2021年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考地区专用）4月卷（解析版）

绝密★启用前

备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷•4月卷

第一模拟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.(2019・河北衡水市・衡水中学高三月考(理))已知集合4={刈/一%-240},B={X|1<2X<8,XGZ),

则()

A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]D.{0,1,2)

【答案】D

【分析】

解•元二次不等式求得A,解指数不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得A08.

【详解】

因为集合4={幻％2一兀-240}={尤|-14》42},

511<2A<8,xez|=(x10<x<3,xGZ)={0,1,2,3).

所以403={0,1,2},

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.

2.（2019•河北衡水市•衡水中学高三月考（理））已知a,〃eR,i是虚数单位，若（l+i）（l-〃），贝I」

\a+bi\=（）

A.72B.2C.y/5D.5

【答案】C

【分析】

根据复数相等的充要条件，构造关于。力的方程组，解得的值，进而可得答案.

【详解】

因为（1+力（1-初）=l+b+（l-b）i=a,

（

结合a/eR,所以有《l+b,=八a，解得a=,2,

1-^=0[b=l

所以=|2+zj=V22+12=s/5，

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.

3.（2020•河北衡水市•衡水中学高三一模（理））为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规

定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六

大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）

数学抽象

1

逻辑推理

“…甲

一乙

数学运算数学建模

直双想象

A.甲的数据分析素养优于乙B.乙的数据分析素养优于数学建模素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数学运算最强

【答案】D

【分析】

根据雷达图逐个判断每个选项即可.

【详解】

A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

B：乙的数据分析优于数学建模素养；故B正确；

C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确：

D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查对雷达图的理解，属于基础题.

4.（2020.河北衡水市.衡水中学高三一模（理））若aG乃，cos2a=（,则冒出+（）

【答案】B

【分析】

利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得tana的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】

.,.,-.cos2«-sin?al-tan2a7,3

由题nJ得zrcos2a=cos2a-sin2-a=----------；—=-----；一=一,解得tan«=±-.

cos«+sin"a1+tan-a254

sinasina3

=-tana=—

因此,sin卡+a-cosa4.

（2）4

I2

故选：B.

【点睛】

本题考查利用弦化切求值，同时也考查了二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于中

等题.

nrrfirr

5.（2018•河北保定市•定州一中高三月考）已知数列｛“"｝满足0=1,42=2,“"+2=（1+cos2'—）a+sin2—,

2n2

则该数列的前10项和为（）

A.2101B.1067

C.1012D.2012

【答案】B

【解析】

当〃为奇数时，原+2=斯+1,是苜项为1,公差为1的等差数列；

当〃为偶数时，如+2=2%+1,是首项为2,公比为2的等比数列.

所以S18=〃1+。？+…+。17+〃18=(。1+。3+…+。17)+(。2+〃4+…+〃18)

=[1X9+9（9-1-X1]+2（1-2^9+36+1022=1067.选B.

21-2

点睛：

777rH7T

（1）对于COS2—和Sin2丁中的〃要分奇数和偶数两种情况进行讨论，然后求得相应的三角函数值；

22

（2）求数列的和时，首先要分析数列通项的特点，再根据通项的特点选择合适的求和方法，在本题中由于

数列的奇数项和偶数项分别成等差、等比数列，故求和时选用分组求和的方法.

6.（2020•天津市第八中学高三月考）曲线y=d+l在点（一1,0）处的切线方程为（）

A.3x+y+3=0B.3x-y-3=0C.3x-y=0D.3x-y+3=0

【答案】D

【详解】

试题分析:V=3/,,y=3X（―1）2=3.

由导数的几何意义可得所求切线的斜率k=3,

所以所求切线方程为y=3（x+1）,即3x—y+3=。.故D正确.

考点：导数的几何意义.

7.（2020•张家口市宣化第一中学高三月考）剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，

它能给人以视觉上的艺术享受.在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树

叶状图形的圆弧均相同.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

Ac3GR.65/3„373n6G

71兀兀兀

【答案】B

【分析】

利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.

【详解】

设圆的半径为r,如图所示，

B

12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为

cI?1？.兀v32

3己影=一兀厂----广・sm—=一兀厂-----r・

弓形62364

24s邓241—r

二所求的概率为P-「形646百

S圆=二------5--------2=4

万厂zr

故选B.

