(完整版)概率统计在生活中应用

概率统计在生活中应用随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。抽样调查，评估，彩票，保险等经常会遇到要计算概率的时候，举个例子在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的A＝{2500×12-2000X<0}＝{X>15}由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的结果说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.除了保险，概率统计学对彩票也有有两个方面的应用。据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，据了解，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子走俏。许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地啃起来。

东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。实际上，概率统计学主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则———逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定越趋于平均。就像扔硬币，一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样，但随着扔的次数的增加，正反面出现的次数就会越来越接近。从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字.......这也说明了概率的无所不在。

但由于传统的数学教育属于知识传授型，比较注重课程各自的系统性、独立性和方法的应用，人为地割裂了数学理论和教学方法与现实世界的联系，不注意学生对数学方法产生的背景和思想的理解，使学生不善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问题，只是生搬硬套，而真正在实际中有重要应用的值的数理统计部分往往被轻视，使得有些人在学完该课后只知道几个抽象的分布，甚至连最简单的数据处理方法都不会应用．而基于概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用与实践中对我们确实是较困难而又受益非浅的事啊。多元统计方法在企业经营管理中的应用随着市场经济的发展和竞争的日益激烈，如何运用科学的分析方法对到的数据做出准确、及时的分析并制定正确的决策，已成为企业极为关注的问题。本文重点介绍了多元统计分析方法中的聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析及其在企业经营管理中的应用。例如：某销售企业对100名招聘人员的销售策略知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来说，通过应用因子分析方法可以归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏锐和果断程度、思想品德、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子。显然，这里所说的因子不同于回归分析中的因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有极为明确的实际意义。因子分析在市场调查分析中也有广泛的应用。例如：对30个调查区的商业网点数、人口数、金融机构服务数、收入情况等20个指标进行因子分析，如果按照一般的分析方法，我们就需要处理20个指标，并给它们以不同的权重，这样不仅工作量变大，而且由于指标之间存在比较高的相关性，会给分析结果带来偏差。另外，给具有较高相关性的众多指标设置权重系数也是一件非常复杂的事情。于是可以考虑采用因子分析的方法，从而减少分析变量的个数，然后再给它们以不同的权数，从而计算出各个调查区平均综合实力得分，以便决定在某个调查区拟建何种类型的销售点。综上所述，多元统计分析方法的应用均需借助统计分析软件，目前较多使用的有SAS、SPSS等统计分析软件，这些软件均提供了多元统计分析功能。参考文献于秀林，任雪松，多元统计分析，中国统计出版社，1999.8卢文岱，SPSSFORWINDOWS统计分析，电子工业出版社，2002.9应用统计学作者：蔡春红学号：0705106429摘要：统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。统计学主要又分为描述统计学和推断统计学。给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为应用统计学。另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础。关键词：统计学、分析、总结、研究、起源、发展、应用统计学的思想可归纳为：对某事做出决策之前，必须先收集数据，然后利用统计学技术分析它，最后做出决策。应用统计学技术，不能无视必要的数学知识，但作为本课程，即社会经济统计学的原理来说，严密的数学论证完全是没有必要的。因此，在教育教学过程中，避开繁琐的数学推导，把重点放在统计方法在学校教育领域中的应用。这才能充分发挥心理与教育统计学的社会价值。三、统计学的实际应用当公共会计师事务所为其客户进行审计时，他们要利用统计抽样的方法，如，假定一家会计师事务所想要确定某客户资产负债表中所显示的应收帐款余额是否公允地反映了其真实地应收帐款余额。通常应收帐款的笔数是如此之大以至于检查和判断每一帐户是否正确就会太浪费时间，而且也不经济。在这种场合下，审计人员可根据一定的抽样方式抽取一部分帐户，对其正确性进行审查后，审计人员就可以得出关于该客户资产负债表中所列示的应收帐款余额是否属实的结论。金融顾问们利用各种统计信息来引导投资。拿股票投资来说，顾问们检查包括市盈率和红利在内的一系列金融数据。通过将某只个股的数据与股票市场平均数进行比较，金融顾问们就能够判断该只股票的价值是被高估还是被套低估了。例如，道·琼斯30家工业股票平均数的市盈率是20.1。同一天，菲利浦·莫里斯公司股票的市盈率是14。因此，关于市盈率的统计信息就表明：与道·琼斯30家股票平均数相比较，菲利浦·莫里斯股价偏低。金融顾问们可以得出这样的结论：菲利浦·莫里斯的市价被低估了。这方面和其他一些有关菲利浦·莫里斯公司信息还将帮助顾问们做出买入、卖出还是继续持有该股的建议。装在零售收银台的电子扫描设备，是用来为各种各样的营销研究的应用收集资料的。例如，像尼尔森公司和信息资源公司等数据提供商，从杂货商店购买关于销售的扫描数据，然后将其加工成综合的统计信息卖给生产商。1992年生产商用于购买这种扫描数据的费用是平均每类产品310000美元.生产商还购买那些关于诸如特殊价格以及店内展销等促销活动的数据和综合统计信息。由于现在非常重视产品的质量，因此质量控制是统计在生产中的一个重要应用。许多统计质量控制图被用来控制某生产过程的产量。例如，假如一台机器被用来向容器中注入一种软飮料，灌装重量是12盎司。定期从容器中抽取样本，求出样本容器中飮料重量的平均数，若平均数描在质量控制图控制上限的上面，则说明注入的飮料过多应该减少，如在控制下限的下面，则说明注入的飮料过少应该增加。为此质量控制图为生产过程时时处在“控制之中”提供了统计信息。人们经常要求经济学家们对将来的经济以及其他方面进行预测。在进行预测时，往往离不开各种各样的统计信息。例如，在预测通货膨胀率时，经济学家们就要用到生产者价格指数、失业率和生产利用能力等方面的统计信息，将这些统计信息输入到计算预测模型中，就可预测通货膨胀率指标。在人类社会的发展、人们的社会生活中，也有许多问题需要统计信息。例如，社会的人口总量；性别比；父辈与子辈的职业、文化教育程度是否相关（代际关系）；人口质量状况；社会环境（气候）状况；城市污染指数；人民生活的恩格尔系数等，同样需要大量的统计数据进行分析、描述和评价。除此之外，统计在医学、工程、地学、农业、工业、教育等社会科学、自然科学以及各行各业中都得到了越来越广泛的应用。如此同时，统计学科的理论和方法也得到了不断的发展和完善。相信知识经济时代定是统计学一展风采的时代。当前，我们处在一个比几十年前更加泛学科化的学术世界，对所有的社会科学学科而言现在是突破学科界限，共同将他们的定量方法推向前进的宝贵机会。