2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）（解析版）

2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.设复数z=iM为虚数单位），则z（z+l）=（）

A.-l+iB.1+;C.1-zD.-1-z

2.已知等腰梯形ABC。,现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体为（）

A.一个圆台、两个圆锥B.一个圆柱、两个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台

3.如图，已知靛=2而，用示，无表示而，则而等于（）

P

A.B.-1-OA-^OBC.OA-^OBD.-yOA-yOB

4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

5.已知a,B是两个不同的平面，I,m,"是三条不同的直线，下列条件中，可以得到小a

的是（）

A.Z_Lm,l_Ln,mca,几uaB.Z±m,m//a

C.a±p,/〃0D.l//m,m.La

6.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为等，弧长为211的扇形，则该圆锥的体积为（）

A.2（兀,B.2&兀C.近;-D.我冗

7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成

两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴

赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当

好的成绩.若将18拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为

（）

8.购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取

〃名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室

共200户，所占比例为《，二居室住户占如图2是用分层抽样的方法从所有被调查

36

的市民中，抽取10%组成一个样本，根据其满意度调查结果绘制成的统计图，则下列说

法正确的是（）

B.样本中三居室住户共抽取了25户

C.样本中对三居室满意的有15户

D.根据样本可估计对四居室满意的住户有70户

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据Xi,X2,…，Xn,由这组数据得到的新样本数据yi,>2,…，yn,其中y

=尤什/•（其中力=1,2,，f为非零常数），则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本方差相同

C.两组样本数据的样本中位数相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.设复数z的共轨复数为工i为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A.z+zER

B.zG是纯虚数

JTQJT

C.z=cos-^+isin>则团=1

bcb

D.若|z-i|=l,则|z|的最大值为2

11.从甲袋中摸出一个红球的概率是《，从乙袋中摸出一个红球的概率是《，从两袋各摸出

32

一个球，下列结论正确的是（)

A.2个球都是红球的概率为！

6

B.2个球不都是红球的概率为自

C.至少有1个红球的概率为暂

D.2个球中恰有1个红球的概率为£

12.如图，在正方体ABC。-481CLDI中，E是棱4S的中点，尸是线段4c（不含端点）

上的一个动点，那么在点尸的运动过程中，下列说法中正确的有（）

A.存在某一位置，使得直线PE和直线相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C.点4与点S到平面P8E的距离总相等

D.三棱锥Ci-P8E的体积不变

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以

下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（单位：℃）,

则该组数据的第80百分位数为.

14.已知向量1=（1,2），写出一个与向量7方向相反的向量：=.（用数字

作答）

15.某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分

配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人

只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为.

16.农历五月初五是中国的传统节日--端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，

故称“角黍”.同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸

片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的粽子

形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则

该球的体积的最大值为

ft](1)图⑵

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.“自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式.某

“自媒体”作者2020年度在“自媒体”平台A上发布了200条事实和新闻，现对其点击

量进行统计，如表格所示：

点击量(万次)[0,1](1,50](50,100](100,200]

条数201006020

(I)现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万

次的条数；

(II)为了鼓励作者，平台A在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：

点击量(万次)[0,1](1,50](50,100](100,200]

奖金(元)02005001000

若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数.

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=J§，2=30°.

(1)求sinC的值；

(2)丽=入标且NAOC=120°，求正实数人的值・

19.如图，在三棱柱4B1C1中，F为AC中点.

(1)求证：AS〃平面8PG.

(2)若此三棱柱为正三棱柱，且AiA=&A[C[,求/EBG的大小;

20.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学

生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间［40,

50),［50,60),…，［80,90),［90,100］,

(I)求频率分布直方图中a的值；

(II)估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；

(III)从评分在［40,60)的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50,60)的

概率.

21.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。为正方形，PAL底面ABC。，PA=AB=4,

E为PB的中点，尸为线段8c上的点，且8尸=‘8C.

(1)求证：平面AE/LL平面P8C；

(2)求点尸到平面PC。的距离.

22.某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计，某班有50

名同学，总分都在区间［600,700］内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得

到了如图所示的“频率分布”折线图.

(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级

的平均分；

(2)经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基

计划”入围资格.高校T的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学

都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A,B,C四个

等级，两科中至少有一科得到A+,且两科均不低于8,才能进入第二轮，第二轮得到“通

过”的同学将被高校T提前录取.

