数理统计试卷及答案

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数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。

i?1

2

n

2

2、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。

3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为

2

1??的置信区间为(X?

?

n

2

?,X?

?

n

?)，则?的值为________。

4、设总体X~N(?,?2),?已知，在显著性水平0.01下，检验假设H0:??u0,H1:??u0，拒绝域是________。

5、设总体X~U[0,?],??0为未知参数，X1,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的矩估量量是______。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设随机变量X和Y都听从标准正态分布，则（

（A）X?Y听从正态分布

2

2

2

）

2

（B）X?Y听从?2布（D）X/Y都听从F分布

2

2

2

（C）X和Y都听从?分布

2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（）。（A）（C）

X?1X?1

~N(0,1)（B）~N(0,1)13X?1X?1

~N(0,1)（D）~N(0,1)93、设X听从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，

X

2

为样本均值，Sn

1n

??(Xi?)2，则下列说法错误的是（）。ni?1

2

（B）Sn是D(X)的矩估量

（A）是p的矩估量

（C）2是E(X2)的矩估量

（D）(1?)是D(X)的矩估量

4、设总体X~N(?,4),由它的一个容量为25的样本，测得样本均值?10，在显著性水平0.05下进行假设检验，??(1.96)?0.975?，则以下假设中将被拒绝的是（）。

（A）H0：??9（B）H0：??9.5（C）H0：??10（D）H0：??10.55、设总体X~N(?,?2),样本容量为n，已知在显著性水平0.05下，检验H0:???0,

H1:???0的结果是拒绝H0，那么在显著性水平0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0

的结果（）。

（A）肯定接受H0（B）肯定拒绝H0（C）不肯定接受H0（D）不肯定拒绝H0三、（本题14分）设灯泡寿命X听从参数为?的指数分布，其中??0未知，抽取10只测得寿命（单位：h）x?990，求：（1）?的极大似然估量量；（2）P{X?1290}的矩估量值。四、（本题14分）假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的样本值，已知Y?lnX~N(?,1)。（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）求E(X)的置信水平为0.95的置信区间；（z0.05?1.645，z0.025?1.96）。

五、（本题10分）为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度（kg/cm2），抽取了25件样品进行测试，得到平均抗压强度为415（kg/cm2），依据以往资料，该厂生产的水泥构件的抗压强度X~N(?，202)，试求?的置信水平为0.95的单侧置信下限；（z0.05?1.645，z0.025?1.96）。

六、（本题14分）随机地从一批钉子中抽取16枚，测得：x?2.125（以厘米计），设钉长听从正态分布，求总体均值?的90%的置信区间：（1）若已知??0.01厘米；（2）若?为未知。

（z0.05?1.645，z0.025?1.96，t0.05(15)?1.7531,t0.025(15)?2.1315）。

七、（本题10分）在漂白工艺中要考察温度对针织品断裂强度的数据，在70℃和80℃下分别重复作了8次试验，设两种温度下断裂强度分别为X，Y，测得数据（单位：kg）为：

22

问是否可以认为70℃下的断裂强度与80℃下的断裂强x?20.4,SX?6.2,y?19.4,SY?5.8；

度有相同的方差？（??0.05,F0.025(7.7)?4.99）

八、（本题8分）设总体X听从[?,2?]上的匀称分布，证明：??为参数?的无偏估量。

一、填空题（本题15分，每题3分）

?2

1、?(n)；2、；3、Z?；4、z?z0.05；5、2。

n2

2

二、选择题（本题15分，每题3分）1、C；2、A；3、C；4、A；5、B.

三、（本题14分）解：

(1)似然函数为L(xi,?)??i?1n

1

?

xi

?

?，x

i

?0

ndlnLn1

???(?xi)2?0，d???i?1

lnL??nln??

1

?

?xi，令

i?1

n

1n

???。得???xi?，即?的极大似然估量量为?ni?1

???990，而P{X?x}?1?P{X?x}?1?(1?e（2）由于E(X)??，得?

所以P{X?1290}的矩估量值为e

四、（本题14分）解：

?1290

990

?

x

?

)，

?e

?

4333

。

??111?z?,?z??。?(ln0.5?ln1.25?ln0.8?ln2)?0,（1）?的置信区间为??4n2n2???

故总体均值?的置信区间为(-0.98,0.98)。（2）E(X)?E(eY)??

??1

2

??ye??

f(y)dy?

12?

?

??y?

ee??

(y??)2

2

dy

2??1

??

?e2??

?

12?

?

[y?(??1)]2

2

dy

?e

由于e

??12

；

??

12

是?的单调增加函数，所以E(X)?e的置信区间为(e

??

11

?2，e2

)，

即为(e?0.48，e1.48)。

五、（本题10分）?的单侧置信下限为???

?

n

z?，?=408.44，

即以0.95的置信水平断定水泥构件的抗压强度至少为408.44（kg/cm2）。

六、（本题14分）

解：(1)已知?=0.01，当?=0.10时，取Z?=1.645，

2

于是?

?

n

Z?=2.125±1.645×

2

0.01

=2.125±0.004，4

故总体均值?的90%的置信区间为(2.121,2.129)。(2)未知?，当?=0.10时，取t0.05(15)=1.7531，于是?

s0.1711

×1.7531=2.125±0.0075t?(n－1)=2.125±

n2

故总体均值?的90%的置信区间为(2.1175,2.1325)。

七、（本题10分）

2222

解：选用F检验。作出假设H0:?1，H1:?1。??2??2

对?=0.05，F?(n1–1,n2–1)=F0.025(7.7)=4.99，

2

F

1?

?

2

(n1–1，n2–1)=F0.975(7.7)=

11

?=0.20。

F0.025(7.7)4.99

于是,拒绝域为F≥4.99或F≤0.20。经计算，得F=

2SX2SY

的观测值为：F?

6.2

?1.069没有落在拒绝域内，故接受H0。5.8

八、证明题（本题8分）证明：∵总体X听从[?,2?]上的匀称分布，

?1??x?2?2???3?

∴f(x)=??∴E（x）==?

22其它??0

n

2221

而E(??)=E(X)=E(X)=E(?Xi)=?，故??为?的无偏估量。

33ni?13

中南高校考试试卷（时间：100分钟闭卷）

《数理统计I》(补考)24学时1.5学分2022级(第三学期)总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。

i?1n

22

2、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。

3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为

2

1??的置信区间为(X?

2

?

n

?,X?

?

n

?)，则?的值为________。

4、X~N(?,?2),?已知，在??0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0，拒绝域是____。5、设X~U[0,?],??0未知，则未知参数?的矩估量量是______。X1,?,Xn来自X的样本，二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设随机变量X和Y都听从标准正态分布，则（

（A）X?Y听从正态分布

2

2

2

）

2

（B）X?Y听从?2布（D）X/Y都听从F分布

2

2

（C）X和Y都听从?2分布

2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（）。（A）（C）

X?1X?1

~N(0,1)（B）~N(0,1)13X?1X?1

~N(0,1)（D）~N(0,1)93、设X听从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，

X

2

为样本均值，Sn

1n

??(Xi?)2，则下列说法错误的是（）。ni?1

2

（B）Sn是D(X)的矩估量

（A）是p的矩估量

（C）2是E(X2)的矩估量

（D）(1?)是D(X)的矩估量

4、设总体X~N(?,4),由