2021-年浙江高考数学真题及全答案解析

2021年浙江高考数学真题及全解析

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

姓名准考证号

本试题卷分为选捧题和非选押题两部分.全卷共4页，选■部分1至3页।非选押题部分3至4页.

满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位

置上：

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上规定的位置上规范作答.在本试题卷上

的作答一律无效。

参考公式，

若事件/、8互斥，则柱体的体枳公式

P(A+B)=P(⑷+P(8)V^Sh

其中S表示柱体的底面枳，力表示柱体的高

若事件4、8相互独立,则

锥体的体枳公式

P(A-B)^P(A)P(B)

r^-Sh

若事件.4在一次试验中发生的概率为〃,则〃3

其中S表示锥体的底面枳，力表示锥体的高

次独立重更试验中事件.4饵好发生4次的概率

球的表面枳公式

4(A)=C"(i-0)i(A=0J2「M

S=4JTW

台体的体枳公式

球的体积公式

T(&+凤+孙了」万/?3

3

其中SrS?表示台体的上、卜.底面枳.人表示

其中/?表示球的半径

台体的高

选择题部分(共40分)

一、选本大题共1U小题，每小题4分，共40分.在每小JB给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的・

第1页共5页

1.设集合X={x|xNl},8=卜卜1<“<2},则4(18=

A.{巾>-1}B.[x\x>\]C.{.r|-1<x<1}D.{x\\<x<2}

2.已知owR,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位)，KOa—

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量0.瓦c,KUuac^bcw是“o=b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的

体积（单位：cm'）是

A.-B.3

2

x+lNO

5.若实数X,），满足约束条件.则==x-；），的最小值是

2x+3y-l，O

A.-2B.--C.」

22

6.如图，已知正方体JBCD-44GA/,N分别是4。,。力的中点，则

A.直线4。与直线歪直,直线MV〃平面.4BCZ）

B.直线4。与直线A8平行，直线MN_L平面8。。用

C.直线4。与直线功8相交，直线MN〃平面⑷?CD

D.直线4。与直线异面，直线MVJ_平面

7.己知函数/（x）=f+%g（x）=smx,则图象为右图的函数可能是

A.y=/(x)+g(x)]BF=/(x)-g(x)-；

（第7题闻

第2页共5页

cJ=/（工）g（x）

/⑴

8.已知a,/，,y是.不相同的锐角，则在sinacos。、sinflcosy,sinycosa:个值中，大F,的个数的

最大值是

A.0B.1C.2D.3

9.1_!•知a,ah>0.函数/（工）=w）+6（工wR）.若+成等比数列.

则平而卜.点（民，）的轨迹是

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.己知数列｛a｝满足a=1,eN'）.记数列｛a.｝的前”项和为s「则

1+也

e9c

<5

A.5<Sg<3B.3<S100<4D-<^oo

非选择题部分（共110分）

二、填空■，本大JB共7小JB,单空题每空4分，多空・每空3分，共36分.

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个

全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图

所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4.记大正方形的面积为，.

小正方形的而枳为则受=_______.

S2

12.（2知awR.函数=::；若/（/（何）=3.则°=

13.L1知多项式（x-l）'+（x+l『=./+4/+//+03.1+4,则q

14.在A4BC中，N4=601.48=2,.”是8r的中点，4W=2/，则力C=:cosZ.W4C=

15.袋中有4个红球，m个黄球,〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红

第3页共5页

球数为。，若取出的两个球都是红球的概率为二，一红一黄的概率为二，则巾-〃=______，£%)=_________.

63

已知椭圆3+£=l(a>6>°)，焦点月(-*)),5(c,0)(c>0).若过月的直线和网

相切，与椭圆的第一象限交于点P,且明Lx轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是

17.己知平面向量a,瓦c(c#O)满足|o|=l,网=2,aR=O,(a-b)Y=O.记平面向量d在％6方向上的

投影分别为X%d-a在c方向上的投膨为二，则产+炉+三的最小值是.

三、解答AL本大题共5小题，共74分.解答度写出文字说明、证明过程或演算步事.

18.设函数/(%)=smx+cos.r(工ek)

)求函数^=[/(x+g)j

(I的最小正周期:

(II)求函数「=/(MY)在卜哥匕的最大值.

