2023年河北省高考数学模拟试卷及答案解析

2023年河北省高考数学模拟试卷

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.设集合A=｛x|x<2｝,8=｛比，=2'-1｝,则ACB=()

A.(一，3)B.[2,3)C.(-8,2)D.(-1,2)

2.已知实数x,“x'2”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数f(%)=%+4(%>2)的最小值为()

A.5B.3C.8D.6

4.等差数列｛〃“｝的公差不为0.若。2,8,46成等比数列，且。1+。4=-4,则｛斯｝前6项

的和为()

A.-24B.-3C.3D.8

71

5.己知函数^=$汕(3X+<P)的两条相邻的对称轴的间距为t现将y=sin(wx+(p)的图象

TT

向左平移3个单位后得到一个偶函数，则<p的一个可能取值为()

37rTCTT

A.—B.-C.0D.一左

444

6.已知函数f(x)的定义域为R,当xVO时，f(x)=9-1；当-IWXWI时，/(-%)

=-f(x)；当时,f(x+1)=f则jf(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

7.在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2,ZMON=\20°,BM=2MA,CN=2NA,

则盛•。》的值为()

A.-15B.-9C.-6D.0

8.已知抛物线y=4x的弦AB中点的横坐标为2,则|A8|的最大值为()

A.1B.3C.6D.12

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二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.已知函数/(x)的定义域［-1,5］,部分对应值如表，/(x)的导函数y=/G)的图

象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是()

B.函数/(x)在［0,2］上是减函数

C.若疣［-1,/］时，/(%)的最大值是2,那么，的最大值为4

D.当时，函数y=f(x)-a有4个零点

10.a,。是两个平面，加，"是两条直线，下列四个命题中正确的命题是()

A.如果，/n_La,n//P，那么a_L0

B.如果n//a,那么，

C.如果a〃0,〃?ua,那么加〃0

D.如果机〃”，a〃仇那么，"与a所成的角和〃与0所成的角相等

11.已知曲线C：〃V-〃y2=i,下列说法正确的是()

A.若加〃>0,则C为双曲线

B.若加>0且〃?+"V0,则C为焦点在x轴的椭圆

C.若,〃>0,〃<0,则C不可能表示圆

D.若,*>0,〃=0,则C为两条直线

XX

12.已知函数/(x)=|sin-|+|cos-|,则下列四个结论中正确的是()

A.函数f(x)的图象关于原点对称

B.函数/(x)的最小正周期为n

C.f(x)的值域为口，V2］

7T

D.设函数g(x)=sin(―x+(p)(u)>0,OWcpWir)的奇偶性与函数/(x)相同，且函

(JL)

数g(x)在(0,3)上单调递减，则3的最小值为2

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三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下

的数字依次为a和6则点(a,b)在直线y=2x上的概率为.

x2019an

14.已知函数fix)=2+x,数列｛即｝满足％=2,/(an+i)=/(|n)(CN*),则/(42019)

的值为.

7

15.已知圆锥的顶点为5,母线SA,S8所成角的余弦值为£SA与圆锥底面所成角为45°,

若△S4B的面积为5V15,则该圆锥的侧面积为.

16.设函数/(x)=Fa，X<1.

(.4(%—a)(x—2a),x>1

①若“=1,则f(x)的最小值为；

②若/(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.已知数列｛斯｝满足“1+。2+。3+…+即=2"

(1)求数列｛如｝的通项公式；

1

(2)若bn=(n+l)«log2^,求数列｛丁｝(MGN*)的前〃项和S”.

bn

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18.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为4,b,c.已知4c=b+4“cos8.

(1)求sinA；

(2)若c=6,AZ)为/BAC的角平分线，。在5c上，且A£>=VTU,求江

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19.如图，在多面体ABCQE中，DE//AB,ACA.BC,BC=2AC=2,AB=2DE,且。点在

平面ABC内的正投影为AC的中点，且DH=1.

(1)证明：面BCEL面ABC；

(2)求8。与面CZ)E夹角的余弦值.

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2

20.椭圆C；卷+产=1,A,8是椭圆C的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.

(I)证明：直线南，与直线PB,斜率之积为定值.

(2)设经过。(1,0)且斜率不为0的直线/交椭圆于M,N两点，直线AM与直线BN

交于点Q,求证：&•访为定值.

