2022年海南省中考数学试卷

2022年海南省中考数学试卷一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．1．（3分）实数﹣的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数据1200000000用科学记数法表示为（）A．1.2×1010 B．1.2×109 C．1.2×108 D．12×1083．（3分）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣74．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．5．（3分）在一次视力检查中，某班7名学生右眼视力的检查结果为：4.2、4.3、4.5、4.6、4.8、4.8、5.0，这组数据的中位数和众数分别是（）A．5.0，4.6 B．4.6，5.0 C．4.8，4.6 D．4.6，4.86．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a7 B．a2•a6＝a8 C．a3+a3＝a6 D．a8÷a4＝a27．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（6，1）8．（3分）分式方程﹣1＝0的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣39．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80° B．100° C．120° D．140°10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（）A．36° B．54° C．72° D．108°11．（3分）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（）A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）12．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3 B．4 C．5 D．二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）13．（3分）因式分解：ax+ay＝．14．（3分）写出一个比大且比小的整数是．15．（3分）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB＝°．16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．三、解答题（本大题满分72分）17．（12分）（1）计算：×3﹣1+23÷|﹣2|；（2）解不等式组．18．（10分）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．19．（10分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中m的值是；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有人．20．（10分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝度，∠ADC＝度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．21．（15分）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．22．（15分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

2022年海南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．1．（3分）实数﹣的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据相反数的定义可以得到实数﹣的相反数是多少，本体得以解决．【解答】解：实数﹣的相反数是，故选：B．【点评】本题考查实数的性质，解题的关键是明确相反数的定义．2．（3分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数据1200000000用科学记数法表示为（）A．1.2×1010 B．1.2×109 C．1.2×108 D．12×108【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】【解答】解：1200000000＝1.2×109．故选：B．【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．3．（3分）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【分析】根据题意可得，x+1＝6，解一元一次方程即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，x+1＝6，解得：x＝5．故选：A．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法进行求解是解决本题的关键．4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出其主视图即可．【解答】解：这个组合体的主视图如下：故选：C．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确判断的前提．5．（3分）在一次视力检查中，某班7名学生右眼视力的检查结果为：4.2、4.3、4.5、4.6、4.8、4.8、5.0，这组数据的中位数和众数分别是（）A．5.0，4.6 B．4.6，5.0 C．4.8，4.6 D．4.6，4.8【分析】应用中位数和众数的定义进行判定即可得出答案．【解答】解：这组数据的中位数是4.6，众数是4.8．故选：D．【点评】本题主要考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义进行求解是解决本题的关键．6．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a7 B．a2•a6＝a8 C．a3+a3＝a6 D．a8÷a4＝a2【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵（a3）4＝a12≠a7，∴选项A不符合题意；∵a2•a6＝a8，∴选项B符合题意；∵a3+a3＝2a3≠a6，∴选项C不符合题意；∵a8÷a4＝a4≠a2，∴选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，掌握幂的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键．7．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（6，1）【分析】将（2，﹣3）代入y＝（k≠0）即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，A、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A不正确，不符合题意；B、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B不正确，不符合题意；C、1×（﹣6）＝﹣6，故C正确，符合题意，D、6×1＝6≠﹣6，故D不正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．8．（3分）分式方程﹣1＝0的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x﹣1）＝0，解得：x＝3，当x＝3时，x﹣1≠0，∴x＝3是分式方程的根，故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．9．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（）A．36° B．54° C．72° D．108°【分析】由题意可得BP为∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，由AD＝BD，可得∠A＝∠ABD，即可得∠ABC＝2∠A，由AB＝AC，可得∠ABC＝∠C，再结合三角形内角和定理可列出关于∠A的方程，即可得出答案．【解答】解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得∠A＝36°．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．11．（3分）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（）A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，∵点A（0，3）、B（1，0），∴OA＝3，OB＝1．∵线段AB平移得到线段DC，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．∴∠BAD＝90°，BC＝AD．∵BC＝2AB，∴AD＝2AB．∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠EAD．∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO∽△DAE．∴．∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（6，5）．