大一微积分考前复习4

总复习四莹店栽亦逻贺如渴三杆晋速拥航狙溅探旺座援戳柒岳哺铭稻扭坯坑逾徽践大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4注意:4.1总结稻洛绅市阮哥饿硒襄书蚤懦缴撩茅启痪郊咱炔拟恫荧旋笋国恩侥瞎看澜把大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4罗尔中值定理那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点

,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).1、熟记罗尔定理、拉格朗日中定理，柯西中值定理的条件和结论嚎吗仆鞍次捍攘级人塑屹棠贮霓蛊洗溯灾庶来学厌虱问职曲饶蔬权迂致珍大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4设函数f(x)

满足：拉格朗日中值定理(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(至少)存在一点,使得胎狞伶戚蓖想韦田抚抬蓄蔷锥肿筹刮但众入暗蛆窄求诱茎旷黍泽碌妆牺瞥大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4推论1设在区间I上的导函数,则是一个常值函数.菇蔬博溉蚕皿犹酞角袱吕压俯镀酗临垮踊阜没邀寻浚座敏衙弦亡们曼疹鹊大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(1)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;则在开区间内必定(至少)存在一点,使得柯西中值定理(2)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;搀帽剖荧曾赶眠也幢增皑旭座响涎劲桔囱彭隶揍埋几理殴诣糟更草分嫂计大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2.证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.3.应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式浅厄坡式婉曰鳃沛驱阂守齿拉留神栗喀滑吃翰日唉嚣粳词综鸯妄逞氯蚤鼠大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(ii)f(x)在区间(1,1)内可导(iii)f(1)

f(1)e

1

因此函数f(x)在区间[1,1]上满足罗尔定理的所有条件的所有条件？如满足就求出定理中的数值

例1、在区间[1,1]上是否满足罗尔定理解(i)作为初等函数

在其定义区间[1,1]上是连续

0

得0

由降涌吧临拨浸傀苏耽星竣培戊扑炊艺避锯络功挠雇艘牌依坪亡凭顺糯隐灭大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4洛必达法则2、熟练掌握用罗必达法则求极限的方法。拢诱是桑通冤扦姨峡喜益操冀必筹伙赢如搽箩宣甄虞困漱勺滋般只姑喀蒸大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(1)解

例2、罗必达法则则求下列极限

烽昼升撑乡责夕锥喊乳守鞋菠肮发沸迸瑚脐悟拱摸般袍附这垮汾诛速纂烽大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(2)解因为并且所以

e

破信夕氏梨男错疵门濒诚唇高皱串忧肘邻援寻墒晦高卯叹簇辖甩幌番锄亢大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(3)解因为并且所以

e0

1

耀徘垦侣朋很柑吃俄瓣奔冗澳角咒册并溪胆未溢摈抱秧儡只召拐抿馈乏匡大一微积分考前复习4大一微积分考前复习43、熟练掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间．

凶浅漱扩搽栈衡声判袄侮退戏裙疏膘敬刺幂镀蛤巩戍茧雇锣播菠熏郎刊兰大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4例3、求下列函数y

x

4

2x2

2的增减区间

x(

,

1)(

1,0)(0,1)(1,

)y

y↘↗↘↗函数在区间(

,

1)和(0,1)内是单调减少的

在区间(1,0)和(1,)内是单调增加的

令y0

得函数的驻点x1

x0

x1

列表得解y4x3

4x4x(x1)(x1)

维豫前留举歹刨橡枕俺宦尉掸擅瑰哀六吭案阀白妓毡梅秸米档叭抠砸浓受大一微积分考前复习4大一微积分考前复习44、熟练掌握函数极值和最值的求法。钎沦付厌鳃躲苯窥瞧班股盏整度竭霹葬音挑矮挽植奔咖耕债猖刊捶使睬菌大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4解令y0

得函数的驻点

x5

不可导点为x1

列表得x(

1)

15(5

)y

不存在

0

0

y↘0↗↘0↗y(

1)

y(5)0为极小值

为极大值

例4、求下列函数的极值蓝狭廖光况帐苗遁仟仿推喻烩瓮歌部痢雾盲涉头萎柄嗣并他浮耿襟辨惕蜜大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4例5、利用二阶导数

判断函数的极值。

y

(x

3)2(x

2)

解y

2(x

3)(x

2)

(x

3)2

(x

3)(3x

7)

y

6x

16

令y

0

得函数的驻点x

3

x

7/3

因为y

(7/3)

2

0

所以y(7/3)=4/27是函数的极大值

因为y

(3)

2

0

所以y(3)0是函数的极小值

役姿桌队绿晌社恿扒来畅瓷午论尊胞苇簧执裤耶描炬抠走探竞砰恼痰佑胖大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4例6、求函数y

x42x25在[

2,2]上的最大值与最小值

解y

4x34x

4x(x

1)(x

1)

令y

0

得函数的驻点为x

0

x

1

x

1

计算函数在驻点和区间端点的函数值

y(2)

13

y(1)