【点睛】

本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.

x

（、ex<0贝函数/《/(的

8.（2019•全国高三专题练习）己知函数〃x）={x〉0%(x)=/[/(x)]-x)-l

零点个数为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

令f(X)=t可得fa)=4-t+i.

解得x()=0,k=l.

—=k

设直线y=kx+l与y=lnx相切,切点为(xi,yi),则<西

烟+1=In%

解得x尸e?,k=±.

e

二直线y=[t+l与f(t)的图象有4个交点，

e

不妨设4个交点横坐标为tl,t2,t3,t4,且tl<t2Vt3Vt4,

由图象可知ti<o,t2=0,0<t3<l,U=e2.

由f(x)的函数图象可知f(x)=t[无解，f(x)=t2有1解，f(x)=t3有3解，f(x)=t4有2解.

，F（x）有6个零点.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2020•沙坪坝区•重庆一中高三月考）设〃?、〃是两条不同的直线，夕、£是两个不同的平面，下列命题

中蕾考的是（）

A.若mua,〃u,则a〃£B.若mue,〃-，则〃_La

C.若〃小a,n?a,则mD.若a"B，mua,nuB,则加//〃

【答案】ABD

【分析】

根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知

选项的正误.

【详解】

A：m<za,n<z/7,mlln,a、夕不一定平行，错误.

B：m（z«,n±m,〃不一定垂直于a,错误.

n

m

a

C：由线面垂直的性质：a,n?a,则必有机_1_〃，正确.

D：allB，mua,nu。，〃?、〃不•定平行，错误.

故选：ABD

10.(2020•南京市第十四中学高一期中)下列根式、分数指数幕的互化中，不正确的是()

A--«=(-B.x3—

3I------

/\-4\(、31

C.—=41—(x,y^O)D.-yi

\y)K"

【答案】ABD

【分

利用根式、分数指数幕的运算法则即可得出.

【详解】

!--1

A.=_卓(%0),因此不正确；B.x3--^=r(x0).因此不正确：

因此正确；D.护=|)j,因此不正确.

故选：ABD.

11.(2021•江苏南通市•海门市第一中学高二期末)已知曲线。的方程-....匕=l(ZeR),则下列结

k2-\3-k')

论正确的是()

A.当％=4时.，曲线C为椭圆，其焦距为8

B.当左=2时，曲线C为双曲线，其离心率为2叵

3

c.存在实数女，使得曲线。为焦点在y轴上的双曲线

D.存在实数攵，使得曲线c为焦点在y轴上的椭圆

【答案】BD

【分析】

对于AB,根据给定的火的值可得曲线方程，根据其形式可判断曲线的类型并可求其余的几何量，故可判断

它们的正误.对于CD,根据曲线的类型可求参数的取值范围，从而可判断它们的正误.

【详解】

当％=4时，曲线C的方程工+丁=1,故曲线C为椭圆，其焦距为2jm=2jiW，

故A错误.

当氏=2时，曲线C的方程三一^=1,故曲线。为双曲线,

3-

此时a=6力=1,所以c=2,故离心率为e=2Y5,故B正确.

3

若曲线c为焦点在y轴上的双曲线，则《,,无解，故c错误.

3-k<0

/一1〉0

曲线C为焦点在y轴上的椭圆，贝人3<0,故左>3,故D正确.

%2一1〉%—3

故选：BD.

12.(2020•福建漳州市•高三其他模拟)已知函数/(x)=eEsinx,则下列结论正确的是()

A./(x)是周期为2%的奇函数上为增函数

JT

C-。)在(-1。肛1。")内有21个极值点D-(x)“在0,-上恒成立的充要条件是41

【答案】BD

【分析】

根据周期函数的定义判定选项A错误;根据导航的符号判断选项B正确;根据导函数零点判定选项C错误;

根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.