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21.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费

习惯，由此催生了一批外卖点餐平台.已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该

平台只给5千米范围内配送），为调查送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点

外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：

送餐距离（千米）(0,1J(1,2](2,3](3,4](4,5]

频数1525252015

以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四

舍五入精确到整数，且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份

3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元.记X为

送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望.

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22.已知函数/(x)=(1+x)/"一•2,其中—2.71828为自然对数的底.

(I)试求函数f(x)的单调区间；

1

(II)若函数g(x)=2y的定义域为上且存在极小值尻

①求实数a的取值范围；

②证明：_<b<舐.(参考数据：1.64VV^VL65)

23

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2023年河北省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.设集合A={x|x<2},8={)，仅=2'-1},则AAB=()

A.(-8,3)B.[2,3)C.(-8,2)D.(-1,2)

解:集合A={x|x<2},

由x6R,2x>0,可得

B={y\y=^-l}={y|y>一D，

则ACB={词-l<m<2}=(-1,2).

故选：D.

2.已知实数x,“xN2”是“xNl”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：实数x,由解》2”可推出解21”,但由解21“推不出沁”,

故故22”是故N1”的充分不必要条件,

故选：A.

Q

3.函数/(%)=%+随(%>2)的最小值为()

A.5B.3C.8D.6

解：/(X)-2+^^+2221(%—2)-^32+2=8，

当且仅当x-2=；^,即尤=5时，取等号.

所以函数/(X)的最小值为8.

故选：C.

4.等差数列｛斯｝的公差不为0.若42,。3,熊成等比数列，且0+。4=-4,则｛即｝前6项

的和为()

A.-24B.-3C.3D.8

解：设｛斯｝的公差为d(d¥0),

由。2,<23,“6成等比数列可得退=a2a6，

得(%+2d>=(ax+d)(ax+5d),化为2〃1+4=0,

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又2ai+3d=-4,

所以。1=1,d=-2,

56=6x1+宁x(-2)=-24.

故选：A.

7T

5.已知函数丁=§皿(uir+(p)的两条相邻的对称轴的间距为]现将y=sin(cox+cp)的图象

71

向左平移.个单位后得到一个偶函数，则(P的一个可能取值为()

3717Tjr

A.—B.-C.0D.一夕

444

’71TCTC

解：函数y=sin(u)x+(p)的两条相邻的对称轴的间距为了所以5=2,解得3=2,

现将y=sin(2x+(p)的图象向左平移三个单位后得到一个g(x)=sin(2x+J+(p)为偶

函数，

则(p+4=k兀+-aez),整理得<p=E+,(-z),

当&=0时，<p=今.

故选：B.

6.已知函数/(x)的定义域为R,当x<0时，/(x)=f-l；当-IWxWl时，/(-x)

111

=-f(尤)；当时，f(x+])—f(x-2)>则/(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

解：,•,当1时,f(x+分—f(x一分，

...当x>如寸，f(x+1)=/(x),即周期为1.

：.f(6)=/(1),

•.•当-IWXWI时，/(-x)=-，(x),

⑴=-f(-1),

•.,当xVO时，/(x)=『-1,

：.f(-1)=-2,

：.f(1)=-/(-1)=2,

：.f(6)=2.

故选：D.

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7.在如图的平面图形中，已知OM=1,0N=2,/MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,

则品的值为（）

A.-15B.-9C.-6D.0

解：解法1,由题意，BM=2MA,CN=2NA,

BMCN-

—=——=2,:.BC//MN,且BC=3MN,

MANA

又加研=0序+0炉-2OM・ON・cosl20°=l+4-2XlX2X(-A)=7,

：.MN=V7；

：.BC=3\f7,

222

0MAMN'-ON1+7—4_Z

：.cosZOMN=

20M,MN2x1x77一万,

)

：.BC'OM=\BC\X\OM\cos(TT-NOMN)=3夕xlX(-A=_6

解题H：不妨设四边形OMAN是平行四边形,

由OM=1,ON=2,NMON=120°,BM=2MA,CW=2NA,

知五=AC-AB=3AN-3AM=-30M+3CW,

：.BC-OM=(-30M+30N)・0M

=-3OM2+30N-0M

=-3X12+3X2X1XCOS1200

=-6.

故选：C.