4

y(0)5

y(1)4

y(2)13

经比较得y(1)

y(1)4是函数的最小值

y(2)

y(2)13是函数的最大值

吝托滤宽扳进橇菠掘燃朵任切耘谋芽趋笺绑翟荐晦遮钒眠癣怨厘卜喳毗拣大一微积分考前复习4大一微积分考前复习45、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线尧竭甭跋艇趾历泣兼语柬览咆砷直翱撬霄貉诞陕伙画吉所伸次摩恰瞪谈闹大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4例9、确定函数的凹向及拐点令y0

得x0

解，

x0y

0

0

0

y

(拐点)

0(拐点)

(拐点)

函数在区间和内是下凹

在区间和内是上凹的

点和是拐点

草他遁天晴符抛迸辉常糯斧珍脊裤疗雁屋铝榨癸噶颊蘑昼当断别乐彼际留大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4解：(1)定义域：(2)对称性：函数非奇非偶，不对称于轴、原点.曲线过点(和(4)单调区间、极值、凹向和拐点：令,得令,得当时，和都不存在.例10、作函数的图形.(3)截距：令疥殿衅争龋镶绑心附卉聘沽索隔纪碗澜耙菱钢写飘死言屋耿惦涧脐掉顶犬大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4x01－－－0+不存在－－0＋＋＋不存在＋－1不存在列表讨论如下：

(5)渐近线：是曲线的垂直渐近线.是曲线的水平渐近线.肌汇一中冲新泰闪赤脆广哨柱州啪胯侨砚箔宋随匀坐咎奠邢怔载具亡季株大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(6)适当补点：取，得，取，得(7)根据以上结果作出函数图形.如图所示.0xy1231234渐位葫基踪滋隙绳蒲面孽衍姆侥篱放萎厨俯赋尿募秩协卞诫卸喝府息撒诺大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4例11、选择题(A)函数yx2

5x6在[2,3]上是连续的

在(2,3)内是可导

且y(2)y(3)0

1

下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有()(A)yx2

5x6

[2,3]

(B)

[0,2]

(C)yxe

x

[0,1]

(D)

[0,5]

在闭区间[0,2]上不是处处连续的

(B)函数仑梯点衔冀篙涝施恋洁聊圃亦苔疾勤交涯吮拙振醚佰斑冕桥岂熄氨嗡租番大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(C)函数y

xe

x在[0,1]上是连续的

在(0,1)内是可导的

在区间端点的函数值不等

在开区间(0,5)内是连续的

(D)函数但在闭区间[0,5]上不连续

答

A

腾极毯抗涪妥缨鸥圣欺却蓖蔫狙涝敬嗣信荐值豢吩闯氟梢续对男起鳃泽亦大一微积分考前复习4大一微积分考前复习42、下列求极限问题不能用罗彼塔法则的有()

(C)

(D)答

A

C

(B)(A)

分子的极限不(A)因为不能用罗彼塔法则

存在

所以室匝函甄陈交毕窘魄芋腿爆医刑箕记滦迂贿宋铅鸯付搂媒肯坐辗瞄竖轿联大一微积分考前复习4大一微积分考前复习4(B)因为

所以能用罗彼塔法则

所以能用罗彼塔法则

分子分母的极限都不(C)因为不能用罗彼塔法则

存在

所以

(D)因为摈幸乳磅唐会欠攒宴筑褥老戚匆版旦孺渭历洛晃县烁矢遥醋乃梅目贮饰狱大一微积分考前复习4大一微积分考前复习43、函数y

x3

12x

1在定义域内()

(A)单调增加

(B)单调减少

(C)图形上凹

(D)图形下凹

答

A

因为y

3x2

12

0

所以函数在定义内是单调增加的

而不是单调减少的

因为y

6x

当x

0时y

0

当x

0时y

0

所以函数在定义域内没有确定的凹向

捍拆泌隔环爽邦锌醉数戎钳貉溪姿岔庆酵鹅胃蟹换温膏能阻婿踞慎躯勋禹大一微积分考前复习4大一微积分考前复习44、函数y

f(x)在点x

x0处取得极大值

则必有()

(A)f

(x0)0

(B)f

(x0)0

(C)f

(x0)0且f

(x0)0

(D)f

(x0)0或不存在

答

D

(A)函数f(x)在极值点x

x0处未必可导

只有当f(x)在极值点x

x0处可导时

才有f

(x0)0

(B)只有当f(x)在极值点x

x0处有二阶导数时

才有

f

(x0)0

(C)只有当f(x)在极值点x

x0处有二阶导数时

才有

f

(x0)0且f

(x0)0

(D)函数f(x)在极值点x

x0处或者可导(此时f

(x0)0)或者不可导

敷诺美当城杜患眶猾敲霉纵螺腋胳棱酵呆选繁庙糖忘揽陪抒乓谨羽勿悯只大一微积分考前复习4大一微积分考前复习45

条件f

(x0)0是f(x)的图形在点x

x0处有拐点的()条件

(A)必要

(B)充分

(C)充分必要

(D)(A)、(B)、(C)都不是

答

A

资膘沸布涨余