19.在四棱锥尸-，皮7)中，底面/BCO是平行四边形，4BC=120',14=1,K=4,R4=>/15,

A/,N分别为8C,R7的中点，PDJLDC、PM工MD.

(1)证明：AH1PM：

(II)求直线/N与平面PQM所成角的正弦值.

(第19题图)

第4页共5页

Q

20.（本题满分15分）已知数列红｝的前"项和为S.,q=-j,且45“,=3S.-9（=wN）

（I）求数列｛4｝的通项公式：

（II）设数列他｝满足地+（"-4）a.=0（"eN）记他｝的前"项和为人若7；V也对任意N•恒成立,

求实数2的取值范围.

21.（本题满分15分）如图，已知F是抛物线『=2px（p>0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点.

且阳=2.

（I）求抛物线的方程：

（II）设过点F的直线交抛物线于48两点,若斜率为2的亢线/与

直线M4M仇IB,x轴依次交于点P，O，R,N,且满足

■求直线/在x轴上做距的取值范围.

22.（本题满分15分）设a,6为实数，且a>l,函数/。）=，-及+户卜eR）.

<1）求函数/（x）的单调区间:

（II）若对任意函数/（x）有两个不同的零点，求a的取值范围：

（川）当a=e时，证明；对任意b>e*,函数/（工）有两个不同的零点x“三，满足%>翳为+£.

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

第5页共5页

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学学科全解析

一、选择题：本大JB共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合4={x|xNl},8={M-lvx<2},则.4仆3=

A.{jr|x>-l}B.卜卜21}C.{jr|-l<jr<1}D.{x|lMxv2}

【答案】D

【解析】

易知.4c8=mi4xv2}

故选择：D

2.已知awR,(l+m)i=3+iG为虚数单位，则。=

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】

(l+oi)i=i-o=3+i=-3

故选择：C

3.已知非零向量％b、c,则“ac=bc”是“。二5”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

若c_La且d,则==但°不一定等于否.故充分性不成立：

若£则12=限入必要性成立，故为必要不充分条件.

故选择：B

第1页共16页

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的

体积（单位：cmJ）是

【冬案】A

【解析】

易知原图为一个等腰梯形为底面的四棱柱

故《"+/»）.广£.刎=$（石+2处看

故选择：A

X+1N0

5.若实数xj满足约束条件,x-yVO,则二=x-；），的最小值是

2x+3>-1^0

（第脸图）

第2页共16页

C.直线4。与直线R8相交，直线AW〃平面

D.直线4。与直线异面，直线MN1平面80ABi

【答案】A

【解析】

连接4不易证M在世上，在正方形.4OR4中，AD.1A.D

血¥>认Q/5C曲・/nWJ乎忿=4。1%8

DtM=AL4

MV//AH

D、N=NB

在正方形/4A。中,MN<Z^4BCD=>AA〃面4BC0

ABc^ABCD

取,44中点£,连接NE.易证£B=££kED=EB,且N为8。，8Q的中点

故N£_L而MV与NE相交.故MN与BDR区不垂直.

故选择：A

7.已知函数/(x)=f+Lg(x)=smx,则图象为右图的函数可能是

A.y=/(x)+g(x)―；

By=/(x)-g(x)-(

c.y=/(x)g(x)■<

(第7题图)

【答案】D

【解析】

/(力=./+1为偶函数,g(x)=smx为奇函数，图中函数为奇函数.

P=/(x)+g(x)-!与j=/(x)-g(x)-,均不是奇函数，故排除A.B项:

44

第3页共16页

/(x).g(x)=(♦+：)・smx,[/(”.8(叫,=卜+!)

•cosx+2xsinx.

（：）、0,与图不符.故排除C项:

•g

故选择：D

8.己知a,夕,y是互不相同的锐角，则在sinacosp,sin^cos/,sin/cosa三个值中，大于:的

个数的最大值是

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析一】

0<sinacospsinacos.R.,当且仅当sina=cos//时取"="

同理sin夕cosy,sin丫costr有类似性质.

三式相加得0<sinacos/?+sm6cosy+sinycosa0。

所以，不可能三个式子都大于；，另一方面，取a=301夕=60、y=45\则

aV?-JlR1-72Q瓜1

sinpcosr=—x—=—>一,sinycosa=—x—=—>—.