【详解】

•••/(X)的定义域为R,/(—x)=eTsin(—x)=—/(x),•,"(X)是奇函数，

但是/(%+2万)=e*2Hsin(x+2乃)=产2Hsjnx*y(x),

・・・/(x)不是周期为2〃的函数，故选项A错误：

TT

当xw(----,0)时，f(x)=e~xsinx,

4

f\x)-e-A(cosx-sinx)>0,f(x)单调递增,

当x£(0,—)St,f(x)=exsinx,

ff(x)=eA(sinx+cosx)>0,/(幻单调递增，

n3乃713乃

且fM在(一々,」)连续，故/(x)在(_2,二)单调递增，

4444

故选项B正确；

当xw[0,10%)时，/'(X)=exsinx,f'(x)=ex(sinx+cosx),

TT

令/'(x)=0得，x=--+kK{k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

4

当xe(-10万,0)时,/(x)-e-'sinx,f'(x)=e~x(cosx-sinx),

令f'(x)=0得，x=工+k7i(k=-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10),

4

因此，/(x)在(TO肛1()球内有20个极值点，故选项C错误；

当x=0时:/(x)=0>0=ox,则QER.

业/八%□卜,exsinx

IXG(0,-]时，/(x)>or<=>«<-------

4x

exsinx^X(xsinx+xcosx-sinx)

设g(x)g'(x)

x

令〃(x)=xsinx+xcosx-sinx,XG(0,—]

4

hf(x)=sinx+x(cosx-sinx)>0,h(x)单调递增,

h(x)>h(0)=0,

.•.g'(x)>0,g(x)在(O,1]单调递增，

又由洛必达法则知：

山d/、exsinx^r(sinx+cosx)i

当x-0时，g(x)=----------->-------------------Lo=t]

X1

：.a<\,故答案D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导

数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2020•广东佛山市•佛山一中高二月考)已知随机变量X,F满足X口5,；),y=2X+3,。(丫)=

【答案*

【分析】

利用公式直接计算即可.

【详解】

1715

因为,所以0(X)=5x±x2=」

\'4416

所以。(y)=4x"=",填”.

')1644

【点睛】

•般地，如果XEI5(力,p),Y=aX+b,那么£*(X)=q?,£)(X)=^(l—p),

E(y)=np+/?,D(X)=a27ip(l-p).

14.（2021•安徽高三月考（理））若+的展开式常数项为84,则〃=

（XyJX

【答案】9

【分析】

求出二项展开式的通项，令x的指数为零，可得出方程组,进而可解得〃的值.

【详解】

卜+十）的展开式通项为加=。＞卜3）"£一=c〉/母,

C；=84

9

由题意可得《3〃一一％=0,解得〃=9.

2

neN*

故答案为：9.

x+y＞4

15.（2020•全国高三专题练习（理））已知实数X,＞满足约束条件＜x—yNO,则J（x+iy+y2的最小值

x＜4

为.

【答案】岳

【分析】

画出可行域，则J（x+l）2+y2表示可行域内的点（x,y）到定点P（-l,0）的距离.数形结合可求距离的最小

值.

【详解】

画出可行域，如图所示

则J（x+l）2+y2表示可行域内的点（％,y）到定点尸（一1,0）的距离.

x*+7V=04'得1；二；设M（2,2）.

解方程组〈

由图可知,（7（x+l）2+y2）=画=7（2+1）2+22=V13.

\/min

故答案为：V13.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，属于基础题.

16.（2020.沙坪坝区.重庆一中高三月考）设向量方不平行，向量；1日+5与0+2石平行，则实数4=

【答案1

【解析】

A=h1

因为向量然+B与。+25平行’所以热+5=左（万+25），贝叫=2%所以石子

考点：向量共线.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）（2020.重庆高三月考）口48。的内角4,B,C的对边分别为“，/，，c.已知

3

cos2C=2cos（A+8）-].

（1）求C；

（2）若口48。的周长为15,且a,b,c成等差数列，求DABC的面积.

【答案】（D竺；（2）巨叵.

34

【分析】

（1）由诱导公式和二倍角公式求得cosC后可得角C；

（2）由等差数列和周长求得力，把。用c表示，然后由余弦定理可求得。，a,从而求得三角形面积.

【详解】

一33

（1）由题意cos2c=2cos（A+1?）—,所以cos2C=—2cosC—,

22

911

Xcos2C=2cos2C—1»整理得2cos~C+2COSCH—=0,解得cosC=—,

22

27r

因为0<C<»,所以C=—.

