2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第七章　概率综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第七章概率

综合拔IWJ练

五年高考练

考点1求古典概型的概率

1.（2020全国1,4）设O为正方形ABCD的中心，在OAB,C,D中任取3点，则取

到的3点共线的概率为（）

A12C1

5-B.

2.（20195-课标全2-国口,4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若

从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A.|B.|C.|D.|

3.（2019课标全国m,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列厕两位女同学相

邻的概率是（）

111

AC

6-B.4-3-

考点2随机事件概率的性质及应用

4.（2020全国口,3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完

成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难，许多志

愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天

的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿

者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

考点3用频率估计概率

5.（2019课标全国11,14）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁

列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车

次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值

为.

6.（2020全国1,17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位:件）按标准分

为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别

收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该

厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工

成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了

100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

Q）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润以平均利润为依据,

厂家应选哪个分厂承接加工业务？

考点4随机事件的独立性

7.（2021全国新高考1,8）有6个相同的球,分别标有数字123,4,5,6,从中有放回

地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件”第一次取出的球的数字是1",乙表示

事件”第二次取出的球的数字是2",丙表示事件”两次取出的球的数字之和是

8",丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7",则（）

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立

8.（2020天津,13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为苏虫假定两球是否落入

盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一

个落入盒子的概率为.

9.（2019课标全国1,15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得

四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为

"主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为06客场取胜的概率为05且各

场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

10.（2020全国1,19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜

者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,

剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为去

⑴求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

11.（2019课标全国U,18）n分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成

10:10平后，每球交换发球权,先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位

同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为05乙发球时甲得分的概率为

04各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球

该局比赛结束.

⑴求P（X=2）;

⑵求事件"X=4且甲获胜"的概率.

三年模拟练

应用实践

1.（2022浙江八校联盟联考）甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件人="甲成

功破译"，事件B="乙成功破译"，则表示"密码被成功破译”的事件为（）

A.AUBB.ADBC.Zu万DNCI万

2.（2022河南南阳第一中学校月考）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两

个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A."恰好有一个黑球"与"恰好有两个黑球"

B."至少有一个黑球"与"至少有一个红球"

C."至少有一个黑球"与"都是黑球"

D."至少有一个黑球"与"都是红球"

3.（2022江西鹰潭贵溪一中月考）哥德巴赫猜想告诉我们每个大于2的偶数都可

以表示为两个素数的和.例如：10=5+5=3+7（其中3+7与7+3算同一种方法），在

大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两

种方法表示为两个素数的和的概率为（）

/\-DB。C-D-

,5“5

4.（2022河南焦作联考）某射击运动员在一次训练中射了10支箭,命中的环数分

别为7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.设这组数据的平均数为口标准差为s,则从这10支箭中

任选一支，其命中的环数在区间&s坛+s］内的概率为（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

5.（2022黑龙江大庆实验中学月考）已知函数f（x）=?ax2+bx+L其中

ae{2,3,4},be{l,2,3mf（x）中随机抽取1个厕它在（-*口上是减函数的概率

为（）

6.（2022安徽六安霍邱一中月考）在新冠肺炎疫情防控期间,从国外来的人必须进

行必要的隔离与核酸检测.甲、乙、丙3人从国外某高风险地区回来,3人核酸检

测是阳性的概率分别为:篇且每个人的检测结果相互独立厕这3人中恰好有2

543

人核酸检测是阳性的概率是.

7.（2020江苏丹阳高级中学段测）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小

球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每

次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是看则小球落入A袋中的概率

为.

8.（2020北京石景山期末）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后

即可抽奖才由奖方法是:从装有个红球和个白球的甲箱与装有个红

2AI,A21B2

球a"2和2个白球出力2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红

球则中奖,否则不中奖.

Q）用球的标号列出所有可能的摸球结果；

（2）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率，你

认为正确吗?请说明理由.

9.（2020重庆渝中期中）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出

不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对

它们的"平均送达时间"进行统计彳导到如图所示的频率分布直方图（其中图①表

示的是使用A款软件的100个商家"平均送达时间”的频率分布直方图，图②表

示的是使用B款软件的100个商家"平均送达时间”的频率分布直方图）.

010203040506070时间（分钟）

图①

Q）已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的"平均送达时间"

为18分钟.现从使用A款订餐软件的100个商家中"平均送达时间"不超过20

分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；

（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的"平均送达时间”的众数及平均数；

（3）如果以"平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中

选择一款订餐，你会选择哪款？

10.（2020广东佛山期末）市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小

学在丙地，三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路，只在图示的道

路中往返，每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独

立.李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道

路A,B,D上、下班时间出现拥堵的概率都是靠道路C,E上、下班时间出现拥堵

的概率都悬，只要遇到拥堵上学和上班就会迟到.

Q）求李先生的小孩按时到校的概率；

（2）李先生是否有七成把握能够按时上班？

本章达标检测见增分测评卷P15全书综合测评见增分测评卷P18

答案与分层梯度式解析

第七章概率

综合拔IWJ练

五年高考练

1.A从O,A,B,C,D中任取3点的情况有

(0AB),(0,A,C),(0,A,D),(0,B,C),(0,B,D),(0,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D

)，共10种油图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(OBD)2种情况，所以所求概

率为看胃故选A.

W

A------%

2.13设测量过该指标的3只兔子分别为a,b,c,剩余2只分别为AB则从这5只

兔子中任取3只的所有取法有

(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(acA),(a,c,B),(aAB),(b,c,A),(b,c,B),(bAB),(cAB),共10

种，其中恰有2只测量过该指标的取法有

(a,b,A),(abB),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),共6种，所以恰有2只测量过该指标

的概率为4=|,故选B.