22422242

所以,可以有两个式子大干;,故大于g的个数最大值是2.

故选择：C

【解析二】

f4x-八(sina>sm/?>sinr辽〜3一丁。八一』

不妨±>a>Q>/>0,则(.故由排序不等式可知

2Icosa<cosp<cosx

smacos#+sinScosy+smycosa4sinaco$y+sin夕cos"+sin/cosa=sm(tr+/)+isin2/?<.

当且仅当a=/=y=¥时取等号,但因为a,伉y是互不相同的锐角，故取不到等号，

4

故smacos"+sin6cosy+sin/8sav：•故三个值不可能都大于故排除D.

当令a—?.夕y->0时.有sinacos夕一>牙>>：・sin"cosy-►£>?・sin/cosa->0.

故三个值中可以有两个大于g.

故选择：C

第4页共16页

9.12知”,beR.>0・函效/(主)=◎」+b(工eR).若/($-，)J(s)J(s+，)成等比数列,

则平面卜.点(s,)的轨迹是

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

[M«f]

2222

【方法一】由题意得/(s-，)/(s+，)=[/(s)>mi[O(s-/)+ftp(s+Z)+6]=(as+6).

即(心，+at2—last+b)(a/+al2+last+A)=+6*)•

HP(as2+at1+Z>)-(2asty-(as2+Z>)=0.

即(2a『+ar+Ib^at1-4oV/2=0

即-ZJ'JV+4'，4+2%，■0

所以-2as:+a/+2〃=0或/=0

所以彳-芸=1为双曲线，/=0为直线

aT

【方法二】特殊值，因小>0.不妨设。=。=|.方便计算

【方法三】考直渐近线斜率.，&=!叩?有几组解,由等比数列得[a($T)F][a(s+J+<|=(afF>

两边除以s',得+餐-=(a+4"),hm2=0,hm-=JI.

得[a(l-£)*+0][a(l+A)2+0]=(a+0『，即J(l-(1+&『=d,(1-k)(1+A)=0,A有两实根，

即曲线有两条渐近线，为双曲线

故选择：C

10.己知数列㈤｝满足q=l,限=—^(neN').记数列㈤｝的前〃项和为S”，则｛4｝的前〃项和为

17。,

2,则

A.1<S100<3B.3Vsm<4

【答案】A

第5页共16页

[iWf-1

五+1

设“小言卜「可'易知

.•./(X)在(0,2)上单调递增,

现用数学归纳法证明〃?3时.4<————

("1)5+2)

.1.-J2

•・9=1.・・%=T%=1-3・

当〃=3时,Oj=I-<---»不等式成立，

220

假设”=A时，不等式成立，即~——；成立.

(*+1)(*+2)

6

%LilH-ak("+1)(*+2)

当〃=«+1时.q.,=-----].

i+向TH6

V(A+1)(A2)

6

要证/“＜号育,只只证(j+D(：2)6

(*+2)("3)'

“{(*+1)(*+2)

u^2〈l+I6=2二I646c-

U77T<"、(4+])伏+2),ATT<^(A+l)(jt+2)

­=3」<3

410251

故选择：A

MWrr]

故选择：A

二、填空题2本大题共7小题，单空题每空4分，多空■每空3分，共36分.

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个

仝等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大1E方形（如图

所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4.记大正方形的面枳为S-

小正方形的面积为则券=________

工

【答案】25

【解析】（第11题图）

$=仲+4]=25,S2=25-4xlx（3x4）=l,所以?=1=25.

12.(2知awR,函数=:、>：，若/(/(而))=3,则0=________

l|.x-3|+a,x<2.''〃

【答案】2

【解析】

/(而)=(而)-4=2=/(2)=3.即|2-3|+a=3na=2.

13.己知多项式+(x+l)’=—+%x+q,则q=：2+flj+o4=.