3

2/7=a+c,b=5,

（2）由题意可得《则〈

6z+Z?+c=15,a=10—c.

22

根据余弦定理可得/+/_=_ab，则(10—c)2+5-C=-5(10-c),

解得c=7,a=10—c=3,故口相。的面积5=_1。儿皿。=5回

24

【点睛】

关键点点睛：本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理，三角形面积公式，等差数列的性质，解三角形

中出现两角和时，常常用诱导公式化为第三个角，便于继续化简变形.而三角形的面积常常采用

S='absinC这类公式计算.

2

18.(本小题12分)(2020•广东佛山市•佛山一中高二期中)在直三棱柱ABC-AiBiCi中，A8=5,AC=3,

3C=4,点。是线段AB上的动点.

(1)当点。是A8的中点时，求证：AG〃平面BCD；

(2)线段A8上是否存在点£>,使得平面A5BiAi_L平面CD21?若存在，试求出AO的长度；若不存在,

请说明理由.

9

【答案】(I)证明见解析；(2)

【分析】

(1)在口ABG中，利用中位线定理得。E〃AG,再利用线面平行的判定定理即证；

(2)作CO_LA8时，即证8,平面A88A,证得平面平面,再利用直角三角形中的射影

定理求得4。即可.

【详解】

(I)证明：如图，连接8G,交BC于点E,连接OE,

A

则点E是3G的中点，又点。是A8的中点，由中位线定理得OE〃AG,.

因为OEu平面81cD,ACiC平面818,所以AG〃平面SCD.

（2）当C£>_LA8时，平面，平面CQ8.

证明：因为A4-L平面A8C,Su平面A8C,

所以A4」CD又CZ）_LAB,AA\（yAB=A,所以。，平面AB84,

因为COu平面CDBi,所以平面4BBi4_L平面CDBi,

故点。满足CCAB时，平面ABS4,平面COS.

因为AB=5,AC=3,8c=4,所以AG+BOMA",

AC29

故AABC是以角C为直角的三角形，又CDL4B,所以利用自:角三.角形中的射影定理得AD=CJ==.

AB5

19.（本小题12分）（2020•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三期中（文））设等差数列｛4｝的公差为d前〃

项和为5“，，等比数列也｝的公比为心已知々=4，b2=2,q=d,$7=49.

⑴求数列｛4｝,｛<｝的通项公式;

（2）当d>l时，记%=力，求数列匕｝的前"项和

【答案】⑴％=2〃-1,么=犷或%=]+*勿=66,；⑵Tn=6一竽

【分析】

(1)由已知求得公差和首项即可；

T13572/1_11_1352/1_32拉―1公,山上什八,

(2)%=1+/+齐+/+•••+2，i，也/=/+牙■+/+•••+2，i+2"，②利用错位相减法

①-②可得

【详解】

2qd=1-6(q=]

解：⑴%=7/=7(4+3)49'则〃4%=2'

.3

a=6

}117(1Y-1

当,1时，CL=-〃H----,〃=6•一

d二一33〃⑶

3

4=1

当《公2时，%=2〃-1,4=2"T；

2九—1

(2)当d>l时，由(1)可得，a„=2n-l,〃=2'T,则%=3丁

.„,352«—1

••石,=1+.+齐+…+2"~'

2〃-32n-l

・H------:—I-------

22'22232〃-12〃

22222/7-12〃+3

A-7；,=1++7++3----------

2"72?-2^-2〃

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题.

20.(本小题12分)(2020.广东汕头市.金山中学高三三模(文))已知抛物线£：J/=22小上一点(m,2)到

其准线的距离为2.

(1)求抛物线E的方程：

(2)如图A,B,C为抛物线E上三个点，0(8,0),若四边形ABCD为菱形，求四边形A8CD的面积.

【答案】⑴y2=4x；(2)32或16石

【分析】

(1)利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于小〃的方程组求解即可.

(2)设出A,C点的坐标及直线AC,利用设而不求和韦达定理求出AC中点的坐标，然后求出B点

的坐标，利用B在抛物线上以及直线BD和直线AC的斜率互为负倒数列出方程组求出B点坐标，然后求

出AC的长度，即可求出面积.

