2024年初中升学考试九年级数学专题复习二次函数的应用

二次函数的应用29．（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是49cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；②求满足条件的抛物线解析式；（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．【答案】（1）画函数图象见解答过程；（2）①49；230；②y＝－0.0025（x－90）2＋49；（3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝－0.0025（x－90）2＋49＋h－28.75，当x＝274时，y＝0，代入进行计算即可求解．【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下：（2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130时，函数值相等，∴对称轴为直线x=50＋130∵抛物线开口向下，∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，当y＝0时，x＝230，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；故答案为：49；230；②设抛物线解析式为y＝a（x－90）2＋49，将（230，0）代入得，0＝a（230－90）2＋49，解得：a＝－0.0025，∴抛物线解析式为y＝－0.0025（x－90）2＋49；（3）当OA＝28.75时，抛物线的解析式为y＝－0.0025（x－90）2＋49，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h－28.75）cm，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－0.0025（x－90）2＋49＋h－28.75，当x＝274时，y＝0，∴－0.0025（274－90）2＋49＋h－28.75＝0，解得：h＝64.39；答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．【点评】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．30．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=110【答案】（1）当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝－150x＋3000；（2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入＝每台的销售价格×销售数量，可求得销售收入w（万元）与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，∴k＋b=285010k＋b=1500解得k=−150b=3000∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝－150x＋3000；（2）设销售收入为w万元，①当1≤x≤10时，w=(−150x＋30000(1∵－15＜0，∴当x＝5时，w最大＝3375（万元）；②当10＜x≤12时，w＝1500（110x＋1）＝150x∴w随x的增大而增大，∴当x＝12时，w最大＝150×12＋1500＝3300（万元）；∵3375＞3300，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．【点评】本题考查一次函数、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．31．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．【答案】（1）y＝－x2＋2x＋10；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（11＋【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，∴c=109a＋3b＋c=7解得：a=−1b=2∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10；（2）在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10，解得x=11＋1或x∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（11＋【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．二次函数的应用16．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；（2）当a=−12时，不符合题意；当a≠12时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x=−12或x=4a−42a+1，即x=4a−42a+1=2−62a+1，因a是整数，故当2a+1是6的因数时，4a−42a+1是整数，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2【解答】（1）证明：当a=−12时，函数表达式为y＝12令y＝0得x=−1∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；当a≠12时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：当a=−1当a≠1在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x=−12或x∵x=4a−42a+1=2−∴当2a+1是6的因数时，4a−42a+1∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a=−72或a＝﹣2或a=−32或a＝﹣1或a＝0或a=12∵a是整数，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【点评】本题考查二次函数的应用，涉及一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．二次函数的应用32．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m当AB＝6时，40−x2解得x＝28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x•40−x2整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y＝x•40−x2=−12（x2﹣40x）=−∵−1∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴正确的有2个，故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．二次函数的应用31．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为94m【答案】94m【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案．【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a=−∴y=−34（x∵当x＝0时，y=−34×（0﹣1）2+3∴水管的设计高度应为94m故答案为：94m【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．二次函数的应用27．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝【答案】10．【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：令y＝0，则−112（x﹣10）（解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．二次函数的应用20．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=−112（x（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−∴抛物线的函数表达式为y=−112（x当x＝0时，y=−112∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．21．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n，1≤x＜20，且x为整数30，20≤x≤30，且x为整数销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第（1）m＝﹣2，n＝60；（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？【答案】（1）﹣2，60；（2）W=−2（3）销售额超过1000元的共有7天．【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值；（2）由销售额W＝pq，分两种情况可得答案；（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：5m+n=5010m+n=40解得m=−∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），故答案为：﹣2，60；（2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；∴W=−2（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，整理得x2﹣20x+200＝0，方程无实数解；由30x+300＞1000得x＞2313∵x整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，∴销售额超过1000元的共有7天．【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．22．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【答案】（1）方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2（2）S1＝18m2；S1＞S2．【分析】（1）由题意知抛物线的顶点P（6，4），设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S1＝AB•BC＝18（m2）；再比较S1，S2的大小即可．【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−∴y=−19（x﹣6）2+4=−1∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．二次函数的应用25．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝400；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．