2020-2021学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）

2020-2021学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一个选项是符合题目要求的.

1.（5分）已知在等差数列｛斯｝中,“1=2,公差d=l,则的=二（）

A.3B.4C.5D.6

2.（5分）已知抛物线9=8%,那么其焦点到准线的距离是（）

A.2B.4C.6D.8

3.（5分）命题“若工=1,贝<2”的否命题是（）

A."若％之<2,则x=1"B.“若P.1,则行1"

C.“若%=1,则炉>2”D.”若xw1,则正.2”

4.（5分）若a、b、c^RS.a>b,则一定有（）

11

A.ac>bcB.（a—b）c9>0C.—<—D.2a>2b

ab

5.（5分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为Q、。、c,若A=45。，3=60。，a=2,

则。=（）

A.«B.A/2C.73D.2«

6.（5分）椭圆工-卜尸=1的焦点是（）

2

A.（±1,0）B.（0,±1）c.（士50）D.（0,土质

x+y..0

7.（5分）已知变量％,y满足约束条件,则目标函数z=2%+y的最大值为（

M，0

）

A.0B.1C.2D.3

8.（5分）AA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=l,c=^3,B=-,则

AABC的面积为（）

9.（5分）已知命题"：VXER,x>sinx,贝!J（）

A.非p:Hx£R,x<sinxB.非P：X/XER,x,,sinx

C.非x,,sinxD.非夕：VXEH,x<sinx

2

10.（5分）双曲线d-匕=1的渐近线方程是（）

8

A.y=±xB.y=±2A/2XC.y=±2xD.产土丁

11.（5分）若awR,贝!J"a>2"是"|〃|>2"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

12.（5分）等比数列｛an｝的各项均为正数且的#，，5=岩,则

1。3已十离,…+43O）

A.12B.10C.8D.2+log35

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

4

13.（5分）若入£氏+,则%+—的最小值为.

X

14.（5分）在AA8C中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若〃=2,b=3,

c=4,贝UcosA=.

15.（5分）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，S〃=2%-2,则数列｛q｝的通项公式凡=.

22

16.（5分）已知点P是双曲线三-斗=1（。>0,6>0）上任意一个点，若点P到双曲线两条

ab

2

渐近线的距离乘积等于h幺，则双曲线的离心率为.

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（10分）在各项均为正项的等比数列｛%｝中，％=1,a5=4a3.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）记S,为｛%｝的前〃项和，求S,.

18.（12分）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有a=2csinA.

（I）确定角C的大小；

（II）若,=占，且AA8C的面积为迪，求a+8的值.

2

19.（12分）已知a&R,命题p:Vxe[1,2],a„x2；命题q:3x&R,x2+2ax-（a-2）=0.

（1）若命题?是真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题"pvq”是真命题，命题"p"是假命题，求实数。的取值范围.

20.（12分）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12布的矩形，房高为3%.因

地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/一，房屋侧

面的造价为150元屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设

房屋的总造价为y元.

（1）求y用x表示的函数关系式；

（2）当*为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

21.（12分）设数歹｛%｝满足q+3%+…+（2〃—1）%=2〃.

（1）求｛2｝的通项公式；

（2）求数列｛工-｝的前〃项和.

2n+l

22.（12分）已知点A（0,-2）,椭圆£：W+马=1（°>0力>0）的离心率为走，尸是椭圆E

ab2

的右焦点，直线AF的斜率为半，O是坐标原点.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的直线/与E相交于P,Q两点，当AO尸。的面积最大时，求直线/的方程.

2020-2021学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一个选项是符合题目要求的.

1.（5分）已知在等差数列｛斯｝中，见=2,公差d=l,则的=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：在等差数列｛斯｝中，。尸2,公差d=l,

.■.fl3=ai+2<i=2+2X1=4.

故选：B.

2.（5分）已知抛物线：/=8苫，那么其焦点到准线的距离是（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：抛物线丁=8万，那么其焦点到准线的距离是：4.

