2020年中考数学考点提分二十五推理能力提升（解析版）

2020年中考数学考点提分专题二十五推理能力提升（解析版）

（时间：90分钟满分120分）

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（2019•山西太原五中初三月考）如图，在AABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE〃BC交AC于E,则下

列结论不正确的是（）

CE1

A.BC=3DEB.c,——c.△ADE〜AABCD.SADE=TABC

BACAA3

2.（2019・上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是（

A.两个菱形B.两个等边三角形C.两个矩形D.两个直角三角形

3.（2019•陕西中考模拟）如图，在ABC中，点D,E分别为AB,AC边上的点，且。E//BC,CD、BE

相较于点。，连接A。并延长交。E于点G,交BC边于点F,则下列结论中一定正确的是（）

AGAEODAEAGAC

B.-----=------D.

ABECGFBDOCACAFEC

4.（2019•哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,AE^BC于点E,

,12,2448

A.5B.—C.—D.—

555

5.（2019•福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和含45。角的三角板

的一条直角边重合，则N1的度数为（

0O

A.75°B.60°D.30°

6.（2019•宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形ABCD中，ZDAB=90°.AD//BC,BC=-AD,

2

AC与BD交于点E,AC1BD,贝!ItanNBAC的值是（

旦

7.（2019•浙江初三）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2w，E为BC边上一点，BC=3BE,将矩形ABC。

沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的点处，P,Q分别是AB,AC上的动点，则PE+PQ的

最小值为（）

A.6

8.（2019•山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中NACB=NDEC=90。，NA-45。，ZD=30",斜边AB=6,

DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15。得到△DiCEi（如图乙），此时AB与CDi交于点。，则线段ADi

的长度为（）

B

图甲图乙E\

A.3亚B.5C.4D.V31

9.（2020•山东初二期末）如图，在A48C中，点M为8C的中点，AO平分NBAC,且AD于点。，

延长8。交AC于点N.若AB=4,。〃=1,则AC的长为（）

10.（2019•重庆西南大学附中初三月考）如图，在四边形A8CD中，AD//BC,NA=90。，/ADC=120。，连

接BD,把AABD沿BD翻折，得到AA，BD,连接AC,若AB=3,ZABD=60°,则点D到直线AC的距离为

A.y/jB.—spjC.—y/lD.—V7

V1477

11.（2019•南通市八一中学初二月考）如图，在菱形A8CD中，ZABC=60°,AB=1,E为BC的中点，则对

角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）

.也。出6„1

A.—B.—C.—D.—

4322

12.（2019•重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG绕大正方形A8CD的顶点A顺时针旋转一定的角度a（其

中0WaS90。），连接BG、DE相交于点。，再连接A。、BE、DG.王凯同学在探究该图形的变化时，提出了

四个结论：

①BG=OE；②8G_LDE；（3）ZDOA=ZGOA；@ShADG=ShABE,其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.（2019•河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上折叠,

使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似，贝1JAD=

14.（2019・银川外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE〃BC,BF平分/ABC,交DE的延长线于

点F,若AD=1,BD=2,BC=4,贝！|EF=.

EF

15.（2019•河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60",则AE的长为

16.（2019•陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在AABC的边BC上，顶点G、F分别在边

AB、AC±.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是.

GN___\F

BDEC

17.（2019・湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点。，点。在A3

CF

上，ZBAC=ZDEC=30\AC与DE交于点F,连接AE,若30=1,AD=5f则==.

18.（2019•山东初三）如图，点C为RtAACB与RtADCE的公共点，ZACB=ZDCE=90°,连接AD、BE,

EG

过点C作CF1AD于点F,延长FC交BE于点G,若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则0的值为

BG

三、解答题（每小题6分，共12分）

19.（2019•四川中考真题）如图，线段AC、相交于点=,BE=CE.求证：NB=NC.

AD

20.（2019•江苏初二期末）如图，在小BCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点。的一条直线分别交

AD,BC于点E,F.求证：AE=CF.

四、解答题（每小题8分，共16分）

21.(2019•黑龙江初三)如图，矩形A8C。中，48=6,BC=4,过对角线BD中点。的直线分别交AB,CD边

于点E,F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.

22.(2019•全国初三课时练习)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE_LBC,垂足为E,连接DE,F

为线段DE上一点，且NAFE=NB

(1)求证：AADFSADEC；

(2)若AB=8,AD=6jLAF=473»求AE的长.

