广东省东莞市东莞市七校联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含答案）

第第页广东省东莞市东莞市七校联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含答案）2022-2023学年第二学期七校联考

高一数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑，

1．已知复数，则的虚部为（）

A．B．1C．D．

2．在中，已知，则角的度数为（）

A．B．C．或D．

3．把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A．B．C．2D．

4．在中，为的中点，为边上的点，且，则（）

A．B．C．D．

5．是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

6．记的内角的对边分别为，则边上的高为（）

A．B．C．D．

7．在等腰三角形中，，若为边上的动点，则（）

A．2B．4C．8D．0

8．如图1，在三棱锥中，平面，则点到平面的距离为（）

A．1B．C．D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（），

A．

B．

C．若，则复数对应的点位于第四象限

D．已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆

10．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）

A．若，则B．若，则为一定是等腰三角形

C．D．若为锐角三角形，则

11．如图2，在长方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）

A．四点共面B．平面平面

C．直线与所成角的为D．平面

12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A．若，则的形状为等边三角形

B．若，则点三点共线

C．若点是的重心，则

D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．

13．已知向量满足，且的夹角为，则**．

14．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则**．（写出满足条件的一个复数即可）

15．已知矩形的边长分别为1，，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为**．

16．揭阳楼是揭阳市的标志性建筑．如图3，在揭阳楼旁地面上共线的三点处测得楼檐上某点的仰角分别为，，，且米，点在地面的投影为，则**米．

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．

17．（本小题满分10分）

已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数．

（1）求实数的值；

（2）若，求复数的共轭复数．

18．（本小题满分12分）

设为平面内的四点，且．

（1）若，求点的坐标；

（2）设向量，若向量与平行，求实数的值．

19．（本小题满分12分）

已知分别为三个内角的对边，且

（1）求；

（2）若时，的面积为，求．

20．（本小题满分12分）

如图4，在三棱柱中，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若侧面为菱形，求证：平面．

21．（本小题满分12分）

记的内角的对边分别为，向量，，且．

（1）求角；

（2）若，求周长的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图5，四棱锥的底面是矩形，为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面。

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，使得？请说明你的理由．

2022-2023学年第二学期七校联考

高一数学参考答案

一、单项选择题

题号12345678

答案ACCCDDCA

二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ADACDBCACD

三、填空题

13．14．（答案不唯一）15．16．

四、解答题

17．解：（1）因为，所以

∵是纯虚数，，解得

又∵，∴．

（2）∵，∴

∴的共轭复数：

18．解：（1）设，

因为，所以

则，解得，所以．

（2）∵，，

∴，

因为与平行，所以

解得．

19．解：（1）在中，由及正弦定理得：，

而，因此，

又，所以

（2）由（1）知，，由的面积为得：，

即

由余弦定理，得：

即行，联立解得．

20．解：（1）如图1，连接交于，连接，

由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，

又D是的中点，故在中，

且面，面，

所以平面．

（2）因为，，又，，面，

所以平面，

又面，则，

由侧面为菱形，故，

又，，面，

故平面．

21．解：（1）因为向量，且，

所以，

即

即，即，

因为，所以．

（2）解法1：由余弦定理得，

化简得：

∵，∴，

所以，

解得：．当且仅当吋，等号成立，

又三角形的两边之和大于第三边，所以，

所以周长的取值范围为．

解法2：∵，∴，

∴

又∵，∴，且，

则

当，即时，取最大值，此时有最大值，

又三角形的两边之和大于第三边，所以，

所以周长的取值范围为．

22．解：（1）∵地面是矩形，∴，

因为平面平面，平面平面，

又平面，所以平面，

又平面，所以，

因为侧面是正二角形，为侧棱的中点，所以，

因为平面

所以平面

（2）当时，有：，以下说明理由：

设的中点为，如图