【详解】

4=2mp

(1)由已知可得|p,

m-\—=2

I2

消去加得：p2-4p+4=0,p=2

抛物线E的方程为y2=4x

⑵设A(X],y),C(x2,y2),菱形ABQ9的中心加(天,为)

当ACJLx轴,则3在原点,M（4,0）,

|Aq=8.|即=8,菱形的面积S=今4。卜忸。|=32,

解法一：当AC与X轴不垂直时，设直线AC方程：x=ty+m,则直线80的斜率为T

y2=4x,y+必=4/

-消去工得：y2-4fy-4m=0\

x=ty+mj%=-4m

_y；+豆=包虫正3匹=4产+2/〃

%+%2=

4

2

x0=2t+m,%=2f,:用为30的中点

...B（4『+2加—8,4。，点5在抛物线上,

口.直线8。的斜率为一九

16r=4(4r+2/«-8)

为解得：m=4»t=±1

一；-------二T,(rw0)

〔2/+机-8'7

B(4,±4),\BD\=4y/2

|AC|=Jl+/瓦-%|=J1+/x/16/2+16m=>/2-s/16+64=4\/10

||AC|fi£)||=16V5,综上，s=32或166

S

0

解法二：设B（/,2a）,直线BD的斜率为后（后#0"=3-

Cl—8

。~+8,直线AC的斜率为-1,

M-----,Q

2k

可以设直线AC：x—土土§=—々（y—a）

2

<"消去X得：/+^ky-^ka-2a2-16=0

丁=4x

X+%=2%=2a

-Ak=2a,k=—

2

解方程：一9=丁4（。70），解得。=±2，&=土1，接下去同上.

2。一8

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，计算量较大，考查计算能力，属于难题.

21.（本小题12分）（2021•湖南长沙市•长郡中学高三二模）某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取

44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩日）,绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点4B.经调查得知，A考生由于重

感冒导致物理考试发挥失常，8考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据

424242

后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：£匹=4641,»=3108,2>泌=350350,

i=li=li=l

—5）2=13814.5,—=5250,其中H,»分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=l,

4242

2,42,y与x的相关系数r=0.82.

（1）若不剔除A,B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为ro.试判断小

与/•的大小关系，并说明理由；

(2)求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01),并估计如果B考生加了这次物理考试(已知8考生

的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)；

(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩《服从正态分布N(〃,cr2),以剔除后的物理成绩作

为样本，用样本平均数》作为〃的估计值，用样本方差s2作为〃的估计值.试求该地区5000名考生中，物

理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z的数学期望.

£(毛-尤)(％-田

附：①回归方程y=a+Bx中：b——一-,a=y—bx

/=1

②若彳~N(〃,cr?),则P(/J—b<g<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<J<〃+2cr)«0.9544

③«H.2

【答案】(1)roVr,理由详见解析；(2)y=0.50x+18.64，81分；(3)3413.

【分析】

(1)结合散点图，可得出结论；

(2)利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x=125,即可算出答案；

(3)算出了，52,得到。〜N(74,125),石all.2,所以P(63.8<^<85.2)=

P(74-11.2<^<74+11.2)«0.6826,因为Z~5(5000,0.6826),即可算出期望.

【详解】

(1)ro<r.

理由如下：由图可知，y与4成正相关关系，

①异常点A,B会降低变量之间的线性相关程度.

②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小.

③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大.

④42个数据点更贴近其回归直线/.

⑤44个数据点与其回归直线更离散.

(2)由题中数据可得:

_142_42

x=^Z%=ll05y=Zx=74，

4,i=li=l

4242__

所以ZG-一元)(＞，-=350350—42x110.5x74=6916,

/=!/=1

42£(七一亍)(必一了)

6916

乂因为工(看一可2=13814.5,所以5=上--------------»0.501,

，=1£(%-方)213814.5

i=l

。=》一反=74—0.501x110.5*18.64，所以y=0.50x+18.64，

将x=125代入，得y=0-50x125+18.64=62.5+18.64«81,

所以估计B同学的物理成绩约为81分.