五、解答题(每小题9分，共18分)

23.(2019•山东初三期中)如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,A8上，AGJ_BC于点G,

AFJ_DE于点F,NEAF=NGAC.

(1)求证：△ADEs△ABC；

(2)若AD=3,48=5,求——的值.

AG

24.(2019•湖州市第五中学初三)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边

作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G,

(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE的中点，求FG的长.

②若DG=GF,求BC的长.

(2)已知BC=9,是否存在点D,使得ADFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说

明理由.

六、解答题(每小题10分，共20分)

的三角形.

(2)如图(2),将NMDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点

A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.

(3)在图(2)中，若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的,时，求线段EF的长.

4

26.(2019•江苏初三期中)如图，在AAO8中，NAOB为直角，OA=6,06=8,半径为2的动圆圆心Q从点

。出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1

个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)以P为圆心，PA长为半径的(DP与AB、OA

的另一个交点分别为C、D,连结CD、QC.

(1)当t为何值时，点Q与点D重合？

(2)当。Q经过点A时，求。P被OB截得的弦长.

(3)若。P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.

2020年中考数学考点提分专题二十五推理能力提升（解析版）

（时间：90分钟满分120分）

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（2019•山西太原五中初三月考）如图，在AABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE〃BC交AC于E,则下

列结论不正确的是（）

D.

B

BDCE1

~BA~~CAC.AADE-AABCD.S./SAABC

【答案】D

【解析】

DEAD1

解：：BD=2AD,，AB=3AD,.DE//BC,♦♦------=-------=一；.BC=3DE,A结论正确;

BCAB3

BDCE

：DE〃BC,------------,B结论正确;

BACA

VDE/7BC,.'△ADE〜△ABC,C结论正确;

:DE〃BC,AB=3AD,.".SDE=-SBC.D结论错误,

AA9AA

故选D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质,掌握相关性质定理是本题的解题关键.

2.（2019•上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是（)

A.两个菱形B.两个等边三角形C.两个矩形D.两个直角三角形

【答案】B

【解析】

解：•.•等边三角形的对应角相等，对应边的比相等,

.••两个等边三角形♦定是相似形,

又•.•直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，

二两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似多边形的识别.判定两个图形相似的依据是；对应边成比例，对应角相等，两个条件必须

同时具备.

3.（2019•陕西中考模拟）如图，在A8C中，点D,E分别为AB,AC边上的点，ADE//BC,CD、BE

相较于点。，连接A。并延长交DE于点G,交BC边于点F,则下列结论中一定正确的是（)

ADAEAGAEOPAEAGAC

\------=-------B------=-------

ABEC'GFBDOC-AC~AF~~EC

【答案】C

【解析】

解：A.VDE//BC,

ADAE

*___________，故不正确;

'AB~AC

B.'：DE//BC,

.AG_AE

，故不正确;

~GF~~EC

C.­：DEIIBC.

：.ADEsABC,DEO^CBO,

DEAEDEOP

'BC~AC~BC~~OC'

OPAE

故正确；

"~OC~~\C

D.'：DEIIBC,

AGAE_.&

----=，故不正确;

AFAC

故选C.

【点睛】

本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键.

4.（2019•哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,AE_L8c于点E,

则AE的长是（）

BEC

122448

A.5B.—D.—

5y5

【答案】C

【解析】

•四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm,

A0=C0=3cm,B0=D0=4cm,NBOC=90。，

•*-BC=742+32=5(cm),

/.AExBC=BOxAC

故5AE=24,

24

解得：AE=y-.

故选：C.

【点睛】

此题考查菱形的性质，解题关键在于结合勾股定理得出BC的长

5.（2019•福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和含45。角的三角板

的一条直角边重合，则N1的度数为（

C.45°D.30°

【答案】A

【解析】

解:由题意可得：/2=60。,/5=45。,

N2=60°,

oo

・・・Z3=180-90°-60=30°/

，Z4=30°z

Z1=Z4+Z5=30o+45o=75°.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它

不相邻的两个内角的和.

6.（2019•宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形A8CD中,ZDAB=90°，AD//BC,BC=-AD,

2

AC与BD交于点E,ACVBD,贝!JtanN3AC的值是（)

B夜1

A.c3D.

4423

【答案】c

【解析】

VAD//BC,ZDAB=90°.