故选：B.

3.（5分）命题“若x=l,则无2<2"的否命题是（）

A.“若x?<2,贝=B.”若£..1,贝Uxwl”

C.“若x=l,则f>2"D.“若xwl,则V..2"

【解答】解：命题“若x=l,则x2<2"的否命题是“若xwl,贝U.2”.

故选：D.

4.（5分）若a、b、ceR且a>b,则一定有（）

,11

A.ac>beB.（a—b）c>0C.—<—D.2a>2b

ab

【解答】解：对于A：当c=O时，故ac=6c,故A错误；

对于3：当c=。时，（a-Z?）c2=0,故5错误；

对于C：当“=1,6=0时，工无意义,故C错误；

b

对于。：由于a>Z?,则2a>2>，故。正确；

故选：D.

5.（5分）在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为a、b、c,若A=45。，B=60°,a=2,

则6=()

A.y/6B.JIC.A/3D.2瓜

【解答】解：A=45°,8=60。，a=2,

.2x__

由正弦定理，=—2_,可得：％=巴吧o=#.

sinAsin3sinA也

故选：A.

6.（5分）椭圆］+丁=1的焦点是（）

A.(±1,0)B.(0,±l)C.(±50)D.(0,±A/3)

【解答】解：由椭圆方程，可得a=近，b=1,

所以C=一方二］,

又焦点在龙轴上，所以焦点坐标为（±1,0）,

故选：A.

x+y..0

7.（5分）已知变量1,y满足约束条件卜,1,则目标函数z=2%+y的最大值为（

%0

）

A.0B.1C.2D.3

x+y..0

【解答】解：作出变量％,y满足约束条件卜,1对应的平面区域如图：

M，0

由z=2%+>得>=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的纵截距最大,

此时z最大,

(x—1

由，可知A(1,O)

[y=。

止匕时z=2x1+0=2,

故选：C.

8.（5分）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,且a=1,c=*73,B——，则

6

AA3C的面积为（）

【解答】解：因为a=l,c=B=—,

6

所以SAABC=|acsinB=|xlx73x1=^.

故选：B.

9.(5分)已知命题p:VxeH,x>sinx,贝!J()

A.p:3xER,x<sinxB.?：X/XEH,x,,sinx

C.非“HXER,x,,sinxD.非〃：\/X£R,x<sinx

【解答】解：对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，p:VxeR,x>sinx,则非

p:BxeRfx,,sinx

故选：c.

2

10.（5分）双曲线尤2一匕=1的渐近线方程是（）

8

A.y=±xB.y=±2^xC.y=±2xD.y=~~^~x

2

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为％2—匕=1,

8

2

则其渐近线方程为V-&=0,

8

化简可得2岳土y=0.

2

故f一匕=1的渐近线方程为：y=±2&X.

8"

故选：B.

11.（5分）若awR,则“a>2”是“|。2"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解答】解：“|a|>2"oa>2,或〃<—2.

“。>2”是的充分不必要条件，

故选：A.

12.（5分）等比数列｛凡｝的各项均为正数且的/々々5=18，则

103g十1单表...+d3O）

A.12B.10C.8D.2+log35

【解答】解：4%+a5a6=18,由等比数列的性质可得：=a5a6=9=anaxx_n（nGN"',

10）,

5

log3%+log3/+…+log34o=logs（4%…%o）=，暇9=10.

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

4

13.（5分）若XEK,则％+-的最小值为4

x

【解答】解：x&R+,:.X+-..2.X-=4

xVx

当且仅当尤=a即尤=2时取等号，

X

4

—的最小值为：4

x

故答案为：4

14.（5分）在AA5c中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=3,

7

c=4f贝UcosA=—.