已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+,A,B,

C的概率分别为三，士，士；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+,A,

361212

B,C的概率分别为工，4-3；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+,则

免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+,则要参加面试，总分高于

690分的同学面试“通过”的概率为"I，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为

■I，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取.

5

若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”,且恰有2人成绩高于690分.求

①总分高于60分的某位同学没有进入第二轮的概率尸1；

②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率尸2.

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.设复数z=，0为虚数单位），贝UzG+i）=（）

A.-1+iB.1+zC.1-zD.-1-z

【分析】根据已知条件，结合共朝复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求

解.

解：'.'z=i,

,,z=-i,

z（z+l）=，（-i+1）=l+「

故选：B.

2.已知等腰梯形ABCZ）,现绕着它的较长底。所在的直线旋转一周,所得的几何体为（）

A.一个圆台、两个圆锥B,一个圆柱、两个圆锥

C,两个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台

【分析】先考虑两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成

的几何体，再考虑一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周形成的几何体，即可得到答

案.

解：等腰梯形的底8较长，绕其所在的直线旋转一周，

相当于两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成两个圆

锥，

还有一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱，

所以所得的几何体为一个圆柱、两个圆锥.

故选：B.

3.如图，已知屈=2而，用示，无表示而，则而等于（）

P

A

O

A.-^-OA^OBB.-yOA+yOBC.-^-QA+^OBD.-^-QA^'OB

【分析】利用向量的加法法则和平面向量基本定理可以求解.

解：：屈=2而，

.,...1.—•1/..、3.1.

•-0P=OB+BP=OB+yAB=OB+y（OB-0A）=yOB-yOA-

故选：C.

4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.

解：由题意，这批米内夹谷约为1534义居仁169石，

254

故选：B.

5.已知a,0是两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线，下列条件中，可以得到/J_a

的是（）

A.ZXm,l_Lnfmca,〃uaB.l_Lmfm//a

C.a±p,/〃0D.l//m,m_La

【分析】对于A,/与a相交、平行或/ua；对于氏/与a相交、平行或/ua；对于C,I

与a相交、平行或/ua；对于。，由线面垂直的判定定理得La.

解：由a,B是两个不同的平面，/,m,〃是三条不同的直线，知：

对于A,l_Ln,mca,几ua,贝!J/与a相交、平行或/ua,故A错误；

对于机，m//a,贝!!/与a相交、平行或/ua,故5错误；

对于Ca_L0,/〃0,则/与a相交、平行或/ua,故C错误；

对于O,l//m,m±a,则由线面垂直的判定定理得/_La,故。正确.

故选：D.

6.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为号，弧长为2Tt的扇形，则该圆锥的体积为（）

A.2料兀B.2&兀C.爽_nD.&冗

33

【分析】设圆锥的母线长为/,底面半径为广，由弧长公式求出/,利用弧长等于底面圆的

周长，求出r,由勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求解即可.

解：设圆锥的母线长为/,底面半径为厂，

由弧长公式可得2兀得二・1，解得/=3,

又2nr=2ir,解得r=1,

所以圆锥的高h=Vl2-r2=2近，

则该圆锥的体积为丫（xnx12x2历/*兀.

故选：A.

7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成

两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴

赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当

好的成绩.若将18拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为

（）

A.—B.—C.—D.—

172917

【分析】将18拆成两个正整数的和，所有的和式共有17个，利用列举法求出其中，事

件“所拆成的和式中，加数全部为质数”所包含的基本事件有4个，由此能求出拆成的

和式中，加数全部为质数的概率.

解：将18拆成两个正整数的和，所有的和式共有17个，

其中，事件“所拆成的和式中，加数全部为质数”所包含的基本事件有：

5+13、7+11、13+5、11+7,共4个，

因此所求概率为P哈.

故选：D.

8.购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取

w名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室

共200户，所占比例为《，二居室住户占如图2是用分层抽样的方法从所有被调查

的市民中，抽取10%组成一个样本，根据其满意度调查结果绘制成的统计图，则下列说

法正确的是（）

B.样本中三居室住户共抽取了25户

C.样本中对三居室满意的有15户

D.根据样本可估计对四居室满意的住户有70户

【分析】利用扇形统计图、条形统计图的性质，分别判断各选项即可.