在过去的几年中，一些主要的学术机构都建立了他们自己的跨学科的研究中心，并投入资源对社会科学的定量方法进行研究。华盛顿大学建立了统计学和社会科学研究中心。哈佛大学的社会科学基础研究中心加强了社会统计学的研究。加州大学圣巴巴拉分校建立了空间整合社会科学研究中心(CenterforSpatiallyIntegratedSocialSciences)，并将研究焦点访在空间统计学上。加州洛杉矶分校从社会统计学中产生的年轻的统计学系仍然与几个社会科学领域保持着跨学科的紧密联系。哥伦比亚大学设立了从社会科学和统计学中衍生出来的又一个跨学科专业——定量社会科学硕士培养计划。密歇根大学的定量方法计划，在统计学系和一些社会科学系之间建立起联合研究生培养协议。而在目前这些努力中最为成功的或许要数社会统计学系在南安普敦大学的建立。参考文献：1、《统计学》DavidFreedman等著，魏宗舒，施锡铨等译中国统计出版社。2、《统计学》，作者：曾五一主编，出版：中国金融出版日期：2006年04月。3、、《金融市场的统计分析》，张尧庭著，广西师范大学出版社。概率统计在经济领域中的应用学生姓名：胡晶晶学号：20075030032数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：蔡礼明职称：教授摘要：本文通过实例讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测的等几个经济问题中的应用。关键词：概率统计;经济领域;应用ApplicationofProbabilityandStatisticsintheEconomicsAbstract：Thistextdiscussesafewapplicationsofprobabilityandstatisticsonsomeeconomicsproblemsthroughsomeconcreteexamples,suchaseconomicmanagement,theestimationofeconomylost,thesolvingofthebiggesteconomicprofits,economicinsuranceetc.Keywords：probabilityandstatistics;economics;application引言概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。1.在经济管理决策中的应用在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应。例1某人有一笔资金,可投入三个项目:房产、地产和商业,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为,,,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表1:表1各种投资年收益分布表好中差房产113-3地产64-1商业102-2请问:该投资者如何投资好?解我们先考察数学期望,可知；；；根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差:;;因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少万元,但风险要小一半以上。2.在经济损失估计中的应用随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。例2已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布,今随机抽取8次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。表2仓库货物损失金额表货物损失金额(元)1000200030005000次数2141解利用矩估计法或最大似然估计法可知:,的矩估计量分别为:，从而根据表2中的数据可计算出:^；从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55元。3.在求解最大经济利润问题中的应用如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。例3某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量(单位:吨)服从上的均匀分布,每售出吨该原料,公司可获利千元;若积压1吨,则公司损失千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。解设公司组织该货源吨,则显然应该有,又记为在吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即,由题设条件知:当时,则此吨货源全部售出,共获利；当时,则售出吨(获利)且还有吨积压(获利),所以共获利，由此得从而得上述计算表明是的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,吨时,能够使得期望的利润达到最大。4.在经济预测中的应用在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。下面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。例4合金的强度与合金中碳的含量有关,为了生产强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。现调查收集了12组数据,见表3,试建立适当的线性回归模型并进行检验。如果在冶炼过程中通过化验得知了碳的含量为0.16,根据模型预测这炉合金的强度。表3合金刚强度与碳含量的数据表序号序号10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.00.1547.5100.2360.0解第一步,建立线性回归模型已知一元线性回归模型为,根据公式及表中的数据得:,,从而所求的回归模型第二步,检验线性关系的显著性现在用检验法,经计算得,取显著性水平,则,由于,因此在显著性水平下回归方差是显著的。第三步,预测将代入回归模型,则得到预测值为,在显著性水平下,得的概率的预测区间为,即有的把握认为,碳的含量为时,合金的强度介于之间。5.在经济保险问题中的应用目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大,会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。例5已知在某人寿保险公司有个人参加保险,在一年里这些人死亡的概率为,每人每年的头一天向保险公司交付保险费元,死亡时家属可以从保险公司领取元保险金,求:保险公司一年中获利不少于元的概率;保险公司亏本的概率。解设一年中死亡的人数为,死亡率为,把考虑人在一年里是否死亡看成重Bernoulli试验,则,保险公司每年收入为,付出元,则根据中心极限定理得:(1)所求概率为:(2)所求概率为:经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为,这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。结束语通过以上讨论我们知道要利用概率知识来指导我们最初科学推论，就必须考虑概率的统计特性，在理性的基础上进行综合分析。概率只是在其他领域都有广泛应用，实在是一门应该好好掌握的科学。参考文献:[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.[2]刘桂莲.论概率和数理统计在企业风险分析中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2005,4(2):15-16.[3]孙玉芬.概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].保山师专学报,2003,22(2):51-56.[4]祁红光.浅谈概率统计在决策优化中的应用[J].沙洋师范高等专科学校学报2005,(5):28-30.[5]BEANC.Endogenousgrowthandthepro2cyclicalbehaviorofproductivity[J].EuropeanEconomicReview,1990,34:355-社会科学实证研究中的统计分析方法应用

