2022年山东省菏泽市中考数学试卷

2022年山东省菏泽市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。）1．（3分）2022的相反数是（）A． B．﹣ C．2022 D．﹣20222．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度2～3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000用科学记数法表示为（）A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×1063．（3分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°5．（3分）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（）A．平均数是9环 B．中位数是9环 C．众数是9环 D．方差是0.86．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B． C． D．27．（3分）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象大致是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝．10．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（3分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝．12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝，以A为圆心，以AB为半径作；以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）13．（3分）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a﹣）•的值是．14．（3分）如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得分．）15．（6分）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．16．（6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．18．（6分）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）19．（7分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？20．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．21．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．

2022年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。）1．（3分）2022的相反数是（）A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022【分析】直接根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，故选：D．【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度2～3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000用科学记数法表示为（）A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：40000000＝4×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．【解答】解：这个几何体的主视图如下：故选：A．【点评】本题考查简单组几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．4．（3分）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°【分析】先根据折叠的性质可得出∠BAD＝∠BAD1，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAD1的度数，最后根据周角是360°可得出答案．【解答】解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD1，∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝36°，∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和翻折变换的知识．熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．5．（3分）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（）A．平均数是9环 B．中位数是9环 C．众数是9环 D．方差是0.8【分析】分别根据平均数，中位数，众数以及方差的定义解答即可．【解答】解：这10次射击成绩从小到大排列为：8.4、8.6、8.8、9、9、9、9.2、9.2、9.4、9.4，故平均数为：（8.4+8.6+8.8+9+9+9+9.2+9.2+9.4+9.4）＝9（环），故选项A不合题意；中位数为：＝9（环），故选项B不合题意；众数是9环，故选项C不合题意；方差为：[（8.4﹣9）2+（8.6﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+2×（9.4﹣9）2]＝0.096，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B． C． D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定MA+MF的最小值为AF的长度是关键．7．（3分）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，所以反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c图象经过二、三、四象限．故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．8．（3分）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A． B． C． D．【分析】如图，作CH⊥AB于点H，可知CH＝1．分当0≤x≤1或1＜x≤3或3＜x≤4三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰直角三角形的性质等知识，分别求出三种情形下函数解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝（x﹣3y）（x+3y）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．10．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，解得x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．11．（3分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝5．【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，则2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角为2x＝72°，∵正n边形外角和为360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝，以A为圆心，以AB为半径作；以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是π﹣2.（结果保留π）【分析】如图，取BC的中点O，连接OA．根据S阴＝S半圆﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB，求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OA．∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∴S阴＝S半圆﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB＝•π×12﹣××+﹣××＝π﹣2．故答案为：π﹣2．【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积．13．（3分）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a﹣）•的值是15．【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：（a﹣）•＝＝＝a2﹣2a，∵a2﹣2a﹣15＝0，∴a2﹣2a＝15，∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．14．（3分）如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为22020．【分析】根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．【解答】解：∵OA1＝1，△OA1B1是等边三角形，∴OB1＝OA1＝1，∴A1的横坐标为，∵OB1＝1，∴A2的横坐标为1，∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，∴OB2＝2OB1＝2，∴A3的横坐标为2，∴依此类推：An的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），∴A2022的横坐标为22020，故答案为：22020．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得分．）15．（6分）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝2+4×﹣2+1＝2+2﹣2+1＝3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16．（6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：由①得：x≤1，由②得：x＜6，∴不等式组的解集为x≤1，解集表示在数轴上，如图所示：．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．18．（6分）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．【解答】解：由题意得，在△ABC中，∵∠ABC＝37°，AB＝8米，∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），BC＝AB•cos37°＝6.4（米），在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．19．（7分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，由等量关系：用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可；（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，依题意得：﹣＝10，解得：x＝80，经检验，x＝80是方程的解，1.5x＝1.5×80＝120．答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，解得：m≤100，答：最多可以购买100个篮球．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，解得，k＝﹣8，m＝2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，解得，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，由题意可知，点A与点C关于原点对称，∴C（﹣2，4）．在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，∴D（﹣2，0），∴CD垂直x轴于点D，∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．21．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了40名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为72度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是560人；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），补全图形如下：故答案为：40；（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，故答案为：72；（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），故答案为：560人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据余弦的定义求出⊙O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据余弦的定义求出BG，计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半径，∴直线HG是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．【点评】本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理是解题的关键．23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得结论；（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'＝AD，即可求解．【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵＝1，∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，∵△BED绕点D顺时针旋转30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，∴AB'＝AD，由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD＝，∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'＝AD＝5．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC沿