解：对于4•••图1调查的所有市民中四居室共200户，

所占比例为4，•..市民共有600户，

..•用分层抽样的方法从所有被调查的市民中，抽取10%组成一个样本，

样本容量为〃=600X10%=60,故A错误；

对于8,样本中三居室住户共抽取了：600X(1-4-4)义10%=30户，故B错误；

36

对于C,样本中对三居室满意的有：600X(1----)X10%X50%=15户，故C正

36

确；

对于。，根据样本可估计对四居室满意的住户有：200X20%=40户，故。错误.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据XI,尤2,…，X”,由这组数据得到的新样本数据力，”，…，其中9

=xM(其中i=l,2,…，%，为非零常数)，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本方差相同

C.两组样本数据的样本中位数相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【分析】利用平均数、中位数、标准差和极差的定义直接判断即可.

解：样本数据xi,X2,­­­,xn,新样本数据yi,”，…，yn,其中yi=xi+f；

对于A,第一组数据的平均数为彳，则第二组数据的平均数为7+f,平均数不同；

对于3,第一组数据的方差为s2,则第二组数据的方差也是s2,方差相同；

对于C,第一组数据的中位数是x,则第二组数据的中位数是x+f,中位数不同；

对于D,第一组数据的极差为X,mx-Xmin,第二组数据的样本极差是（Xmax-。-（而加

-f）=Xmax~Xmin）极差相同.

故选：BD.

10.设复数z的共朝复数为工，为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A.z+zER

B.zG是纯虚数

IT9TT

C.若z=cos-^+isin，匚，贝1J|z|=l

D.若|z-i|=l,则|z|的最大值为2

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式和复数的几何意义，即

可求解.

解：设z—a+bi,a,beR,

则z=。-bi，z+z=2aCR，故A选项正确，

当z为实数，zG是实数，故B选项错误，

兀..3兀

右z=cosin-，

则|z|=Jcos2^~+si.n23}#1,故C选项错误,

V55

若|z-i|=l,设z=a+bi,a,ZJGR,

即。2+（b-1）2=1,则|z|表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2,故。选项正确.

故选：AD.

11.从甲袋中摸出一个红球的概率是《，从乙袋中摸出一个红球的概率是《，从两袋各摸出

32

一个球，下列结论正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为!

B.2个球不都是红球的概率为£

C.至少有1个红球的概率为日

D.2个球中恰有1个红球的概率为J

【分析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件4,从“乙袋中摸出一个红球”为事件4,

则P（Ai）=2,P（A2）=《，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.

解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件4,从“乙袋中摸出一个红球”为事件A2,

则P（A1）=—,P（人2）=—,

32

对于A选项，2个球都是红球为4欣2,其概率为二＞＜《=4，故A选项正确，

326

对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1-4

6

=?,故B选项错误，

对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为1-P匹）P忘）=故C

选项正确，

对于。选项，2个球中恰有1个红球的概率为故。选项正确.

32322

故选：ACD.

12.如图，在正方体ABC。-AIBCLDI中，E是棱4小的中点，尸是线段4C（不含端点）

上的一个动点，那么在点尸的运动过程中，下列说法中正确的有（）

B

A.存在某一位置，使得直线尸E和直线8所相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C.点Ai与点Bi到平面PBE的距离总相等

D.三棱锥Ci-P2E的体积不变

【分析】选项A,可证尸£与直线8无异面，从而可判定；选项8,连接即交4C于点

P,可证BC〃平面ADE,从而可判定选项&选项C,过点4与点21作平面P2E的垂

线，垂足分布为H,Hi,有△BiHE■丝△AiME,从而可得结论；选项D,Vf-PBE=Vp-C】EE，

SzkJBE为定值，结合AC〃平面所以「到平面CbBE的距离为定值，从而可得

结论.