社会科学实证研究中的统计分析方法应用郑真真(北京大学人口研究所副教授)统计学的应用随着微型计算机的普及越来越广泛,在社会科学实证研究中几乎是无处不在。有了一定规模的数据和一个统计分析软件,就可以很方便地进行各种估算和分析。然而由于统计分析方法本身并不像加减乘除那样简单,而一些统计分析软件已经发展到几乎是人人都可使用的程度,如果使用者在只知其然不知其所以然的情况下操作并得到结果,可能出现对统计分析方法误用或滥用的现象。本文仅对一些统计分析中比较常见的问题进行讨论,以引起各方面的重视。1描述性统计描述性统计是社会科学实证研究中最常用的方法。准确、全面、正确的描述是所有实证分析的基础,如果对某个事件或某种现象的描述不清楚或存在偏差,那么其后的所有分析都将是值得怀疑的。一项研究能够将所研究的现象或对象描述清楚,就是一个极大的贡献;而描述的偏差可能会引起公众或学术界对某些社会现象的误解,甚至误导政府决策。但是因为描述性统计所用方法简单易得,往往没有得到足够的重视。均值的局限普遍用于描述样本集中趋势的测量之一是均值。它对于近似正态的对称分布样本来说是比较好的测量,对于不对称分布则不然,尤其会受到极端值的影响。两个分布完全不同的样本可能会有相同的均值,因此均值在某种程度上抹杀了样本内部的差异,而往往这种内部差异正是需要我们进行深入研究的、或应当引起人们注意的。为了弥补均值的这个缺陷,一般在报告均值的同时也报告方差,或用直方图/散点图的形式描述分布,以提请读者注意群体内部的差异。不同群体的可比性在描述性统计中,往往涉及到对不同时期或不同人群的总体描述,以反映社会变化或地区差异。在社会科学中、尤其是人口研究中,不少事件的发生都是与年龄密切相关的,如我国妇女大部分在35岁以前完成了生育,从而导致35岁以上育龄妇女中极高的避孕现用率。在这种情况下,两个样本之间存在避孕现用率的差异可能只是年龄结构的差异,而不是年龄别避孕现用率的差异。又如在报告流动人口犯罪问题时,给人的印象往往是流动人口犯罪率高于常住人口,但忽视了流动人口的年龄和性别构成与常住人口完全不同,且青年男性是犯罪率较高的人群。这种对两个不同群体的比较往往会导致错误的结论。绝对数的使用由于中国人口数量巨大,调查研究也比较容易得到大容量的样本,所以对任何小概率事件用绝对数报告都会出现惊人的巨大数字,单纯对绝对数的强调往往会产生戏剧性的效果。比较合理的方式一般是在报告某事件绝对数的同时,给出该事件的发生率或占研究人群的比例。小样本的代表性在一次抽样的小样本中求得的率或比例会非常不稳定,与另一次抽样的结果可能会有较大差距。因此当研究仅限于从小样本获得的资料时,应当在报告比例的同时也报告样本量。2双变量统计分析在社会科学研究中,首先分析的往往是两个变量之间的关系,如用相关或列联表等方法。一般在确定两个变量之间确实有某种关系,如在经过统计检验后证实两变量有显著相关关系,进行更进一步的分析才有意义。因此,双变量统计分析在实证分析中占有重要地位。但是,由于在应用中对有些问题的忽视,双变量统计分析也很容易出现偏差或错误。卡方检验的局限在利用列联表对两个定序/定类变量进行相关分析时,需要进行统计检验来判断两个变量的相关是否有统计上的显著意义。不少研究结果都用卡方检验的显著性报告相关状况。但值得注意的是,卡方统计量的计算本身是有局限性的,样本越大,卡方值就会相应增大,因此大样本的卡方检验很容易得到显著结果。所以一般在报告卡方检验结果以说明两变量是否显著相关时,还应当同时报告相关强度,即相应的相关系数,如Ｇａｍｍａ,Ｌａｍｂｄａ等。统计意义上的显著与差别的实际意义在检验两个定距变量的均值差别是否具有统计上的显著性时,也存在相似的问题。由于样本量越大,样本均值分布的方差就越小,因此常用的ｔ检验结果就越可能显著,任何细微的差别都可能有统计上的显著性。但有时具有统计意义显著性的差异,在实际生活中可能意义并不大,如同在两个草堆之间找出一根草的差距,对判断两个草堆的大小没有实际意义。因此,对任何检验结果都应当有符合实际的解释和说明。虚假相关问题双变量分析中的虚假相关问题,几乎在所有关于社会科学研究方法的教科书中都会涉及到,在统计分析方法的教学中也被视为经典问题。但是多少年来,人们仍然在不断地重复着这个“经典的错误”,即认为可见的或统计检验结果显著的相关就是真正的相关;更为大胆的做法是把这种相关关系推向因果关系。我们知道,对于有的变量来说,即使是经过检验判定两者具有统计上显著的相关关系,也不一定存在实际意义上的关系,因为可能有未考虑到的变量或不可测量的变量在同时对两个研究变量起作用,有时甚至可能完全是偶然的巧合。例如,火灾的大小是以火灾损失来衡量的,而参加灭火的消防员人数是与火灾大小有关的,火灾越大,出动的消防员就越多,但凡是具有常识的人都不会根据出动消防员人数和火灾损失两个变量之间的高度相关,断定出动消防员越多火灾损失就越大,因为火灾的规模是决定因素(但很难直接衡量)。在有关人口科学研究中也有报告虚假相关的现象,如人口增长率的降低导致了经济增长的提法就是一例。因此,在分析相关关系时,应当根据理论、知识、经验、甚至常识来判断这种分析是否有意义、是否存在其他变量的作用(称为外在变量),避免得出有悖于常理的分析结果。有些虚假相关是可以通过统计分析方法判别的,如在控制了另外一些变量后观察两个变量的偏相关,或在双变量分析的基础上,进一步用多变量分析深入研究。3多变量分析回归分析是多变量分析中应用最多的方法,尤其是逻辑斯蒂回归更是被广泛地应用。在众多应用中,比较明显的问题是使用方法是否得当和对结果的报告和解释是否规范、合理(见2002年第2期《人口研究》刘金塘文)。