【答案】（1）400；（2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；（3）小强正确，理由见解答；小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝60代入解析式计算即可；（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；（3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．【解答】解：（1）由题意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案为：400．（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，∴x≥50p≥350即x≥50−10x+1000≥350，解得50≤x∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；（3）小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x²+1000x＝﹣10（x﹣50）²+25000，当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，∴小强正确．小红：当日销售利润不低于8000元时，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出x的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方．26．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=−（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．【答案】（1）C1的最高点坐标为（3，2），a=−19（2）符合条件的n的整数值为4和5．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；（2）根据点A的取值范围代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的最高点坐标为（3，2），∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2，∴a=−∴抛物线C1：y=−19（x当x＝0时，c＝1；（2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），当经过（5，1）时，1=−18解得：n=17当经过（7，1）时，1=−18解得：n=41∴175≤n∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．27．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝500m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？【答案】（1）500；（2）当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤700时，y＝40，再求出当y＝35时y的值，即可得出结论；（2）当200≤x≤600时，W=120（x﹣400）2+42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝﹣10x+50000，由一次函数的性质得当x＝700时，（3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系式为y＝kx+b，把（200，20），（600，40）代入得：200k+b=20600k+b=40解得：k=1∴y=1当600＜x≤700时，y＝40，∴当y＝35时，35=120解得：x＝500，故答案为：500；（2）当200≤x≤600时，W＝x（120x+10）+50（1000﹣x）=120（x∵120∴抛物线开口向上，∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，∵﹣10＜0，∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，∵42000＜43000，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，设a%＝m，整理得：（1﹣m）2＝0.64，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），∴a%＝20%，∴a＝20，答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：（1）用待定系数法正确求出一次函数关系式；（2）找出数量关系，正确求出二次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．二次函数的应用31．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】（1）点P的坐标为（0，2.8）；a的值是﹣0.4；（2）选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m，∴C（5，0），在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．二次函数的应用10．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−x（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？【答案】（1）w=−（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．【分析】（1）分1≤x≤30和31≤x≤60两种情况利用“利润＝每千克的利润×销售量”列出函数关系式；（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出1≤x≤30的函数最大值和31≤x≤60的函数最大值，比较得出结果．【解答】解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−故答案为：w=−（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．二次函数的应用31．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）最多可以购买1400株牡丹．【分析】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函数性质可得答案；（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．二次函数的应用16．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】【考点】二次函数的应用；由实际问题抽象出一元一次不等式组．【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围．（2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值．（3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．二次函数综合题（共10小题）17．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．（1）求点A，B的坐标；（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令y＝0，代入二次函数y＝x2﹣6x+8中即可求解．（2）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出P点坐标，求出M点坐标，连接MT，则MT⊥PT，求出PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，求出三角形PAB的面积，进而得出半径，假设⊙M经过点N（3，2），分两种情况：①当点M在点N的上方，②当点M在点N的下方，即可求解．【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴A（2，0），B（4，0）．答：点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴对称轴为x＝3．设P（m，m2﹣6m+8），∵PM⊥l，∴M（3，m2﹣6m+8），连接MT，则MT⊥PT，∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则S△PAB∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，∵r＞0，∴r＝1．假设⊙M经过点N（3，2），则有两种情况：①如图，当点M在点N的上方，∴M（3，3），∴m2﹣6m+8＝3，解得m＝5或1，∵m＞4，∴m＝5．②如图，当点M在点N的下方，∴M（3，1），∴m2﹣6m+8＝1，解得m=3±2∵m＞4，∴m=3+2综上所述，PM＝m﹣3＝2或2，∴当⊙M不经过点N（3，2）时，PM长的取值范围为：1＜PM＜2或2＜PM＜2或答：PM长的取值范围为：1＜PM＜2或2＜PM＜2或【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，利用分类讨论的思想方法．18．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），∵m＝1，点P和点D关于直线x＝1对称，∴点D的坐标为（1，6）；（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，∴当x＝0时，C（0，2m+3），①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，∵D（1，2m+4），∴N（0，2m+4），∵C（0，2m+3），∴DN＝NC＝1，∴∠DCN＝45°，∵∠BCD＝90°，∴∠BCM＝45°，∵直线l∥x轴，∴∠BMC＝90°，∴∠CBM＝∠BCM＝45°，BM＝CM，∵m≥﹣3，∴BM＝CM＝（2m+3）﹣m＝m+3，∴B（m+3，m），∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，∴m＝0或m＝﹣3，∵当m＝3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，同理，BT＝DT，∴D（1，2m+4），∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，∵DN＝1，∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，∴B（m+5，m），∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，解得m＝﹣3或m＝﹣4，∵m≥﹣3，∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；（3）如图3，由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，由题意得，EF＝FG＝CD=2，取EF的中点Q在Rt△CEF中可求得CQ=12EF=22，在Rt△FGQ当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为10−【点评】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析，综合应用．