8.已知抛物线尸=氧的弦AB中点的横坐标为2,贝U|A8|的最大值为()

A.1B.3C.6D.12

解：设A(xi，yi),B(X2，＞2)，则XI+X2=4,

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令直线A3的方程为丁="+4代入抛物线y=4式得底？+2(kb-2)x+/=0,

故有用+用=2@-*,x]X2=%

土b右A2(2—Ab)Anze,2—2/c2日H4—8k^+4k^

故有4=—―—解得b=-T—，即X\X2=--------7------'

____________4—A"24-4”4

又|A8|=V1+k2\x\-%2|=V14-k216-4x---------------,

Alk

=4vrn?=#+[(-j—扔+卜<4x=6.

故HBI的最大值为6,

故选：C.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.已知函数/(x)的定义域[-1,5],部分对应值如表，/(x)的导函数y=/(x)的图

象如图所示，下列关于函数/(X)的结论正确的是()

B.函数/(x)在[0,2]上是减函数

C.若x[-l,/]时，/(x)的最大值是2,那么f的最大值为4

D.当l<a<2时，函数y=f(x)有4个零点

解：由/(x)的图象，当-lWx<0或2VxV4,,(x)>0,函数/(x)为增函数,

当0cx<2或4cxW5,f(x)<0,函数/(x)为减函数，

即当x=0时，函数f(x)取得极大值，当x=4时，函数/(x)取得极大值，即函数/G)

第12页共22页

有两个极大值点，故A正确,

函数/(x)在［0,2］上是减函数，故8正确，

作出/G)的图象如图：若在［-1,f］时，f(x)的最大值是2,

则八黄足0〈忘5,即f的最大值是5,故C错误，

由y=/(x)-«=0Wf(x)=a,

若/(2)W1,当l〈a<2时，/(x)=a有四个根，

若<2,当l<aV2时，/(x)="不一定有四个根，有可能是2个，故函数y

—f(x)-。有4个零点不一定正确，故。错误，

故正确的是A,B,

故选:AB.

10.a,0是两个平面，〃?，〃是两条直线，下列四个命题中正确的命题是()

A.如果"?_!_〃，/n±a,n//p.那么a_L|3

B.如果77iJ_a,n//a,那么”?_L〃

C.如果a〃dznua,那么

D.如果机〃“，a〃仇那么，"与a所成的角和"与0所成的角相等

解：如果"?_!_〃，，〃_La,”〃B，不能得出a_L0,故A错误;

如果，?〃a,则存在直线/ua,使"〃/,由小_La,可得〃那么〃故8正确:

第13页共22页

如果a〃0,mca,那么机与。无公共点，则相〃0.故C正确

如果，〃〃小a〃B，那么《?,〃与a所成的角和相，”与0所成的角均相等.故。正确；

故选：BCD.

11.己知曲线C：下列说法正确的是()

A.若利〃>0,则C为双曲线

B.若，〃>0且m+〃V0,则C为焦点在x轴的椭圆

C.若/M>0,"<0,则C不可能表示圆

D.若,">0,〃=0,则C为两条直线

解：若,M>0,则C为双曲线，所以A正确；

若机>0且，"+〃<0,可得"<0,|«|>m>0,所以则C为焦点在x轴的椭圆，所以B正

确；

若加>0,〃<0,则C不可能表示圆，显然不正确，反例,〃=1,〃=-1,是单位圆，所

以C不正确；

若机>0,〃=0,则C为两条直线，所以。正确；

故选：ABD.

XX

12.已知函数/(x)=|sin-|+|cos-|,则下列四个结论中正确的是()

A.函数/(x)的图象关于原点对称

B.函数f(x)的最小正周期为TT

C.f(x)的值域为“，V2]

7T

D.设函数g(x)=sin(-x+<p)(a»0,OWcpWir)的奇偶性与函数/(x)相同，且函

3

数g(x)在(0,3)上单调递减，则3的最小值为2

XXY

解：对于A：由于函数/(x)=bin;|+|cos;|,则根据函数的性质，所以/(-X)=kin(-5)

l+lcos(_*)|=/(x)所以函数为偶函数，故函数的图象关于)，轴对称，故A错误；

对于B：由于f(x+n)=\sin^^-\4-\cos^^-\=|sin-|+|cos-|=/(x),则函数的最小正

周期为TT，故8正确；

对于C：当工40,n]时，函数/(%)=sin-4-cos^=V2sin(—+-),

XTTTC37r丫TT__

由于5+故&smq+4)6[L鱼]，故C正确；

第14页共22页

n

对于。：函数/'(X)为偶函数，所以g(x)=sin(―x+(p)为偶函数，所以sin(p=±l,

(JL)