此外还有一些应当引起注意的问题。分析框架的重要性在社会科学研究中,各变量之间往往存在错综复杂的关系,如果在进行回归分析之前没有一个清晰合理的分析框架,那么回归的结果有可能会引起质疑。一般应在报告回归分析结果之前,介绍该分析的框架,如各变量的定义、各自变量与因变量的假设关系及其理由等,对建立的回归模型做出合理性论证。有一些变量可能是作为控制变量纳入回归模型的,如性别、年龄等,最好事先解释清楚。对假设因果关系的模型,应当至少能够说明:(1)该因果关系在理论上是正确的、在实践中是合理的;(2)从事件发生的时间上来说,应当是原因发生在先、结果发生在后。如有些回归分析中,未加说明即把所有与因变量显著相关的变量都囊括在自变量中,甚至有些自变量与因变量有明显的互为因果关系,显得分析逻辑混乱;还有的论文在简单介绍研究背景和数据来源之后,急于建立因果关系并推出回归分析结果,然后再根据各变量在回归模型中的显著性一一说明,这相当于事后解释;这些做法都是错误的。在具备“奔4”微机和较易操作的软件的今天,转瞬间就可完成一次回归分析,但是在此之前,需要有大量的前期准备工作,包括文献检索和理论框架构建,才能确保统计分析的科学性。分析方法应用的条件每种多变量方法都有各自的前提条件或假设,如果这些条件不具备或者假设不成立,该方法的应用就成问题。如Ｐｅａｒｓｏｎ相关是考察线性相关关系,多元方差分析只能辨别线性相关因变量的多元差异,线性回归分析假设自变量与因变量之间为线性关系,因子分析方法也是建立在各变量具有一定的线性相关基础之上的;另外,在逻辑斯蒂回归中,每个分类都应保证有足够的频数,如果频数太少就会影响参数估计的稳定性;等等。尽管一般不在报告分析结果时说明各种假设是否成立或条件是否满足,但是在进行分析时应当自觉地进行考察。如果不能满足条件或假设不能成立,就对数据进行转换或调整后再分析,或者改变分析方法。多变量分析结果的展示和解释多变量分析的结果一般是通过列表来展示的。现在一种并不少见的做法是直接把统计软件的输出直接复制到论文中,我们往往会在文章中看到包括回归参数估计、参数标准差、检验统计值、检验显著性、偏相关系数等等ｎ行ｍ列的大表,使人有目不暇接的感觉。实际上参数标准差和检验统计值是提供给分析者的信息,没有必要列在结果中;如果不是有特别需要的话,偏相关系数也不是关注重点;最主要的应当是回归参数估计及其显著性。在列出分析结果之后,应当对结果的实际意义进行解释和讨论,而不是复述分析结果的数学意义。此外,在多元统计分析中一个常见的问题是分析者对变量作用不具有预期统计显著性的失望,因此绕开不显著的变量,甚至对数据或模型进行各种调整以获得显著结果。其实,统计分析结果不显著往往也是有实际意义的。例如在分析我国高龄老人的地区分布时发现,高龄老人比例与当地医疗卫生指标没有显著关系,这说明我国医疗系统还没有具备延长老人寿命的功能;另一方面也说明这些高龄老人的存活不是主要靠医药维持的。所以,在解释分析结果时,只要是在分析框架中涉及并参与分析的变量,无论作用显著与否,都应当给予充分的讨论;对于那些由于知识或信息的限制难以下结论的结果,可以作为问题提出,以便进行更有针对性的进一步研究。此外,任何方法都有其局限性,分析结果也不会十分完美。因此在讨论结果的同时,也应当就此向读者说明。例如当一个多元线性回归分析的确定系数较低时,需要指出该模型有限的解释能力,探讨可能存在但没有纳入分析的更重要的影响因素。不必求最新、只求最合适有些研究生在撰写学位论文时,常常因为自己没有应用最新的统计分析方法而感到忐忑不安;在评论某项研究的创新性时,有时也出现把学术创新和应用新方法混为一谈的现象,例如认为应用描述性统计方法的研究水平低于应用解释性或预测性方法的研究。新方法是层出不穷的。但是,出现了新方法并不意味着传统方法就不再适用,而是各有千秋。统计分析方法是工具,哪件合适就用哪件,能用锤子解决的问题不必开冲床。有时越是复杂的方法,假设条件也会相应较多,应用的局限性更大。因此,盲目追求方法的新颖并不是高水平研究的保证,真正需要注意的是使用最合适的方法。而对所用方法的真正了解,是正确运用统计分析方法的前提。统计与概率在生活中的应用加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。统计与概率部分在社会生活及科学领域中有广泛应用。加强应用统计与概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。在2005年的中考数学试题中，统计与概率部分的考察，更明晰的体现了“学以致用”这一理念。一，概率在中奖问题中的应用。1，集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1—20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1—20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？分析：小红摸到红球与摸到同号球的概率均为是。那么可能得到得到是收益分别为：或。那么他平均每次将获利为（）。解：（1）P（摸到红球）＝P（摸到同号球）；故没有利（2）每次的平均收益为故每次平均损失元二，概率在优化选择中的应用。2，小名拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色，小明说“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列（如图所示），就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出注意，并说明理由。