2022高考数学高频考点突破：等差数列、等比数列

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与等差(比)数列有关的基本运算一般是求数列中某一项或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n项和公式列出方程组，求出a1、d(q)或者依据已知条件进行简约代换.

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[例1]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,a4a5a6=212.(1)求首项a1和公比q的值；(2)假设Sn=210-1,求n的值.

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[思路点拨](1)可列出关于a1、q的方程组解之.(2)通过a4a5a6=a可得a5,再由a3即可求得q及a1.

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[自主解答](1)法一：∵{an}是等比数列，∴4=a3=a1q2212=a4a5a6=a3q3+4+5=a3q1211由①②可解得q2=4.又∵{an}为正项等比数列.∴q=2.①②

将q=2代入①或②可得a1=1.

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法二：由题设有a4a5a6=a3=212a5=24=16(a50),5a52∴=q=4q=2,代入a3=a1q2=4,a3解得a1=1.a1qn-1n(2)由Sn=210-1,Sn==2-1,q-1得2n-1=210-12n=210,∴n=10.

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(1)假设等差(比)数列{an}的前n项和为Sn,公差(比)为d(q),那么Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差(比)数列，且其公差(比)为m2d(qm);(2)设{an},{bn}为等差数列，它们的公差分别是d1,d2,那么{kan}是等差数列，且公差为kd1;{ann}是等差数列，其b公差为d12.d1(3)设{an},{bn}为等比数列，它们的公比分别是q和Q,那么{a}n1an是等比数列，且公比为q;{ann}和{b}也是等比数列，其bnq公比分别是和Q.

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[例2]

(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5,()

a7a8a9=10,那么a4a5a6=A.52C.6B.7D.42

(2)已知正数组成的等差数列{an},20项和为100,a714前那么a的最大值是A.25C.100B.50D.不存在()

[思路点拨](1)利用等比中项，(2)利用am+an=ap+aq.

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3[自主解答](1)(a1a2a3)(a7a8a9)=a6=50,a4a5a6=a5=52.5

a1+a20(2)∵S20=20=100,2∴a1+a20=10,∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.a7+a142∵an0,∴a714≤(a)=25.2

[答案](1)A

(2)A

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(1)等差数列{an}中，a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,那么a4+a5+a6=________.(2)已知正数组成的等比数列{an},前20项积为210,那么a7a14=

________.

a1+a2+a3+a7+a8+a915解析：(1)a4+a5+a6==.22(2)∵a123a20=(a714)10=210aaa又∵an0,∴a714=2.a

15答案：(1)2

(2)2

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(1)证明数列{an}为等差数列有如下方法：①定义法：证明an+1-an=d(与n值无关的常数);②等差中项法：证明2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*).(2)证明数列{an}为等比数列有如下方法：an+1①定义法：证明a=q(与n值无关的非零常数).n②等比中项法：a2=an-1n+1(n≥2,n∈N).an

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[例3]

13已知数列{an}满意a1=,a2=,44*

1an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N),数列{bn}满意b1=,23bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*)

.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{bn-an}为等比数列，并求出数列{bn}的通项公式.

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[思路点拨]此题的第(1)问是利用一个简约的递推式，即可将an+1=2an-an-1变形为an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),转化成等差数列求解；第(2)问求证{bn-an}为等比数列，需1111要把{an}的通项公式an=n-和条件bn=bn-1+n联合起2433来递推，然后再求{bn}的通项公式.

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[自主解答](1)由an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N*),可得an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*).11∴数列{an}是首项为a1=,公差为d=a2-a1=的等差数列.4211∴an=a1+(n-1)d=n-(n∈N*),2411即an=n-(n∈N*)24

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11(2)由3bn-bn-1=n,得bn=bn-1+n(n≥2,n∈N*),331111∴bn-an=bn-1+n-n+3324111113=bn-1-n+=(bn-1-n+)3643241111=[bn-1-(n-1)+]=(bn-1-an-1),3243

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1又b1-a1=≠0,∴bn-an≠0(n∈N*),4bn-an1得=(n≥2,n∈N*),bn-1-an-1311即数列{bn-an}是首项为b1-a1=,公比为的等比数列，432n-111n-111n-1于是，bn-an=),即bn=(+)(4344311n-1=[()+2n-1](n∈N*).43

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1.公式法：等差(比)数列的前n项和公式.2.错位相减法：适用于{anbn}的前n项和，其中{an}是等差

数列，{bn}是等比数列.3.裂项法：求{an}的前n项和时，假设能将an拆分为an=bn-bn+1,那么a1+a2+…+an=b1-bn+1.4.倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，假设有公因式可提，并且剩余的项的和简单求出，那么这样的数

列求和可采纳此法.其主要用于求组合数数列的和.这里易忽视因式为零的状况.

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5.(理)试值猜想法：通过对S1,S2,S3,…的计算进行归

纳分析，寻求规律，猜想出Sn,然后用数学归纳法给出证明.易错点：对于Sn不加证明.6.并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}:a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-an,可证其满意an+6=an,在求和时，依次6项求

和，再求Sn.

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[例4]

n+11在数列{an}中，a1=1,an+1=(1+n)an+n.2

an(1)设bn=n,求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.

[思路点拨](1)先将an=nbn代入条件等式，得到bn与bn+1之间的关系，再结合其特点求通项bn;(2)借助拆项法，转化为等差数列和等比数列的求和问题解决.

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an+1an1[自主解答](1)由已知得b1=a1=1,且=n+n,2n+1111即bn+1=bn+n,从而b2=b1+,b3=b2+2,2221bn=bn-1+n-1(n≥2),21111于是bn=b1++2++n-1=2-n-1(n≥2).22221又b1=1,故所求的通项公

式bn=2-n-1.2

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(2)由(1)知，an=n(2-n-1)=2n-n-1.22令Tn=k=1nk-1,那么2Tn=

1

n

k

2

2k-2.k=1

n

k

于是Tn=2Tn-Tn=n-1k=0

n+2-=4-n-1.2k-12n-121nn+2(2k)=n(n+1),所以Sn=n(n+1)+n-1-4.2

又k=1

n

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