第7页共16页

【答案】5.10

【解析】

根据二项式通项公式：aH=Cy(-l)°+C>'r=5x',故q=5：

同理•fljjr2=+C：fl'=-3.d+6/=3.x2nq=3

a^r=C/x'(-1)2+C>'I}=3x+4x=lxnq=7.q=C；d(-l)'+C：/r=0

所以％+4+4=10

14.在A4BC中.ZB=60\.4B«2,M是BC的中点.4W=2/.则AC=：cos/鼠4「=

【答案】2g专

【解析】

(1)【方法一】AM2=AB1+B.W2-IBM-B.4■cosB,R|J12=4+8%〃一28八八2•:

所以AH'-28"-8=0=81/=4.所以B「=8

所以JC2=JB2+BC2-24BBCCOSB=4+64-2-2-81=68-16=52

故AC=2瓜

【方法二】由正弦定理得则■=…即2

,所以=

sinHsinZAMB6sinZAMB2/2

所以X8V.4M•则N4.W8<ZJ8.W,所以44。二30=ZBAM=90"

所以3M=JA济+41小=出+12=4,所以CW=4ZJ=180*-MB=150*

所以AC2=AM2+CAf2-2AMCMcos150*=12+16-2-273-4

故/？=28.

AC2+AA/2-MC252+12-16482回

(2)由余弦定理得cosNM4C=

2AMAC2x202/-8我

15.袋中有4个红球,加个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球.记取出的红

第8页共16页

球数为々，若取出的两个球都是红球的概率为二，一红一黄的概率为二，则_______，£值）=________

63

【答案】1;I

【解析】

002)=1:一—nC：““=%，所以加+”+4=9

1-7。小・.4。

户(一红一黄)=巴=L=/w=3,所以〃=2,则=1

'1(二…3693

0(g卜等=等="(3)=*齐言

.㈤力、2+―+，。,+3一

v76918399

16.已知椭阴］+*=l(o>b>0),焦点£(-c,0),£(c,0)(c>0).若过K的直线和园'-mj+/=?

相切，与椭阅的第一象限交千点P,且明_Lx轴.则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.

【方法二，利用⑴的结论】•外手；=上_=逆一小走

2c55

bl

【方法三，利用定义】PF、+PF,=2a,所以7

2a------

~2a

【加二】

不妨假设c=2.sin/Pg=sinNHFg="L-

RM3

c322l

HM=彳•2=2,FXM=-c=3,tan"F、F,=~=三百

*=—.则氏=5一2月=2,£6=2C=4

5月6a

人之，多n6?f-4有-0na*归牢L24

4aV52V5-45

17.己知平面向量a瓦c(cwO)满足|a|=l,|b|=2,a-6=0,(a-6)c=0.记平面向量"在a,6方向上的

投影分别为.工居"-。在c方向上的投影为二,则/+/+二2的最小值是.

【答案】I

【的】

【方法一：权方和不等式】

令a=(LO)・=(2,0).c~(niji).因为(a-A)c=O,故/n-2〃=0,故c=(26〃)・

因为N在26方向(即x轴和y轴正方向)上的投影分别为故可设Z=(xj).

因为己一£在2方向上的投影为二=匕”=>+:-2.故2x+y--=2.

故/+./+/=电+亡+二何二.

',"4135-*+1+1-55

2xy-y/5=5

2

当且仅当即y~-时取等号,故埴

2x+y-y/s：=2一二五

5

【方法二।主元法】

令a=(LO)，6=(2,0).c=(叫因为(a-4c=0,故/n-2/i=0，故=(2〃,〃)，

；（即X轴和J，轴匕的投影分别为工.一々二（AJ）.

(d-a)c2x+y-2

因为在工方向上的投影为二故2x+y-y/5z=2.

222

故/+炉+:2=.r+J+(~/+；二-1_=![61-(4-4j).y+9.r-8x+4]

eg6(F)-(4-4x)(F)+9f-8x+4=^C-4J+2

当且仅当x=.宁j时取等号，故填］

三、解答题，本大题共5小JH,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步••

18.设函数/（x）=sinx+cosx（.rwA）.

）求函数.1=的最小正周期:

（II）求函数》=/（工）/6-（）在［。卷］

上的最大值.