分析：设A表示第一个黑球，A表示第二个黑球，B表示第一个白球，B表示第二个白球，可能出现的结果，利用树状图表示小球排列的位置为：AABBABAABBBABBABAABBBAABBBAAABAABABAAABAB解，小华当乙方，理由：设A表示第一个黑球，A表示第二个黑球，B表示第一个白球，B表示第二个白球，有24中可能出现的结果（可以利用树状图表示），黑白相间排列的有8种。因此甲方赢的概率为=，乙方赢的概率为，故小华当乙方。三，概率与选购方案的综合应用。例3（2005浙江）某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(3)现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．解：(1)树状图如下(3分)：列表如下(3分)：有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．(2)因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是(3)由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得解得经检验不符合题意，舍去；当选用方案（A，Ｅ）时，设购买A型号、Ｅ型号电脑分别为x，y台，根据题意，得解得所以希望中学购买了7台A型号电脑．四，概率与设计方案的的综合应用。4，(湖北宜昌).质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取.(要求写出具体的操作步骤)解：（方法一）（1）.用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号.（2）．在144个小物品（大小相同的小纸片或小球等）上标出1到144个数.（3）把这144个小物品用袋（箱）装好，并均匀混合.（4）每次从袋（箱）中摸出一个小物品，记下上面的数字后，将小物品返回袋中并均匀混合.（5）将上述步骤4重复30次，共得到30个数.（6）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.（方法二）（1）用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号.（2）使计算器进入产生随机数的状态.（3）将1到144作为产生随机数的范围.（4）进行30次按键，记录下每次按键产生的随机数，共得到30个数.（5）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.彩票中的概率统计问题随着福利彩票和体育彩票在全国各地普遍发行，一股购买彩票、谈论彩票中奖的热潮，正在各个城市兴起．各家大、小报纸，不时刊登摸彩、中奖的消息和评论．这些文字中有时也谈到摸彩与数学的关系．但是，说也不详，论而不确．因此有从数学的角度加以澄清的必要．何况，彩票与概率统计知识十分密切，这正是中学数学联系社会实际的好材料．本文就用概率统计的方法，来谈谈彩票的中奖率、数学期望和大奖的随机性．当然，这首先要了解彩票的玩法和设奖方式．目前政府允许发行的两种彩票──福利彩票和体育彩票，其玩法和设奖方式是不同的．即使同一种彩票，各省市也略有不同．现以安徽电脑型体育彩票和“安徽风采”电脑福利彩票为例，分别予以说明．1电脑型体育彩票1.1玩法和设奖方式彩票玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票．每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成．每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、2、3、4中的一个．每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号──一个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同──特等奖；6位数完全相同──一等奖；有5个连续数字相同──二等奖；有4个连续数字相同──三等奖；有3个连续数字相同──四等奖；有2个连续数字相同──五等奖．每一期彩票以收入的50%作为奖金．三、四、五等奖的奖金固定，特、一、二等奖的奖金浮动．例如，如果一等奖号码是123456，特别号为0，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表所列：1.2中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率．特等奖──前6位数有106种可能，特别号码有5种可能，共有106×5＝5000000种选择，而特等奖号码只有一个，因此，一注中特等奖的概率为：P0＝1/5000000＝2×10-7＝0.0000002；一等奖──前6位数相同的，只有一种可能，故中一等奖的概率为：P1＝1/1000000＝10-6＝0.000001；二等奖──有20个号码可以选择，故中二等奖的概率为：P2＝20/1000000＝0.00002；三等奖──有300个号码可以选择，故中三等奖的概率为：P3＝300/1000000＝0.0003；四等奖──有4000个号码可以选择，故中四等奖的概率为：P4＝4000/1000000＝0.004；五等奖──有50000个号码可以选择，故中五等奖的概率为：P5＝50000/1000000＝0.05．