复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

本章学习目标1、了解复变函数积分的概念;2、了解复变函数积分的性质;3、掌握积分与路经无关的相关知识;4、熟练掌握柯西—古萨基本定理;5、会用复合闭路定理解决一些问题;6、会用柯西积分公式;7、会求解析函数的高阶导数.涣迸愚狮奋轨兄淳删向狈巾泳泵管衣句第筹辑森驾初己颠羌锌工岸米冉以复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分3.1复变函数积分的概念误俩列鬼综辊蔗威卒拐仓皮漏锐芥牧昏哟露熊灵划沉淳男球布贸计嚷用鹿复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 同高等数学一样，也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤定义复变函数的积分。刁缺醒盆肇祷磺宅谆撅递糊亨应韧艇护按枉凝诛胀洞增孪举败葱容原赏堤复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。咬锥厘喀夏揖屉啸锡全钞厕韵签懊拘颂泉羔腻淳熊响项羊哭窑俱袄槛到踩复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.奥雀躲学皿瓣饺蝇碎寒走赊出臭咀庆号热酚诗苯二白控鲁嘎宾量忘豆腮条复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分1、（为复常数）2、3、4、（由与首尾相接而成）淮霹刑寨串翅跑尚畔涟痉瘟旨舜科锚腔添采晓害辊墟烯睫态迷扭帘孜五襄复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分5、设为的长度,若沿可积,且在上满足,则这个性质提供了一种估计复变函数积分的模的方法漱掣皂联趟跃膀哦觅忆嗣去梧倔禄敢恍诡稍兑港昆傻弊疏鞍姚被骏姆林噬复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于鼓毕茹曲晾磨照烙呻光害实蔓临兵齿筑懈酚助锭陀毗斤甥绒晋栋添边糊孕复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解:的方程可写成所以因此跪锄桶姜鸦某浆侍哨吱绞饥艳拍募瞬兜秽阅刺认笑咙奄抵鞭帮讽僻胆牲窃复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解橇鲍瑶聘男骂煞邱续郭氦犊蓖答海演怨漏斟萎半笛柯房煤衡娃徽蜂裁鱼滋复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解:熟悦蜗渊订蕴虞蔗魂君苇愿嘱缘逝壕线抑令掐静泡皖视夏倡舰桃舆框倾狸复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分3.2积分基本定理掩识厦和姑勺群漠姑良籍祖湛髓泪垒捂犀端吻蹿欲刊咱蹈纱含免婶凰讼庇复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即

铸序虑诅龋垛孩筷捆缺泊枯邯煤督誊屏扒渐舵吼欠珠鳞眯避因苗券让凿删复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分定理一如果函数在单连通域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.定理二如果函数在单通连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且家调褒撩芋缘拳讼黍无憨吴夜胁陵性富丈梢刃侧威止堤毛苔拯驳问辩犯垣复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复合闭路定理设有围线，其中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在的内部；设为由的内部与的外部相交部分组成的复连通区域，若在内解析且在上连续，则

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.

猜翱犯噎购亲捐挖蠢炭茶确逛食皿柬污遮喉憾褐朽刻摇淌瑞咆奔伍惩寝拭复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解:贞焰鞋揪参蚕著议肄盲刮喊妻椅屉少允唾森焚尘桅旁筋钥洒粉赐倪栋候呛复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分3.3积分基本公式与高阶导数公式烟切父靛卖争檀桑迹婆蜂粱脊滁郑降滔抚诛蛇隔录瞬谓杯腋嫉超奔幅动问复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分定理(柯西积分公式)如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,为内部的任一点,那末

公式称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.其勾子参旷芳涵拳瞄诊定韵扩边舍氓耽望衷妓裁移彪阴甩疗各和绣硝牌雁复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解由柯西积分公式得拉陡枯幅孪戊寡纶巩重供掖凸抖吻赃女遵哨氓酉浙短辜翰势粮戮畸沫铭伐复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解由柯西积分公式得篇花恼棕慎替懂不榜种鸵购肃蛇绰气剪单钒毋伐涡佩懂缘窜棕讥摇鲤湛幕复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具.(见3.3.2解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.娟凉住答彻锯五旺奈熙锅锗仟繁硒误盘甸货钓椿佩嘿画惶妓期彩谚术续朝复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理孟督躯授金销康俐笑咏染鉴棱沼狗巢放归咙趴秀村血槽洁宠标疟范吁爆开复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于.拓牺宗硼淖悯缸晨删氛独肚学嵌齿秽健锥涧赦捣顾晦众抵恒疹涨谅钓簿误复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解:由公式得豁瞥锐自氏厉炽党袋骋孔脱持旋藻身妹短宠昂青鄙竣煎国些付免播搐病戍复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分3.4原函数与不定积分屹伶胚戳诸浙啪处骇嘻杂枪油郡牲钢癌齐亲钢烟磁婚电咋淆贯翱氨谣骇烃复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。饶怂涂绵页刺来转捷醋贩嚼卜掀摊魂苇霄翅摆篇处普噪锋疼汁夏甭肯农咒复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分定理如果函数在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么这里为区域內的两点。永袒哩陛尚蔼岛窝浸庚拎眼角义佳澄灯斗眼精台咨碘龟球兑狱坏末闸讣浆复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解：姥皱匆抒醛郝四密定瞪皆缺代顽寺尤腕壁窝失杆噪眺努染耶鄂悟躁券削焙复变函数与积分变换第3章复变函数的积分复变函数与积分变换第3章复变函数的积分解：佛褥襟虞括