人教版高数选修2-2第7讲：直接证明与间接证明(学生版)-东直门仉长娜

PAGEPAGE1直接证明与间接证明____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法；了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.类型一、直接证明：一.综合法1.定义：_______________________________________________________________2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)二.分析法1.定义：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)4.分析法的书写格式：例3求证:例3求证:证明：因为都是正数，所以要证只需证展开得只需证只需证因为显然成立，所以要证：¼¼只要证：¼¼只需证：¼¼¼¼显然成立上述各步均可逆所以,结论成立类型二、反证法：反证法：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。（3）应用反证法的情形：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；④结论为“唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：例1已知a,b,c是不全相等的正数，求证：例2在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且A,B,C成等差数列,a,b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.练习：1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形.2、已知求证题型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。练习:在锐角中,求证:题型三反证法：例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.例3、求证：是无理数。练习：已知，，求证：不能同时大于。1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：3、若实数，求证：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq\f(a2＋b2,2)C．ab<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<1<ab4．设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A．a B．bC．c D．不能确定[点评]可用特值法：取x＝eq\f(1,2)，则a＝1，b＝eq\f(3,2)，c＝2.5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A二、填空题7．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m与n的大小关系为________．8．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a、b、c的大小关系为________．9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b应满足的条件是________．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求证：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).能力提升一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则()A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定12．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立，a、b应满足的条件是()A．ab<0且a>b B．ab>0且a>bC．ab<0且a<b D．ab>0且a>b或ab<0且a<b13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．A．3 B．2C．1 D．0二、填空题15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________.三、解答题16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).17．求证：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).备用例题1：已知求证：备用例题2:已知，求证：cos－sin＝3(cos＋sin)．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－28．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证