合起来，每一注总的中奖率为：P＝P0＋P1＋P2＋P3＋P4＋P5＝0.0543212≈5.4%，这就是说，每1000注彩票，约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)．1.3彩票中奖的期望值因为体育彩票和福利彩票一样，奖金的返还率为50%，所以，从总体上来说，每一注彩票的期望值应该是1元．现在，我们来实际计算一下，看是否如此．彩票的期望值依赖两个因素，一是各个奖级的中奖概率，一是各个奖级的奖金数额．中奖概率已经计算出，体彩的三、四、五等奖，已经知道；但前三个奖级的奖金是浮动的，需要进行估计．根据规定，这三种奖级的奖金与三个因素有关，一是当期奖金总额，即销售的彩票总注数；二是上期“奖池”中的累积奖金；三是滞留下期“奖池”的奖金．综合这几种因素，再结合对2001年2—4月发行的20期获奖情况统计的平均值，可以作如下假定：第一，每一期售出100万注，奖金总额为100万；第二，每期前三个奖级奖金取平均值；第三，奖池的累积奖金以平均值计算．结果如下：从而，算得期望值E＝0.0000002×2000000＋0.000001×50000＋0.00002×5000＋0.0003×300＋0.004×20＋0.05×5＝0.4＋0.05＋0.1＋0.09＋0.08＋0.25＝0.97(元)，即每一注体育彩票的中奖的期望值约为0.97元．这与理论值(1元)非常接近．2“安徽风采”电脑福利彩票2.1玩法和设奖方式“安徽风采”电脑福利彩票，采取国际上通行的33选7的玩法，2元一注，每一注填写一张彩票，从01、02、…、33这33个号码中，选取7个号码．每一期开出7个号码，以及一个特别号码．中奖号码如下表所示：2.2中奖概率也是以一注为单位，计算一注中奖的概率．为简单起见，我们建立一个摸球模型：假设袋子里有33个球，其中有7个红球，1个黄球和25个白球．红球为中奖号码，黄球为特别号码，白球为其他号码．于是，每一注彩票，就相当于一次从袋子中摸出7个球来，如果摸出7个红球，即为一等奖；摸出6个红球、一个黄球，即为二等奖；摸出6个红球、一个白球，即为三等奖；摸出5个红球、一个黄球、一个白球，即为四等奖；摸出5个红球、两个白球，即为五等奖；摸出四个红球、一个黄球、两个白球，为六等奖；摸出4个红球、3个白球，或者3个红球、一个黄球、三个白球，为七等奖．因此，各个奖级选中的概率为：合起来，每一注中奖的概率为：P＝0.0417848＝4.17848%≈4.18%，即每10000注彩票中，约为418注中奖(包括各个奖级)．2.3福利彩票中奖的期望值福利彩票各奖级的概率、奖金数额列表如下：其中一、二、三等奖的奖金数额，是根据2001年2—4月发行的22期的实际情况统计的平均值，进行估计的．期望值E＝0.000000234×1970000+0.000005638×35910+0.000040964×2458+0.00012289×500+0.00147475×50+0.00245783×10+0.03768687×5＝0.394+0.201096+0.1005322+0.0614+0.0733735+0.0245783+0.188434＝0.8426793≈0.84(元)，即每一注福利彩票的期望值约为0.84元．这与彩票规定的50%的返奖率和理论期望值──1元，也相差不大．之所以存在误差，主要是由于对前三个奖级奖金的估计，以及“奖池”中累计奖金估计的误差而造成的．3中奖号码的随机性随着彩票市场的发展，“彩民”们越来越关注每一期的中奖号码，各地晚报上也不时发表谈论彩票的文章．有的说中奖号码没有规律，有的则振振有词地说有“规律”．那么中奖号码到底有没有“规律”可循？3.1就每一期的中奖号码来说，是没有规律的我们知道，每一期开奖，都是用号码机公开摇奖．这样摇出来的中奖号码，应该相信是随机的，即0、1、……、9这10个数字，出现在中奖号码的每一个数位上的可能性，都是相等的．因此，就每一个中奖号码来说，它的出现是毫无规律可言的，因此是事先猜不到的．现在甚至有所谓“预测”彩票中奖号码的电脑软件，不过是假借此偶然性来推测偶然性的游戏，是不足为信的．3.2从总体上来说，中奖号码又服从某些统计规律从概率统计的观点来说，对于多次开奖开出的中奖号码，又具有某些统计规律．例如，体育彩票是由6个中奖号码和一个特别号码组成的，每一个中奖号码上出现0、1、…、9的可能性相等，即其出现的概率都是0.1，因此它的数学期望是：(0＋1＋…＋9)×0.1＝4.5．所以6个基本号码的和的数学期望是4.5×6＝27．这就是说，尽管每一个中奖号码是随机的，但是，它的6个数字之和，其平均值为27．又可以算得其均方差为17．由概率论的中心极限定理知，中奖号码各个数字之和X，服从正态分布：由此可知，|X－27|≤17即10≤X≤44的概率为68.26%．即中奖号码各个数字之和，在27附近的可能性较大．同样，“安徽风采”中每个基本号码(二位数)值的数学期望是(01＋02＋…＋33)×1/33＝17，7个基本号码──7个二位数的的期望值为119．亦即，中奖号码的7个二位数之和为119的可能性也较大．再一个统计规律是：中奖号码中数字的重复率不会很高．例如，体育彩票中奖号码6个数字中有3个相同的概率，只有0.01．概率统计与实际生活

