第六章 模型1平面向量几何意义的应用模型 （含解析） （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页模型1

平面向量几何意义的应用【问题背景】平面向量作为一种基本工具，在平面几何问题的求解中起到极其重要的作用，而教材中对于平面向量给出了几何表示和坐标表示两种形式，相比较而言，学生对于向量的坐标表示更容易接受和理解，但对向量的几何表示包括几何运算往往感到比较困难，然而从平面向量的几何意义来看，其中又有很多独特之处，如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行与垂直的充要条件，结合平面向量的基本定理等这些几何意义，那么在解决平面几何问题时往往就能起到避繁就简的效果.【解决方法】【典例1】（平面向量与解三角形交汇，双空题｜2023天津）在三角形中，，为线段的中点，为线段的中点，若设，则可用表示为__________；若，则的最大值为__________.【套用模型】第一步：整体审题根据题中：若设，显然以它们作为基底向量，借助与向量的加法，减法等运算表示出新的向量，再结合向量数量积的运算，运用函数和不等式的相关知识求最值.第二步：寻找联想.题中已指定了两个不共线的向量，故联想到平面向量基本定理.在中，，点为的中点，点为的中点.对于第一空，用，表示即可；对于第二空，可作出图形，再进行分析.第三步：确定方法并运算.选择合适的三角形，借助向量的加法、减法和数乘运算表示出新的向量，再结合数量积的运算处理问题.第一空由于为的中点，所以，又是的中点，所以.由于，所以.第二空作出图形，如图1所示.图1因为，所以，由可得，即，即.于是.记，则.在中，根据余弦定理得，于是.由和基本不等式得，，当且仅当时取得等号，故，则时，有最大值.第四步：得出结论故答案为：；.【典例2】（22-23高三下·陕西咸阳·期末）如图2，中，，，半径为1的分别交，于点，点是劣弧上的一个动点，则的取值范围是________.图2【套用模型】第一步：整体审题根据本题中的图形是一个等腰三角形为背景，故联想到可以建立平面直角坐标系，用坐标法处理本题.再结合向量数量积的运算，运用函数和不等式的相关知识求相关的范围.第二步：寻找联想.是顶角为、腰为4的等腰三角形，的半径为1，是劣弧上的一个动点，求的取值范围.有题图，可以考虑建系；也可以考虑取三角形底边的中点，用几何法解决.第三步：确定方法并运算，运用坐标法处理，结合三角函数进行处理.方法一：坐标法如图3，以为原点，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，其中.所以.图3因为，所以.方法二：几何法如图4，取的中点，连接，则两个动向量均可用一个动向量和一个定向量表示..图4因为为定值，所以的变化可由的变化确定.连接，易得，当为劣弧与的交点时，取得最小值，为；连接，的最大值为.所以的取值范围是，即.第四步：得出结论所以一、单选题（22-23高三下·黑龙江大庆·期中）1．在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则(

)A． B． C． D．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）2．如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（

）A． B． C． D．（22-23高三上·山西吕梁·期中）3．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2（2023·湖北武汉·一模）4．在中，为线段的中点，为线段垂直平分线上任一异于的点，则A． B． C． D．7（22-23高三上·浙江·开学考试）5．婆罗摩芨多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为婆罗摩芨四边形．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，对角线于点P，过点P的直线EF分别交一组对边AB，CD于点E，F，且，则①；②；③为定值；④，以上结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4（22-23高三上·浙江温州·期末）6．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．二、填空题（22-23高三上·江苏南通·期中）7．如图，在三角形中，点是边上一点，且，点是边的中点，过作的垂线，垂足为，若，则．

（22-23高三上·天津南开·期末）8．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则，若是线段的中点，且，则.（23-24高三上·天津东丽·期中）9．在中，，面积为，点D为的中点，，设，，则用，表示为；若点F为的中点，则的最小值为．（22-23高三下·浙江·期中）10．如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则.（2023·天津津南·模拟预测）11．在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为；若的面积为，则当时，取得最小值.（22-23高三下·重庆南岸·期中）12．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是.

