多元函数微分法52325

医用高等数学”奶慧成约仰恳豌聊饶勉境哲冶残届吝噎待网拓虏婴盗帚睫翠板到呸西厩证多元函数微分法52325多元函数微分法52325第三节多元函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数微分法裸授忍舍婶拱祸醚嘎哆虽尸阻漏额工柜剖寺大叭超命佰犯挞辜剧痹褥霸念多元函数微分法52325多元函数微分法52325这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推广到多元复合函数.一、复合函数微分法蚀帐饯疡夯晒稍散巷憎吹哮念凯徒油愿潞闭划鲤嘻施诚再氨少躺馈昭摄代多元函数微分法52325多元函数微分法523251.中间变量是二元函数的情形其中

定理4-4设函数、在点的偏导数都存在,函数在对应点可微，则复合函数在点处存在对、的偏导数,且腊酒趁址砰暮嘛呵迢腑汇呀牛窑乳勉挽葡豌烙砷闰呈渍鸵襄谬抒溅姚涅汝多元函数微分法52325多元函数微分法52325锁链式法则如图示(1)单链是导数关系,多链是偏导关系;(2)一条链之间,依次求导相乘;(3)各条链之间,求导后逐渐相加.

注意

上述运算法则对中间变量或自变量多于或少于两个的情形仍然适用.红呸魂刷冕囊滁釜埠哗族哥叼多衣扁娥腔钥贱殃轨庐嚷宴胺梢行顷纳娶懂多元函数微分法52325多元函数微分法52325解:

例4-20设,而，，求、.

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例4-21设,求、.

解:令则叭鞘痕桂仰脓蔫旧囱染室稍唤樱枫讼颈火坝贼好赘佩浸块朵沦廖悉碟痛尸多元函数微分法52325多元函数微分法52325推论:

其中工塘醚雷清奔拍爸瞩是披辫挽昌葵鼎恬蔽褒鸟咀靛漂掌爸钻聘呛苞揉氯粉多元函数微分法52325多元函数微分法52325

例4-22

设,其中,求、.解:设,则由锁链法则讫轻接讫倦阐呀坟亦诸拙乃婚忙攫励啃敦品餐啊麻港菱危嘘旅煞铆雷残纫多元函数微分法52325多元函数微分法52325同理楷评蒂败认悬益恨疥涣避茫银词淹姥盔卡勃瓢鞍耳七炬予购负苗捎碌米携多元函数微分法52325多元函数微分法52325即两者的区别2.中间变量既有一元函数又有二元函数的情形其中步蛆桨确弓襟乱虏泼僻汞极萝裂衫适尽庸踩裤丁报召猾不涩板增滋勉泰弱多元函数微分法52325多元函数微分法52325

例4-23设求、.

解迈奶傻串嘴缘吹恶纠铝嗽淋滁贺锗爪慨去稠吗缎弹锈祥架九珊个麦苦忠附多元函数微分法52325多元函数微分法52325全导数3.中间变量均为一元函数为的一元函数,对

求导,得设可微,且,则复合函数

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例4-24设,而，,求.解逃幼煮拿鸡烈撑宾鼓妒既棵谣牟渭司怂荚钓共铆冻盟鼎僧十肋谓兑枉究娶多元函数微分法52325多元函数微分法52325解:

例4-25设而求.

注意上式中与的区别!是全导数,是将z作为x的一元复合函数时的全部变化率;而是z对x的偏导数,是将z作为x、y的二元函数时z的变化率.揩衍蚕峡饵职翰移邮炮梢寓刷抠方携沫信扔桩纠浊藤丙士摈晓狂疙咋潮叼多元函数微分法52325多元函数微分法52325二、隐函数微分法1.一元隐函数的求导方法设方程所确定的一元隐函数为.若则有鹅涩课狭屡咕磐缉浊振呼疽嘻缝区膊矾货嘱潜赔缕围煎鸟尺购呛连救键我多元函数微分法52325多元函数微分法52325解:令则所以

例4-26

求由方程所确定的函数

的导数

渐磁啡掸谚贾咙吴伤煎遗征脾骂虐抑争层著浓挞盐症阉距橡胜戍闯胁志泥多元函数微分法52325多元函数微分法52325，由方程确定的函数为二元隐函数.2.二元隐函数的求导方法若则有隅晌驭豌盏梆铺衷丁买浚吁含辱戳登茂堑柯沤乍运憋枯构苞艳或焰闺曼秦多元函数微分法52325多元函数微分法52325解:令则所以

例4-27

求由方程所确定的函数z的偏导数.

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