解：选项A：P是线段4C（不含端点）上的一个动点，PEC平面A8Bi4=E,

而E钊Bi,由异面直线的判定定理可知PE与直线BBi异面，

所以不存在某一位置，使得直线PE和直线BBi相交，故选项A不正确；

选项&连接即交4c于点P,面APE即为面ADE,止匕时BC〃A。，

而平面AOE,A£）c®ADE,所以8c〃平面AOE,即8C〃平面AEP,故选项8正

确；

选项C：如图过点Ai与点Bi作平面PBE的垂线,垂足分布为H,Hi,有ABiHEgAAiHiE,

所以8H=4印，即点4与点Bi到平面尸8£的距离总相等，故选项C正确；

选项D：因为Vc.-PBE=Vp-C.EE，Sac^BE为定值，连接BC交于点尸，连接EF,

^AiC//EF,AiCU平面CiBE,EFu平面C12E,

所以4c〃平面CiBE,所以P到平面CiBE的距离为定值，

所以三棱锥G-P2E的体积不变，故选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以

下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（单位：℃）,

则该组数据的第80百分位数为366c.

【分析】先把6个数据按从小到大顺序排列，再计算并确定该组数据的第80百分位数.

解：由题意知，6个数据按从小到大顺序排列为：

36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7；

且6X80%=4.8,

所以该组数据的第80百分位数是第5个数，为36.6(℃).

故答案为：36.6℃.

14.已知向量i=(1,2)＞写出一个与向量：方向相反的向量1=(-2,-4).(用

数字作答)

【分析】直接利用相反向量的定义，求解即可.

解：当向量7=(-2,-4)时，财^=-2]

与向量彳方向相反的向量7=(-2,-4),

故答案为：(-2,-4).

15.某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分

配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人

只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为4.

~2~

【分析】甲、乙两人抢到的金额之和包含的基本事件有个数%=C：=6,利用列举法求

出甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元包含的基本事件有3个，由此能求出甲、乙二

人抢到的金额之和不低于8元的概率.

解：某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共

4份，

甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，

甲、乙两人抢到的金额之和包含的基本事件有个数m=C：=6,

甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元包含的基本事件有：

(3.5,4.75),(3.5,5.37),(4.75,5.37)，共3个，

甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率P=-=^-.

62

故答案为：

16.农历五月初五是中国的传统节日--端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，

故称“角黍”.同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图(1)的平行四边形形状的纸

片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子

形状的六面体，则该六面体的体积为返；若该六面体内有一球，则该球的体积的

—6―

最大值为一噜

ft](1)图(2)

【分析】该六面体由两个棱长为1的正四面体组合而成，故体积为正四面体体积的两倍；

由对称轴性知球心为正四面体底面三角形的外心，半径为外心到球面的距离.

作出图象，结合平面几何的知识求解.

解：由题意知，该六面体由两个棱长为1的正四面体组合而成.

如图，在正四面体P-A8C中，O是底面A8C的外心，则尸O,平面A8C,

所以P03三彳=口^^~

所以Vp-ABCV'®T'l'亨）'除‘0''故六面体的体积为平■•

当球与六面体的各个侧面相切时，体积最大.

由对称轴性知球心为O,取中点。，连接PD过。点作OEJ_PD垂足为E,则。£

为球的半径.

因为PD坐，0D=噜，所以OE气詈普.

所以球的体积为9兀•（返）34^-冗.

39729

故答案为：返；蛎兀.

6729

p

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.“自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式.某

“自媒体”作者2020年度在“自媒体”平台A上发布了200条事实和新闻，现对其点击

量进行统计，如表格所示：

点击量（万次）[0,1](1,50](50,100](100,200]

条数201006020

（I）现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万

次的条数；

（II）为了鼓励作者，平台A在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：

点击量（万次）[0,1](1,50](50,100](100,200]

奖金（元）02005001000

若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数.

【分析】（I）利用抽取的比例相同，列出比例关系，求解即可；

(II)分别计算出各奖金对应的条数，然后由平均数计算公式求解即可.

解：(I)设被抽取的点击量(万次)在[0,1],(1,50],(50,100],(100,200]

的事实和新闻的条数分别为如n,p,q,

'201006020200

所以相=1,n—5,p—3,q—1,

则点击量超过50万次的条数为4条；

(II)由题意知，根据2020年度的频率估计得出：

奖金(元)02005001000

条数(元)21062

贝U200X10+500X6+1000X2=7000,

所以估计该作者在2021年5月可以得到的奖金为7000元.

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知。=4,cfB，8=30°.