故<p=%兀+*(依Z),

由于OW(pWir,所以(p=2，所以g(x)=sin(―x+与)，即g(x)=cos(―x),由于o)

/32(JI)

>0,0<x<3,

所以0V匹％V包，函数在(0,3)上单调递减，故也〈兀，解得323,故。错误.

333

故选：BC.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下

1

的数字依次为“和6,则点(a,b)在直线y=2x上的概率为

O

解：将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体连续抛掷两次，

记面朝下的数字依次为a和b,

基本事件总数"=4X4=16,

点(a,b)在直线y=2x上包含的基本事件有(1,2),(2,4),共两个，

则点(a,b)在直线y=2r上的概率为p=U

故答案为：

14.已知函数/(x)=2*+x,数列｛〃“｝满足a[=22。19,/(an+1)=eN*),则八“2019)

的值为6.

解：函数,f(x)=2'+x,则函数f(x)为单调递增函数，

1

数列｛。〃｝满足=22019,=/(2^H)(nWN*),

所以即+l=/n，整理得皿=;(常数)，

/an2

所以an=%•(3n-l=22019.

故02019=22019.$)2018=2,

所以/(。2019)=f(2)=4+2=6.

故答案为：6

7

15.已知圆锥的顶点为S,母线S4,S3所成角的余弦值为3sA与圆锥底面所成角为45°,

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若ASAB的面积为5V15,则该圆锥的侧面积为40V2TT.

7

解：圆锥的顶点为S,母线同58所成角的余弦值为「可得$而乙458=

8

△SAB的面积为5V15,

1,,_rV15__—

可得-S储sin/ASB=5后,SA2x—=5V15,即SA=4日.

28

SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为：x4^5=2710.

则该圆锥的侧面积：|x4A/10x4鬲=40V^T.

故答案为：40V2n.

16.设函数/(x)=].

(4(%—a)(x—2a),x>1

①若。=1,则/(幻的最小值为-1；

1

②若/(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是—5-VI或启2.

解：①当.=1时，/(x)=f、T'X<1,

(4(x-l)(x-2),x>1

当x<l时，f(x)=2'-1为增函数，/(x)>-1,

当x>l时，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x-|)2-1,

当时，函数单调递减，当寸，函数单调递增，

33

故当X=亍时，/(X)min=f(；)=_1>

Z2

②设〃(x)=2X-a,g(x)—4(x-a)(x-2a)

若在xVl时，h(x)=与》轴有一个交点，

所以a>0,并且当x=l时，/?(1)=2-a>0,所以0<。<2,

而函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有一个交点，所以2a2l,且a<l,

1

所以:<a<\,

若函数/?(x)=2*-“在》<1时，与x轴没有交点，

则函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点，

当aWO时，h(x)与x轴无交点，g(x)无交点，所以不满足题意(舍去)，

当〃(1)=2-aW0时，即时，g(x)的两个交点满足xi=a,Xi—1a,都是满足

题意的，

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1

综上所述。的取值范围是5WaV1,或“22.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.已知数列｛斯｝满足。1+。2+。3+…+即=2〃

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

1

(2)若bn=(〃+1)Tog2〃〃，求数列｛h｝(nGN*)的前〃项和S?.

bn

解：(1)当〃=1时，ai=2.

Q1+Q2+〃3+—+4〃=2"(〃WN').①

当"22时"1+42+43+…-1=2"I②

①-②得斯=2时1经检验m不符合上式"=1."分)

12nT,n>2

(2)由(1)得当〃=1时为=2,

当〃22时，bn=(77+1)log2a〃=(n+1)(n-1),

11111

n2)

=(n-l)(n+l)=3(沟一M)(--

•c1.1/,1,11,11,,11,11x1,l31

••&=2+2(1-3+2_4+3_5+……+^2~n+^1~^+i)-2+2r(2-n

1_5_2n+l

n+1)—42n(n+l)'

11

•••$c”=/+,既+,…+,瓦1_=45_2n2(nn++l])-(12分)

18.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4c=%+4acosB.

