3＝12，故答案为：12．13．（2022秋•张店区校级期末）若三角形的三边长a，b，c满足（a﹣c）2+（a﹣c）b＝0，则这个三角形形状一定是等腰三角形．【分析】先把等号的左边分解因式，再根据三角形的三边关系求解．【解答】解：∵（a﹣c）2+（a﹣c）b＝（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，∵三角形的三边长a，b，c，∴a﹣c+b≠0，∴a＝c，∴这个三角形形状一定是等腰三角形，故答案为：等腰．14．正整数p，q（p＜q）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，并且p2+q2＝n+9，则n＝20．【分析】利用因式分解变形等式，讨论求值即可．【解答】解：∵正整数p，q（p＜q）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，∴可以设n＝pqk（p≤k＜q），∵p2+q2＝n+9，∴p2+q2﹣kpq＝9，当k＝2时，有（p﹣q）2＝32，∵p＜q，∴q﹣p＝3，∵p≤k，p为质因数，∴p＝2，∴q＝p+3＝5，∴n＝pqk＝20，故答案为：20．15．（2019•姑苏区校级开学）若x+y＝3，则12（x2+y2）+xy＝92【分析】根据公式法可得12（x2+y2）+xy=【解答】解：∵12（x2+y2）+xy=又∵x+y＝3，∴12（x2+y2）+xy=故答案为：9216．（2022春•运城月考）已知a﹣b＝﹣2，ab＝7，则代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值为28．【分析】先将代数式分解因式，再整体代入求解．【解答】解：∵a﹣b＝﹣2，ab＝7，∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝7×（﹣2）2＝28，故答案为：28．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•苍溪县期末）因式分解：（1）a2﹣9b2；（2）2a2﹣4ab+2b2．【分析】（1）根据平方差公式因式分解；（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）；（2）2a2﹣4ab+2b2＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2．18．（2022秋•密山市校级期末）分解因式：（1）12abc﹣2bc2；（2）a3+2a2﹣3a；（3）m2﹣6m+9．【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）利用十字相乘法分解；（3）利用完全平方公式分解．【解答】解：（1）12abc﹣2bc2＝2bc（6a﹣c）；（2）a3+2a2﹣3a＝a（a2+2a﹣3）＝a（a+3）（a﹣1）；（3）m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．19．（2022秋•河西区期末）因式分解：（1）x2﹣3x+2；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m；（3）（x+1）（x﹣3）+4．【分析】（1）直接利用十字相乘法进行因式分解即可；（2）先提公因式﹣3m，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）先将原式整理成x2﹣2x+1，再利用完全平方公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x﹣2）；（2）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2；（3）原式＝x2﹣2x﹣3+4＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．20．（2022春•运城月考）两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1）．（1）求原多项式ax2+bx+c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值．（2）将原多项式分解因式．【分析】（1）根据题意分别进行计算即可；（2）再根据十字相乘法进行因式分解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4，而一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），∴a＝1，c＝4，又∵（x﹣5）（x+1）＝x2﹣4x﹣5，而另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1），∴a＝1，b＝﹣4，∴a＝1，b＝﹣4，c＝4；（2）原多项式为x2﹣4x+4，所以x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．21．（2022春•运城月考）下面是某同学对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4因式分解的过程．解：设9x2﹣6x＝y，则原式＝（y+3）（y﹣﹣1）+4…第一步＝y2+2y+1…第二步＝（y+1）2…第三步＝（9x2﹣6x+1）2…第四步解答下列问题：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是C；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）老师说该同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果；（3）请你尝试用以上方法对多项式n（n2+3n+2）（n+3）+1进行因式分解．【分析】（1）根据完全平方公式的特点求解；（2）再次利用完全平方公式分解；（3）仿照例题，用换元法分解．【解答】解：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是：两个数和的完全平方公式，故选：C；（2）（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4＝（3x﹣1）4；（3）设n2+3n＝m，则原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（n2+3n+1）2．22．（2022秋•无为市月考）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等．例1：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根据阅读材料解决下列问题：填空：x2+12x+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2﹣3；（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（注意：直接写出答案不给分）（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．【分析】（1）两式利用完全平方公式判断即可得到结果；（2）原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可；（3）原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可．【解答】解：（1）x2+2x×6+36＝x2+12x+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m2+2m）＝3（m2+2m+1﹣1）＝3（m2+2m+1）﹣3＝3（m+1）2﹣3故答案为：12x，3；（2）x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣62＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（3）﹣x2﹣4x+1＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1＝﹣（x2+4x+4）+4+1＝﹣（x+2）2+5，∵（x+2）2≥0，∴﹣（x+2）2≤0，即﹣（x+2）2+5≤5，则当x＝﹣2