3.P设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,

所有可能的结果用树状图表示如下：

个

86

八A

B6A64B

—

——

——

1—I

4

6oD64no

共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种〃J(两位女同学相邻)=KW，故

选D.

4.0由题意得第二天订单不超过1600份的概率为1-0.05=0.95,故第一天积

压订单加上第二天的新订单不超过1600+500=2100份的概率为0.95,因为超

市本身能完成1200份订单的配货，所以需要志愿者完成的订单不超过2100-1

200=900份的概率为0.95,因为900+50=18,所以至少需要18名志愿者，故选

B.

5.答案0.98

解析设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为

0.98的事件为B,正点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有

「（对二前前=/（8）=肃前=#（。=盛晶三所以经停该站高铁列车所有车次

的平均正点率的估计值为0.97x14+0.98x1N+0.99x14=0.98.

6.解析（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A

级品的概率的估计值为荒=04

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为言=0.28.

⑵由数据知甲分厂加工出来的100姓产品利润的频数分布表为

利润（元）6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为%*铲4空=15（元）.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润（元）70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为9a^^=10(元).

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.

7.8依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结

B(l,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3

,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(

5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

其中p(甲)技=/(乙)=梦/(丙吊尸(丁r口

丁事件包含Q,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个基本事件.

丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个基本事件.

易知"甲、丙同时发生"的基本事件有。个，"丙、丁同时发生"的基本事件有

0个，"乙、丙同时发生"的基本事件为（6,2）,共1个，

・•.P（乙丙）$又P（乙）P（丙）二乔/白

...乙、丙不相互独立.

同理可知"甲、丁同时发生"的基本事件为（L6）,

“（甲丁）」又P（甲）P（丁）=沁/

・••P（甲丁）二P（甲）甲（丁）〃.•甲与丁相互独立，故选B

8.答案H

解析设"甲、乙两球都落入盒子"为事件A,

则P（A）W吗吟

设"甲、乙两球至少有一个落入盒子"为事件5

则P（B）=l-（i-0x（1-1）=1-1=|.

9.答案0.18

解析由题意知,比赛进行五场，且第五场主场甲队胜,前四场中有一场客场输时,

甲队以4:1获胜的概率是06x0.5x0.5x2=0.108;

当前四场中有一场主场输时，甲队以4:1获胜的概率是

0.4x0.6x2x0.52x0.6=0.072.

综上所述,甲队以4:1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.

10.解析⑴甲连胜四场的概率为高

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况:甲连胜四场的概率为吉乙连胜四场的概率为吉丙上

场后连胜三场的概率为也

所以需要进行第五场比赛的概率为lqq-A*

（3）丙最终获胜,有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为全

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空

结果有胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜三种情况，概率分别为卷

因此丙最终获胜的概率为计表+计广余

n.解析(1)X=2就是10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束厕这2个

球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5x0.4+(l-0.5)x(l-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个

球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.

因此所求概率为［0.5XQ-0.4)+Q-0.5)X0.4］X0.5X0.4=0.1.

三年模拟练

1.A"密码被成功破译"即甲、乙两人中至少有一人成功破译密码，即事件

AUB.故选A.

2.A”恰好有一个黑球"与"恰好有两个黑球"不能同时发生，但能同时不发

生，故A中的两个事件互斥而不对立.故选A.

易错警示

互斥事件不一定是对立事件，当且仅当两个互斥事件必有一个发生时，它们是

对立事件.

3.P在大于4且不超过16的偶数中

6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,M

中可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10,14,16.从大于4且不超过

16的偶数中，随机选取两个不同的偶数的所有庸况有

(6,8),(6,10),(6,12),(6,14),(6,16),(8,10),(8,12),(8,14),(8,16),(10,12),(10,14),(10,

16),(12,14),(12,16),(14,16),共15种.其中两个偶数都可以有两种方法表示为两

个素数的和的情况有(10,14),(10,16),(14,16)洪3种.故所求概率P4力故选D.

4.P由题设得"7+8+7+9+5：：+9+10+7+4=7,

22222222

s2=±x［(7-7)+(8-7)+(7-7)+(9-7)+(5-7)+(4-7)+(9-7)+(10-7)+(7-

7)2+(4-7)2］=4,所以$=2厕—=5尹5=9,又命中的环数在［5,9］内的有

7,8,7,9,5,9,7,共7个，

故命中的环数在区间Fs了+s］内的概率为看=0.7.

5.A由题意得样本空间包含的样本点有

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),^9个,若函数f(x)在(-8,-1］上

是减函数则*-L又a>0,b>0,所以aNb厕符合的样本点有

(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共8个,所以所求的概率为去

6•答案H

解析设甲、乙、丙3人核酸检测是阳性分别为事件A,B,C,则

P(A)=|,P(B)弓尸(C)q这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率

P=P(ABc)+P(ABC)+P(IBC)=|x|x(i-l)+|x(i-gx|+(i-|)x^xl=g.

7.答案3

解析记"小球落入A袋中"为事件A,"小球落入B袋中"为事件B,则

P(A)+P(B)=L小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或一直向右下落,可落入B袋,

则P(B)=(J+SW，

故P(A)=1-P(B)三.

8.解析(1)所有可能的摸球结果是

(Ai,ai),(Ai,a2),(Ai,bi