/•ZABC=1800-ZDAB=90°，ABAC+NEAD=90°，

•••AC1BD,

•••NAEO=90°，

二ZADB+ZEAD^90°•

，ZBAC=NADB,

：.7ABCKDAB,

ABBC

：.一=一,

DAAB

•：BC=-AD,

2

.*AD=2BC,

AB2=BCxAD=BCx2BC=2BC2>

AB=y/2BC^

在RtAABC中，tanABAC=——=下—=—：

AB叵BC2

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解宜角三

角形，证明:角形相似是解题的关键.

7.（2019•浙江初三）如图，矩形ABCD中，对角线AC=27LE为BC边上一点，BC=3BE,将矩形A8CD

沿AE所在的直线折叠，点8恰好落在对角线AC上的点B，处，P,Q分别是A8,AC上的动点，则PE+PQ的

最小值为（）

,D

BEc

A.73B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】

,/BC=3BE,

二EC=2BE,

•••折叠，

/.BE=B'E,ZABC=ZAB'E=90°,NBAE二=ZEAC,

B'E1

・sinNACB=------二一,

EC2

/.ZACB=30°,

在RSABC中，AC=26,/ACB=30。，

；.AB=6，BC=&AB=3,ZBAC=60°,

...NBAE=NEAC=30°,

如图

作点E关于48的对称点F,连接AE',PE',

；PE+PQ=PE'+PQ,

...当Q,P,F三点共线，且E'Q_L4:时，

PE+PQ的值最小，

VBC=3,BC=3BE,

：.8E=1,

E两点关于AB对称，

：.BE'=BE=1,NEA8=NE'48=30°,且N8AC=60°,

NFAC=90°,

即PE+PQ的最小值为AF的值，

'：ZBAE'=30",BF=1,AB1CB,

：.AF=2,

：.PE+PQ的最小值为2.

故选：B.

【点睛】

此题考查折叠的性质，利用三角函数值求角度，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最

短的性质，轴对称的性质.

8.（2019•山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中/ACB=NDEC=90。，NA-45。，ND=30。，斜边AB=6,

DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15。得到ADiCEi（如图乙），此时AB与CD1交于点O,则线段AD1

的长度为（）

BB

图甲图乙Ei

A.3亚B.5C.4D.V31

【答案】B

【解析】

由题意易知：ZCAB=45°,ZACD=30°,

若旋转角度为15。，则NACO=3（T+15°=45。.

二ZAOC=1800-ZACO-ZCAO=90".

在等腰RtAABC中，AB=6,则AC=BC=34.

同理可求得：AO=OC=3.

在R3AOD：1.中，OA=3,ODi=CDi-OC=4,

由勾股定理得：ADi=5.故选B.

9.（2020•山东初二期末）如图，在A4BC中，点M为的中点，AO平分NBAC,且A。于点。，

延长BO交AC于点N.若A3=4,DM=1,则AC的长为（）

【答案】B

【解析】

解：平分N3AC,且8。LAD

AABAD=ANAD,AADB=NADN

在ZkADB和AADN中，

/BAD=NNAD

<AD=AD

NADB=NADN

/.△ADB^AADN(ASA)

；.BD=DN,AN=AB=4,

•••点M为BC的中点，

；.NC=2DM=2,

，AC=AN+NC=6,

故选B.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三

边的一半.

10.(2019•重庆西南大学附中初三月考)如图，在四边形A8CD中，AD//BC,NA=90。，Z4DC=120",连

接BD,把“8D沿8D翻折，得至！UAB。，连接AC,若AB=3,NA8D=60。，则点D到直线A七的距离为

()

A'

A.5/7B.—C.—D.—y/1

N1477

【答案】C

【解析】

过点D作DE_LAC于E,过A作AF_LCD于F,如图所示：

'：AD//BC,

；.NADB=NDBC,ZADC+ZBCD=180°,NBCD=180°-120°=60°,

■:NA8D=60°,

：.ZADB=30°,

：.BD=2AB=6,AD=6AB=35ZBDC=ZADC-ZADB=120°-30°=90°,NDBC=30。,

，8=tanND8c•8D=tan30°x6=走X6=25

3

由折叠的性质得：NA'D8=NAD8=30。，AD=AD=3百，

，ZA'DC^120°-30°-30。=60。，

'：A'F±CD,

，/DAF=30°,

13A/3r9

ADF=—A'D=^—,A'F=J3DF=-,

222

存

.•.AC=JA/2+c尸2=

'：A4'CD的面积=，A'CXDE=LCDXAF,

22

2&39s,

A'CV21-7

即D到直线AC的距离为2互:

7

故选：C.