故选：D．【点评】本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．12．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3 B．4 C．5 D．【分析】过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHFE为平行四边形，可得HF＝DE，DH＝EF＝；设BF＝x，则CE＝2x，可得AH＝3x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）13．（3分）因式分解：ax+ay＝a（x+y）．【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可．【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．故答案为：a（x+y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．14．（3分）写出一个比大且比小的整数是2或3．【分析】应用估算无理数大小的方法进行求解即可得出答案．【解答】解：∵，∴，∵，∴2＜3，∴比大且比小的整数是2或3．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法进行求解是解决本题的关键．15．（3分）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB＝25°．【分析】连接OB，利用切线的性质定理可求∠ABO＝90°，利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AOB，利用圆周角定理即可求得结论．【解答】解：连接OB，如图，∵射线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°．∵∠A＝40°，∴∠AOB＝50°，∴∠ACB＝∠AOB＝25°．故答案为：25．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，圆周角定理，连接OB是解决此类问题常添加的辅助线．16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝60°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正方形的性质及解直角三角形，掌握正方形的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题满分72分）17．（12分）（1）计算：×3﹣1+23÷|﹣2|；（2）解不等式组．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）×3﹣1+23÷|﹣2|＝3×+8÷2＝1+4＝5；（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（10分）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．【分析】设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，根据“每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，依题意得：，解得：．答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19．（10分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有300人，扇形统计图中m的值是30；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有3000人．【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；（2）根据60≤t＜70的人数45人占所有抽样学生的15%即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为1即可求出m的值；（3）根据概率公式求解；（4）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．【解答】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，∴教育局采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）45÷15%＝300（人），1﹣15%﹣3%﹣7%﹣45%＝30%，故答案为：300，30；（3）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，∴P（抽到男生）＝，故答案为：；（4）10000×30%＝3000（人），故答案为：3000．【点评】本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数是解题的关键．20．（10分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝75度，∠ADC＝60度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．【分析】（1）由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC．（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，结合CD＝DE+EC可得出答案．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝100米，再根据PG＝PF+FG可得出答案．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案为：75；60．（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴楼CD的高度为（+10）米．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，则AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．21．（15分）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据矩形的性质得AB∥CD，可得∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，利用AAS即可得出结论；（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠FAP＝∠APF，等角对等边即可得FA＝FP，设FA＝x，则FP＝x，FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x＝，即AF＝；②可得△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10，则CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，即可得△PCB'周长的最小值；③过点B'作B'M∥DE，交AE于点M，则AB∥DE∥B'M，可得∠l＝∠6＝∠5＝∠AED，AB'＝B'M＝AB，根据等腰三角形的性质可得点H是AM中点，由∠EAB'＝2∠AEB'以及三角形外角的性质得∠7＝∠8．则B'M＝EM＝AB'＝AB．可得点G为AE中点，得出AG＝AE，AH＝AM．则HG＝AG﹣AH＝（AE﹣AM）＝EM＝AB．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP（AAS）；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠FAP，由折叠得∠APB＝∠APF，∴∠FAP＝∠APF，∴FA＝FP，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP＝4，由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，设FA＝x，则FP＝x，∴FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，∴x2＝（x﹣4）2+62，解得x＝，即AF＝；②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，连接B'C，AC，∵AB′+B′C＞AC，∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12；③AB与HG的数量关系是AB＝2HG．理由：如图，由折叠可知∠1＝∠6，AB'＝AB，BB'⊥AE，过点B'作B'M∥DE，交AE于点M，∴AB∥DE，∴AB∥DE∥B'M，∴∠l＝∠6＝∠5＝∠AED，∴AB'＝B'M＝AB，∴点H是AM中点，∵∠EAB'＝2∠AEB'，即∠6＝2∠8，∴∠5＝2∠8．∵∠5＝∠7+∠8，∴∠7＝∠8．∴B'M＝EM．∴B'M＝EM＝AB'＝AB．∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴AG＝AE，AH＝AM．∴HG＝AG﹣AH＝（AE﹣AM）＝EM．∴HG＝AB．∴AB＝2HG．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．22．（15分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