一8一

■AnA/rYbjj+.___.Z?2+c*2—9+16—47

【角牛答】斛：在AABC中，cosA=---------------=-------------=—，

2bc2x3x48

故答案为：

8

15.（5分）已知数列｛2｝的前〃项和为Sn,Sn=2an-2,则数列｛凡｝的通项公式为=_2〃

【解答】解：数列｛4｝的前九项和为Sn=2an-2@,

当九=1时，解得q=2,

当九.2时，S-=2%T—2②，

①—②得：—2a〃_],

整理得：&=2（常数），

故数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列；

所以4=2X2M=2".

故答案为：T.

22

16.（5分）已知点P是双曲线三—4=1（。＞0力＞0）上任意一个点，若点P到双曲线两条

ab

渐近线的距离乘积等于巴，则双曲线的离心率为6.

3一一

【解答】解：设尸（%,%）,则¥一再=1,即从片一办；=。2火

ab

双曲线两条渐近线的方程为bx±ay=0，则点P到两条渐近线的距离乘积为：

|bx。+做IIbx。-ay0I=旧片一片）.二片片二尸

2

J/+/+/a+/。23

故e=£=退.

a

故答案是：下.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（10分）在各项均为正项的等比数列｛”“｝中，4=1,%=4%.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）记S“为｛”“｝的前〃项和，求加

【解答】解：（1）在各项均为正项的等比数列｛%｝中，6=1,%=4%-

/.Ix^4=4x（lx^2）,

解得q=2或q=-2（舍去），

.•.｛。“｝的通项公式为约=21；

（2）A]=1,4=2,

18.（12分）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有＜?=2csinA.

（I）确定角C的大小；

（II）若。=占，且AA8C的面积为空，求a+8的值.

2

【解答】解：（1）由届=2csinA及正弦定理得：-=^4=—,

cJ3sinC

sinAw0,sinC=

在锐角AASC中，C=—

3

（2）0=^/^,C=—

3

由面积公式得！油疝工=述，即"=6①

232

由余弦定理得a2+Z?2-2a6cose=7,即。2+/_°6=7②

3

由②变形得（a+4=25,故〃+6=5.

19.（12分）已知acR,命题p:Wxe[1,2],a,,x2；命题q:玉eR,x2+2ax-（a-2）=0.

（1）若命题〃是真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“pvq”是真命题，命题«pW是假命题，求实数a的取值范围.

【解答】解：（1）根据题意，命题p：Vxe[l,2],a,,x2；

由于xe[1,2],则1M24,

若命题p是真命题，必有a„1,

则a的取值范围为(-8,1]；

(2)命题x2+lax-(a-2)=0,

若4为真，即方程三+26-(4-2)=0有解，必有△=4q2+4(a—2)..O,

解可得：④-2或a.l,

若命题“夕vq”是真命题，命题“。八q”是假命题，则°、q必为一真一假，

若0假q真，则有卜;:一，则有。>1,

若p真q假，则有I"：,则有

[-2<a<1

综合可得：a的取值范围为(-2,1)(1,+oo).

20.(12分)某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12疗的矩形，房高为3m.因

地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/小，房屋侧

面的造价为150元//,屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设

房屋的总造价为y元.

(1)求y用x表示的函数关系式；

(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

【解答】解：(1)因为侧面宽度为X,则正面长度为上，

X

12

由题意可得：y=3(2xx150+—x400)+5800

X

=900(x+—)+5800,(0〈苍，5),

X

故函数y=900(x+3)+5800,(0<苍,5)；

X

(2)由(1)可得：

y=900(x+—)+580(000x2卜”+5800+5800900x2^x--+5800

=900x8+5800=13000,

当且仅当天=3，即x=4时，ymin=13000,

所以当尤为4米时，总造价最低，最低总造价是13000元.

21.(12分)设数列｛%｝满足q+3%+…+(2〃-l)a〃=2〃.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)求数列｛养｝｝的前〃项和.

【解答】解：(1)数列｛〃〃｝满足4+34+…+(2〃-1)。“=2〃.

n..2时，/+3a2+...+(2〃-—2(〃—1).

2

(2n-lX=2.：，a=--

n2n-l

当九=1时，％=2,上式也成立.

2

2n-l

11

(2)%____3___