(1)求sinC的值；

(2)而=入标且/4£^=120。，求正实数人的值.

【分析】(1)由已知在△ABC中利用由余弦定理可求b的值，进而根据正弦定理即可

sinC的值.

(2)由题意可求为直角三角形，可求2。的值，进而即可求解入的值.

解：(1)：。=4,c=«,8=30°,

.,.在△ABC中，由余弦定理知，抉=°2+02-2℃COSB=16+3-2X4XX^^=7,

CSinB

由正弦定理知，sinC=

b14

(2)VZA£)C=120°,

：.ZADB=60°,

又8=30°,

...△A3。为直角三角形，BD=-^-=2-

COSD

又痴=人皮，BC=4,

19.如图，在三棱柱ABC-中，F为AC中点.

(1)求证：ABi〃平面BFCi.

（2）若此三棱柱为正三棱柱，且AiA=&A[C[,求/EBG的大小;

【分析】（1）取4cl中点E,连接BE,EF,AE,推导出四边形EEBBi是平行四边形,

进一步得到平面ABiE〃平面BFCi,再利用面面平行的性质，证明ABi〃平面BFCi即可.

（2）设AiCi=«,则AAi=2,分别求出BEBCi,CiF,利用余弦定理能求出/EBG

的大小.

解：（1）证明：取4G中点E,连接3E,EF,AE,

:在三棱柱中，E,尸是中点，则EF2AAi2BB],

四边形EFBBi是平行四边形，/〃8F,

平面BFCi,BFu平面BFCi,

〃平面BFCi,

:E,尸是中点，ECi^AF,.•.四边形APC1E是平行四边形，.”石〃。/,

平面BPCi,CiBu平面8尸Ci,BFCi,

:BiEDAE=E,平面A8iE〃平面BFCi,

：A8iU平面ABiE,.•.481〃平面BFCi.

(2)设AiG=&,则44i=2,

在正△ABC中，BF

在RtZXBCG中，BC=a，CC1=2,

.,.BCj=7274=76)-1•C1F=^P4=1-V2-

BF^BC^-FC,2

cosZFBCi=------------i----------L_

2-BF-BCj2号正工

，ZFBCi的大小为?

20.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学

生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间［40,

50),［50,60),…，［80,90),［90,100］.

(I)求频率分布直方图中a的值；

(II)估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；

(III)从评分在［40,60)的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50,60)的

概率.

(II)估计频率分布直方图计算学生评分在［70,100］中的频率即可；

(III)计算出评分在［40,50),［50,60］中的人数，再对每位同学进行标记，计算即可

解决此问题.

解：(I)因为(0.004+O+0.018+0.022X2+0.028)X10=l,

所以a=0.006.

(II)由所给频率分布直方图知，50名受访学生评分不低于70的频率为

(0.028+0.022+0.018)X10=0.68,

所以该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为0.68.

（Ill）受访学生评分在［50,60）的有50X0.006X10=3（人），即为4,A2,A3;

受访学生评分在［40,50）的有：50X0.004X10=2（人），即为9,

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是：

{Ai,Ai},{Ai,A3},{Ai,B\］,{Ai,&},{A2,A3},

{A2,Bi},{A2,Bi},{A3,Bi},{A3,Bi},{Bi,82}.

又因为所抽取2人的评分都在［50,60）的结果有3种，即{Ai,AI}9{AI,A3},{Ai,A3］,

故所求的概率为p*.

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，ABCD,PA=AB=4,

E为依的中点，尸为线段BC上的点，且2尸=32心

（1）求证：平面A所，平面P8C；

（2）求点尸到平面PCD的距离

【分析】（1）证明BC_L平面PA2得出A&L8C,结合AE_LPB得出AE_L平面P8C,故

而平面AEF_L平面PBC；

（2）取尸。中点G,证明AGL平面PCDA3〃平面PC。，则点2到平面PC。的距离

为AG的长，利用斯=38C,即可求得点F到平面PC。的距离.

【解答】(1)证明：：PA_L平面ABC。，8Cu平面ABCZ),

：.PA±BC,XBCLAB,PAHAB^A,

：.BC±^PAB,又AEu面PAB,：.BC±AE,

'：PA^AB,E为尸3中点，J.AE1PB,又BCCPB=B,