19．（2023•嘉兴、舟山）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t=3（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为5；（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x=m−2+m2=m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，解得：t=3（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t=5若t＞3，当x＝3时函数取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得t=7综上所述，t的值为5；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x=m−2+m2∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4，综上所述，3＜m＜4或m＞6．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．20．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据对称轴x＝3，AB＝4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM＝90°时，求出直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组y=−x+1y=x2−6x+5，即可得到点M的坐标；②当∠ADM＝90°时，求出直线DM的解析式为y=−x+5y=x2（3）在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，证得BFPB=PBAB，又∠PBF﹣∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF=12PA，进而得到当点C、P、F三点共线时，PC+【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），将4（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，解得k＝1，∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得a+b+5=025a+5b+5=0，解得a=1∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）存在点M，∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，∴D（3，2），①当∠DAM＝90°时，设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，得﹣1+c＝0，解得c＝1，∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组y=−x+1y=x2−6x+5，得∴点M的坐标为（4，﹣3）；②当∠ADM＝90°时，设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，得﹣3+d＝2，解得d＝5，∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，解方程组y=−x+5y=x2−6x+5，解得∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，∵PB＝2，∴BFPB∵PBAB∴BFPB又∵∠PBF＝∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴PFPA=BFPB=∴PC+12PA＝PC+PF≥∴当点C、P．F三点共线时，PC+12PA的值最小，即为线段∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，∴CF=O∴PC+12PA的最小值为【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．21．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．​【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB=12×PH（3）若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），则﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，故点P作y轴的平行线交CB于点H，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=32（﹣x2+2x+x﹣3）=−32即△PBC的面积的最大值为278，此时点P（32，（3）存在，理由：∵B（3，0），C（0，3），∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴对称轴为：x＝1，设点M（1，t），N（x，y），若BC为菱形的边长，菱形BCMN，则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，解得：t1=17+3，t2∵3+1=0+x∴x＝4，y＝t﹣3，∴N1（4，17），N2（4，−17若BC为菱形的边长，菱形BCNM，则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，解得：t3=14，t4=−∵3+x=0+1∴x＝﹣2，y＝3+t，∴N3（﹣2，14+3），N4（﹣2，−即点N的坐标为：（4，−17）或（4，17）或（﹣2，14+3）或（﹣2，【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．22．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD＝CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①求出直线AF的表达式为：y=−12（m﹣6）（x+2），得到点D（0，6﹣m），进而求点E（2m8−m②证明S1【解答】解：（1）由题意得：x=−2解得：a=−1即抛物线的表达式为：y=−12x2+2（2）令y=−12x2+2x+6＝0，则即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；①设点F（m，−12m2+2由点A、F得，直线AF的表达式为：y=−12（m﹣6）（x+2）当x＝0时，y=−12（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣则CD＝6﹣6+m＝m，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，联立①②得：−12（m﹣6）（x+2）＝﹣解得：x=2m8−m，则点E（2m8−m由点C、E的坐标得，CE=2∵CD＝CE，即m=2解得：m＝0（舍去）或8﹣22，则CD＝m＝8﹣22；②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，即S1∵OD∥EM∥FN，则ADDE=AO则S1即2x整理得：3xE﹣xF＝2，由①知，xE=2m8−m，xF＝则3×2m8−m解得：m＝±4（舍去负值），经检验，m＝4是方程的根，则点F（4，6）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．23．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当BQ为对角线时，同理可解；（3）求出直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，得到M（1+4m−1，0），同理可得，EN【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，解得：m＝0（舍去）或2，则点P（2，3）；当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，解得：m＝1±7，则点P的坐标为：（2，3），（1+7，﹣3）或（1−（3）是定值，理由：直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，设点G、H的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3），联立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，令y＝0，则x＝1+4m−1，即点M（1则EM＝1﹣1−4同理可得，EN=4则EM•EN=−4【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．24．（2023•自贡）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标．（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．（3）分两种情况，点E在直线AC上方和下方，利用等角的正切值相等求出线段的长，在转化成点的坐标．【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b=−8∴抛物线的解析式为y=−43x2−∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（−3设点D的坐标为（a，b），则有1+a=−解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），设点D的坐标为（a，b），则有0+a2解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（12设点D的坐标为（a，b），则有−3+a2解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO=AO∴∠ACO＜45°，∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y=43x+4，设直线AC∴点H（﹣1，83），HC=∵EH∥y轴，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO=AO∴EM=34∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即53=HM+解得HM=20∴EM=5在Rt△EMH中，EH=E解得EH=25∴E的纵坐标为83∴点E的坐标为（﹣1，277【点评】本题综合考查了二次函数和几何图形的性质，充分运用性质解题是关键．25．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时