建瓯职业中专学校

张建丹

在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力——存款、利息、股票、投资、保险、成本、利润、折扣、分期付款，以至文艺创作、心理分析、社会改革、哲学思辨等。随着科学技术的发展，概率论与数理统计在众多的学科（包括自然科学与社会科学）及生产实际部门中得到了越来越广泛的应用。特别是随着我国经济建设迅猛的发展，这方面的要求越来越多。在我们新教材中设置了一些关于概率统计的初步知识。

（一）用数据说话

在职业教育中，教学出发点是职业实践，教学导向是职业实践，教学的最终目标也是职业实践。因此，对学生实践能力的系统培养是最重要的。教师要围绕本专业的培养目标，根据生产实际和学生未来职业发展的要求组织教学。因此，要求在教学过程中，尽可能全面、系统的培养学生这六个方面的能力，以形成系统、完整的职业实践能力。而这六个方面的能力都与数学应用能力密切相关。获取必要的资料信息离不开数据的收集整理；制定可行的工作计划需要从资料中抽象出数学模型；做出行动的决策就是要对计划进行计算、优化；实施工作计划的过程就是把数学的抽象应用于具体实践；在工作中控制保证质量和评价工作成就则大量的运用了量化管理。

随着数学在当今社会中应用的日益广泛，“用数据说话”已成为从事很多工作的基本要求了。平常使用这一说法时，它有两种解释。一是要改变“凭经验”、“想当然”、“大概是”的粗略思维方式，对事物的考察要力求“量化”；二是在这种“量化”的基础上，不是依据单个的数据就轻易下结论，而是要通过对一组（多个）数据的分析来作出有关的判断。事实上，现实世界中的很多量之间都存在相互依存、制约的关系，一个量的大小往往受到多种因素的影响，因此我们所考察的很多量均具有随机变化的特点（在理论上称为“随机变量”）。在这种情况下，只有获取相应的多个数据，从整体上对其进行考察，才能认识其中的规律。而如果仅凭个别数据就下结论，则难免判断失误。举一个例子，一个班级中至少有两个人的生日相同“这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大。我们可以利用对立事件求解这个历史上有名的“生日问题”。当班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级的人数达到50时，竟有97%的班级会发生上述事件。当然，这里讲的“半数以上”、“有97%”都是就概率而言，只是在大数次重复下（这就要求班级的数目相当多），才可以理解为频率。这个例子告诉了我们，“直觉”并不很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性。可见，学会“用数据说话”处理问题，不轻信“未用数据说话”得出的结论，成为今日社会公民的重要素质。

（二）用样本估计总体

现行数学教学内容主要包括代数、几何，统计含在代数之中。代数、几何属于“确定性”数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。统计、概率与现实生活密切联系，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法。在活动过程中，学生可以更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的威力，这对调动学生学习数学的兴趣，培养学生调查研究的习惯，实事求是的态度，合作交流能力以及综合实践能力都有很大的作用。