（2023·天津·一模）13．如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为.（22-23高三上·天津和平·期末）14．如图，在中，，，D，E分别是直线，上的点，，，且，则．若P是线段上的一个动点，则的最小值为．（22-23高三上·北京密云·期中）15．如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且.则；的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.【详解】,,,可得:由故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.2．C【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合平面向量基本定理和平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，所以因为，，所以，当时，有最小值，最小值为，故选：C【点睛】关键点睛：运用平面向量加法的运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.3．C【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，所以，因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．故选：C.4．A【分析】利用勾股定理求得，利用向量垂直的性质可得，利用平面向量运算的平行四边形法则与三角形法则，可得，从而可得结果.【详解】由，得，，由勾股定理，得，因为为线段垂直平分线上任一异于的点，所以，可得，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及数量积公式、向量的夹角，属于中档题．向量的几何运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．5．D【分析】对于①：根据圆的性质可得，由此可判断；对于②：根据平面几何知识可得，，由此可判断；对于③：由勾股定理可判断；对于④：根据向量的线性运算和向量数量积运用可判断.【详解】解：对于①：因为，，所以点F是CD的中点，且有PF=CF=FD，所以，又，，所以，所以，所以，故①正确；对于②：连接CO并延长交圆O于G，连接GD，则，又，所以，且，又，，，所以，所以，所以，即，故②正确；对于③：，CG为圆的直径，所以为定值，故③正确；对于④：，又，所以，所以，故④正确，所以正确的命题的个数是4个，故选：D.6．C【解析】根据平面几何知识，结合三角形面积公式，可得，即可求得的表达式，由余弦定理结合基本不等式，可得，进而可得的表达式，利用导数判断的单调性，即可求得函数的最小值，即可得答案.【详解】因为，分别是，的中点，点在直线上，所以EF到BC的距离即为点A到BC距离的一半，所以的面积=2的面积，即，设角，，所以，即，所以，由余弦定理得：，显然，所以，所以，所以，令，则，令，解得，当时，即时，，函数为增函数，当时，即时，，函数为减函数，所以当时，即时，函数有最小值，且为，所以的最小值是.故选：C【点睛】解题的关键是熟练掌握数量积公式，面积公式，基本不等式等，并灵活应用，易错点为当在为减函数，所以为先减后增函数，即有最小值，考查分析理解，计算求值的能力，综合性强，属中档题.7．32【分析】根据线段对应向量的位置关系，利用向量加减、数量积运算律及几何意义得到，即可求结果.【详解】由题设，，又，故，由及数量积几何意义，则.故答案为：328．【分析】由向量的数量积计算可得，平面向量的线性运算可得，由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论.【详解】由，，所以，所以；由是的中点，所以,所以又，所以，化简可得，又，所以，所以故答案为:9．##0.5【分析】根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】因为，则，可得;因为点F为的中点，，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，，由基本不等式,于是，当且仅当取得等号，则时，有最小值.故答案为：；.10．【分析】由向量的线性运算结合三点共线可得，由三角形的面积满足的关系可得，联立即可求解，，由向量的模长公式即可求解.【详解】设，三点共线，.①又，.②,由①②得或（舍去）,故，,（或者在中可以用余弦定理求出.）故答案为：11．2【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．【详解】是边的中点，是线段的中点，则，所以如图所示，中，，所以的面积为，所以；所以；当且仅当时取等号，所以的最小值为6；所以此时，，，所以，所以．故答案为：；2．

12．【分析】运用平面向量基本定理和数量积的定义，将表示为某变量的函数，进而求出取值范围即可.【详解】因为，所以，，设，则，，则，对于，其开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的取值范围是.故答案为：13．1【解析】由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果【详解】，；又因为且，为正三角形，，，，设的长为（），则，，时取等号，的最小值为.故答案为：1，.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．14．【分析】由题可知，，由，可得，代入相应数据即可求得的值，从而求得；设，，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解．【详解】∵，，∴，，∵，∴，解得，∵，∴．设，，∴，∴当时，有最小值，为．故答案为：；．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．4【分析】方法1：①由正弦定理求得，进而可求得b，可得在是等腰三角形，取BC的中点E，在中可求得AE，再由可求得的值.②设，，则展开计算，转化为三角函数在给定区间上求值域，即可得结果.方法2：①由余弦定理求得