【丽】

jr

(I)/(x)=sinx+cosx=•V2sin|x+一

,=[/(,+£)]=['7Fsin(x+弓)]=2sin，(x+亨)=[_«»(2.<+率)=l-COS^2x+y^»

I-sin2x

所以7=口=也=万

M2

(T3sl+咛)6

（II）尸/（x）/sin.v

第11页共16页

历V2

2sin|.r+-|smx=2sinx-—sinx+—cosx=•7?sin2x+^sinxcosx

22

1-cos2A:>/172zr

-------------+-sinzx=—sin2x-

222222

.所以，w-pyl,所以snwe-当

令2x-£=f,xe0,n£n3作

42

所以函敷y=/（x）/（x-"在上的最大值为1+孝.

19.在四棱锥P-XfiCQ中.底面是平行四边形.ZJBC=120\3（、=4,PA=延、

A八N分别为SC,PC的中点，PDA.DC,PM±MD.

（I）证明：AB1PM：

（II）求直线4N与平面所成角的正弦值.

【解析】

(I)证明：在ADCA/中，DC=LCW=2,ZZJCJW=60\

.,.ADCM为直角三角形，Z.WDC=90\即DW_L

由题意DC_LPQ且PQcPM=Q,PD,DMu而PQM

（第19题图）

DCJ_面PDA!.又AB"DC..\AB1ffiPDM

P.Wu面PDM・•・AB1PM

(II)PM1A/D,PMLAB得PM_L而ABCD:.PM1A14

MA=>JAB2+BM1-2ABUMcosZABC'=G,PM2=Jp#-=Jl5-3二2-

作/。中点£,连接亚£,则ME,D.W,PM两两垂直

以时为坐标原点，为x轴,£V/为）•轴，为二轴，建立空间

直角坐标系,则4（一，12,0卜尸（0,0,2&）,D（V3,0,0）,

A/(0,0,0),C(V3,-I,O)

又—所以、仔-出）京=（孚-网,

由（I）得CD1面PD”.所以面PQM的法向量G=（（U,0）

第12页共16页

tZVnlIJi?

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sm®=7"一=—

网卜|户+交+26

V44

20.(本题满分15分)己知数列｛“的前”项和为S.,q=-2,且4SE=3S.-9ReN)

4

(I)求数列｛%｝的通项公式：

(II)设数列他｝满足34+("-4)a.=0("eN),记他｝的前“项和为7；.若7；M也对任意N,恒成立,

求实数＞1的取值范围.

【解析】

(I)由怨」=3S.-9①.得4sl,=3Si-9("Z2)②

QHg)得乜,,=3q,即a.」%,所以｛4｝是以T为首叫之为公比的等比数列

444

故%-T3

(II)由弘.-4)a.=0・得-4)(：)

从而乙二一3x(-2x(()-+0x(()+—4+(?③

故27；=_3x-+S-5)•停)+”4)(3j

4管-2咽+M3；

(|H3)町7；=-3*(力+(93(I同

9

916

—+一-r一(吁4)|IT卜4—(w-4+

41,2

««i

所以

由7；4也得T/rg)恒成立，即2("-4)+3"20恒成立

〃=4时不等式成立：

”<4时，AS---=-3---,得2ML

4w—4

3”12

〃>4时.入之一^-=_3--^・得NN-3：

〃+4〃-4

所以一3«久41

21.(本题满分15分)如图，已知产是抛物线F=2px(〃>0)的焦点，M是抛物线的准线与工轴的交点,

且|MF|=2.

(I)求抛物线的方程：

(II)设过点F的直线交抛物线于46两点,若斜率为2的直线/与

直线A",MB,48,x轴依次交于点P，2，/?,N・且满足

网f=|/W|.@V|,求直线/在x轴上截距的取值范围.

【解析】

(I)|.WF|=p=2.故抛物线的方程为y=4x.

(II)【设线韦达】

产(1,0),"(T0),设贻加,6(%力),

(第21■图)

显然直线.48斜率不为0,故可设48』=叼+1,

因为凡N不重合，故/不过点RLO),故可设/:y=2x+〃，(«*-2).

联立直线,48与抛物线方程可得

故由韦达定理可知(?，♦""4",故4+,=(乂+%>-2九力=16>+8.

1加2=«

直线的方程为？=壬口-3)+%

〃(覆+1)(〃-2)M]“(M+I)("2)为

联立直线和/可得P.同理可得。

F?—2%—2y2—2jtj—2,