数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究。即随机现象在现实世界中广泛存在，在大量同类随机现象中，就其个别随机现象来说，它的结果是不确定的，但对大量同类随机现象来说却遵守一定的集体规律性。随机变量用其所伴随的概率分布全面描述随机现象的统计规律性。所以要研究一个随机现象首先要知道它的概率分布，在概率论的许多问题中，概率分布通常总是已知的，或者假设为已知的，而一切计算与推理就是在这已知的基础上得出来的。但是在实际中，情况往往并非如此。一个随机现象所服从的分布是什么概型可能完全不知道，或者由于现象的某些事实而知道其概型，但不知其分布函数中所含的参数。譬如，在一段时间内某一公路上所行驶车辆的速度服从什么分布是完全不知道的。电视机的寿命服从什么分布也是不知道的。再譬如某一商业部门收购一批工业产品共N件。每一件产品不是合格品就是不合格品。从这一事实我们知道一件产品是合格品还是不合格品服从一个二点分布，但分布中参数p（不合格品率）却是不知道的。如果我们要对这些问题或其他有关的问题进行研究，必须知道它们的分布或者分布所含的参数。那么怎样才能知道一个随机现象的分布或其参数呢？这是数理统计所要解决的一个首要问题。为了要掌握上述车辆速度的分布、电视机的寿命分布、不合格品率p，我们必须对这一公路上所行驶的车辆速度、电视机的寿命以及工业产品的不合格品进行观测或试验一个时期或一部分。

例如，某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时，标准差为250小时，经过革新采用新工艺使平均寿命提高到2250小时，标准差不变。为了确认这一改革的成果，上级技术部门派人前来检查，办法如下：任意挑选若干只灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200小时，就正式承认改革有效，批准采用新工艺。若欲使检查能通过的概率超过0.997,我们至少应检查189只灯泡。

在一些问题中，不要求我们去全面地考察随机变量的变化情况，因而并不需要求出它们的分布函数，而只需知道随机变量的某些特征。例如，在评定某地区的粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量较好。

（三）正确对待概率的大小

概率论是对随机现象统计规律演绎的研究。对于随机事件的概念，我们应了解其是在相同条件下作试验或观察；可以重复地作大量试验或观察；每一次试验或观察的结果不一定相同，且无法预测下一次的试验或观察结果是什么；将必然事件与不可能事件看作随机事件的极端情形。例如，在同样条件下，加工一种零件，要求每个零件标准重量为80克，在考察了大量零件后就会发现：这批零件的平均重量恰好为80克；重量大于80克与小于80克的零件个数大致相同；重量与80克相差小的占多数，相差大的占少数，过小过大而成废品的极少，考察的零件越多，这种规律越明显。一般而言，在日常生活中，当我们遇到“在条件不同的情况下或只能作一次试验或观察，其结果虽然是多种可能的一种”时，不能把它作为随机事件来理解。例如“某考生在今年高考中数学考试得90分”这一事件与概率中所讲的随机事件要区别开来。概率论就是研究随机现象的这种规律性的。

让我们做两个简单的试验。

试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球。

试验2：一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球。

对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。这种现象是确定性现象，其特点是在一定的条件下必然会出现某种结果。在中小学阶段学习的知识，基本上属于确定性现象的范畴。而对于试验2来说，在球没有取出以前，我们从试验开始时的条件，不能确定试验的结果（即取出的球）是白的还是黑的。这种属于更为广泛的随机现象，其特点是在一定的条件下出现哪种结果无法事先确定。

学会在处理问题时进行概率的思考，就是要考虑随机现象中出现某种有关结果的概率有多大，然后以此为基础进行有关决策。我们来看一个实际生活中常见的例子。一个经常举行球赛的体育场在开始举办观众抽奖活动时，由于所说的一等奖具有相当大的诱惑力，很多对球赛本身并不太感兴趣的人也闻风而动，争去球赛现场企图撞上好运。自然，抽奖的结果会使几乎所有的观众大失所望，因为几万分之一的获取一等奖的概率实在是太小了。经过几次碰壁之后，很多人对这种抽奖活动的兴趣已经越来越小了，甚至有人发出了“骗人”的抱怨。可见，只有当我们对问题进行了概率的思考后，我们才能更加冷静和理智，使决策更加合理，减少行动的盲目性。

（四）在概率的意义上进行判断和决策

概率论是专门处理随机现象的，其处理方法与其它数学学科很不一样，解决问题时更着重概念与思路，并且概率论具有非常强烈的直观意义，有利于理解与想象。

面对着随机现象，人们的一些决策实际上是在概率的意义上作出的。考试是教育测量的工具。正确、科学的考试方法不仅能够测量出学生的知识水平、能力高低，同时能反映出教师教学水平和教学效果的优劣。所以，利用考试成绩来评价教学质量，不但可以充分发挥考试的导向、激励作用，促进考试制度的不断完善，而且对调动教师的积极性，端正办学思想，全面提高教学质量都有重要的现实意义。如何反映一个班各层次人数状况。