(1)求sinA；

(2)若c=6,AO为NBA。的角平分线，。在8C上，S.AD=V10,求瓦

解：(1)•.,4c=8+4acos8,

:.4sinC=sinB+4sinAcosB，

A4sin(A+B)=sinB+4sinAcosB,

.14cosAsin8=sinB.

•「siriBNO,cosA=，，故sinA=弓号；

(2)设A=2。，则66(0,J),

TA。为N84C的角平分线，：.ZBAD=ZCAD=Q9

*/cosA-cos29—2cos20—1=/.cosO=则sin。=乎,

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；SaABC=SQABD+S4ACD，

x6-b-sinA=：x(6xy/w-sin9+b-V10,sinff),

即一--b=5x(3^/15+—^―b),解得6=3.

19.如图，在多面体ABCCE中，DE//AB,AC±BC,BC=2AC=2,AB=2DE,且。点在

平面ABC内的正投影为4c的中点H且。H=l.

(1)证明：面^(^，面ABC；

(2)求BD与面CDE夹角的余弦值.

(1)证明：取8c的中点F,连接EF,HF.

■:H,尸分别为AC,8c的中点，

.•.”尸〃48,且AB=2HF.

XDE//AB,AB=2DE,

：.HF〃DE且HF=DE,

四边形DEFH为平行四边形.

J.EF//DH,

又。点在平面ABC内的正投影为AC的中点H,

平面ABC,

EF_L平面ABC,'：EFu面BCE：.面ECB1.面ABC.

(2)解：平面ABC,AC1.BC,

：.以C为原点，建立空间直角坐标系，

1

则B(0,2,0),D(-,0,1),E(0,1,1)

2

TT1T

设平面CDE的法向n=(x,y,z),CD=(-,0,1),CE=(0,1,1),

2

则gx+Z=°,取y=l,则x=2,Z=-l.

ly4-z=0

An=(2,1,-1),

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T1

•；BD=e，-2,1),

TT

ttRD-n2J14

.".sina=\cos{BD,n)|=|----~TT'

\BD\\n\

V385

•••8。与面如夹角的余弦值为年.

r2

20.椭圆C：卷+y2=i,A,B是椭圆C的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.

(1)证明：直线以，与直线P8,斜率之积为定值.

(2)设经过。(1,0)且斜率不为0的直线/交椭圆于M,N两点，直线AM与直线BN

交于点。，求证：&•访为定值.

(1)证明：由题意，设点尸(xo,和)，A(-2,0),B(2,0),

则直线PA的斜率为心4=吊，直线PB的斜率为kpB=耳,

XQ-TZXQ—L

所以kpA-kpB='7^2=4%?

X。十zx0ZXQ—4

又由点尸(xo，＞'O)在椭圆上，可得£+YQ=1＞即%=1-^=4J,

所以怎4-*=潦^=

即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.

(2)证明：由直线/过点。(1,0),所以直线/的方程为/：x=6+l,

X=ky+1

联立方程组二,，整理得(么+4)9+2切-3=0,

匕+y2=i

、2k3

设M(xi，yi),N(X2，＞2)，则乃+72=--2--，y/2=---2--，

k+4k+4

则，1+、2_=，g[J3y]+3y2=2外1”，

又由直线AM：y=^2(X+2),直线BM：y=^^(x-2),

联立方程组，可得修一(x+2)=(x-2),

7

蒐1+2X2-2

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由“如田％+2y2xi+2y2ky+3fcyiy+3y回，2+2回。2-3yl

整理得一-=----------=；-----7•----r----=-------2------2=--------；-------------

x-2X2-2为fcy2-iyifcyiy2-yiky，2-yi

3,

解得x=4,即点。（4,为）又由向量&=（-2,0）,OQ=（4,优），

所以&-OQ=-2X4+OXyo=-8(定值)，即&-访为定值.

21.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费

习惯，由此催生了一批外卖点餐平台.已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该

平台只给5千米范围内配送），为调查送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点

外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：

送餐距离（千米）(0,1](1,2](2,3](3,4J(4,5]

频数1525252015

以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四

舍五入精确到整数，且同一组中的数