A'

【点睛】

此题考查折叠的性质，三角函数，勾股定理，直角三角形的30°角所对的直角边等于斜边的一半.

11.（2019•南通市八一中学初二月考）如图，在菱形ABCD中，NA8C=60。，48=1,E为BC的中点，则对

角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）

【答案】C

【解析】

解：：四边形ABC。为菱形,

C关于8D对称，

.,.连AE交8。于P,

则PE+PC=PE+AP=AE,

根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值.

8c=60。，AB=BC

二△ABC为等边三角形，

又•.•8E=CE=4BC,

2

：.AEYBC,

2

，AE=A/AB2-BE2=与­

故选：C.

【点睛】

本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键.

12.（2019•重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度a（其

中0出上90。），连接BG、DE相交于点O,再连接AO、BE、DG.王凯同学在探究该图形的变化时，提出了

四个结论：

①BG=DE；②8G_LDE；③NDOA=/GOA；@SAADG=SAABE,其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

'：ZDAB=ZEAG=90°,

，N£ME=N8AG,

又，；AD=AB,AG=AE,

:./\DAE出4BAG(S45),

：.BG=DE,ZADE^ZABG,

故①符合题意，

如图1,设点DE与AB交于点P,

VZADE=ZABG,ZDPA=ZBPO,

，N£MP=N8OP=90°,

：.BGLDE,

故②符合题意，

如图1,过点A作AM_LDE,ANLBG,

•；4DAE出4BAG,

SACWE=5A8AG，

11

:.—DExAM=-xBGxAN,

22

又•：DE=BG,

：.AM=AN,h.AMIDE,AN±BG,

，A。平分NDOG,

二ZAOD^ZAOG,

故③符合题意，

如图2,过点G作GH_LAD交DA的延长线于点H,过点E作EQ_LAD交DA的延长线于点Q,

：.ZEAQ+ZAEQ=90°,ZEAQ+ZGAQ=90",

：.ZAEQ=ZGAQ,

又；AE=AG,ZEQA=ZAHG=90",

AAEQ^AGAH(AAS)

，AQ=GH,

11

二-ADxGH^-ABxAQ,

22

SAADG=S&ABE，

故④符合题意,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题

的关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.（2019•河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上折叠,

使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似，贝！|AD=

【答案】亚士！

2

【解析】

沿AE将AABE向上折叠，使8点落在AD上的F点,

...四边形A8EF是正方形，

V/AB=1,

设八。二x,则FO=x-l,FE=1,

四边形EFDC与矩形ABCD相似，

.EFAD

••,

FDAB

1x

x-11

解得刈=上至M=拽（负值舍去），

22

经检验X产应1是原方程的解.

2

【点睛】

本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

14.（2019•银川外国语实验学校初三期中）如图，在AABC中，DE〃BC,BF平分NABC,交DE的延长线于

点F,若AD=1,BD=2,BC=4,贝！］EF=.

【解析】

DE//BC,

：.ZF=ZFBC,

平分NABC,

：.ZDBF=ZFBC,

；.NF=NDBF,

DB=DFf

*：DE//BC,

ADDE口“1DE

..----------=----,乜|，------=----

AD+DBBC1+24

,4

解得：。£二§，

•；DF=DB=2,

42

：.EF=DF-DE=2--=-,

33

故答案为I".

3

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE〃8C可得出△ADES/^ABC.

15.（2019•河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,NADE=60。，则AE的长为

【答案】7

【解析】

「△ABC是等边三角形，.,.ZB=ZC=60°,AB=BC.

，CD=BC—BD=9—3=6,；NBAD+/ADB=120°.

♦；NADE=60°,.".ZADB+ZEDC=120°.AZDAB=ZEDC.

XVZB=ZC=60°,.,.△ABD^ADCE,

.ABDC96

即1=-^-nCE=2.

"BD-CE3CE

AE=AC-CE=9—2=7.

16.（2019•陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在AABC的边BC上，顶点G、F分别在边

AB、AC上.如果BC=4,AABC的面积是6,那么这个正方形的边长是

【答案】—

【解析】

作AH_LBC于H,交GF于M,如图,

,.•△ABC的面积是6,

-BC«AH=6,

2

2x6

，AH=--------=3,

4

设正方形DEFG的边长为X,则GF=x,MH=x,AM=3-x,

VGF/7BC,

/.△AGF^AABC,

GFAM,x3—x

—=——，即一=——解得x=亍,

BCAH43

I?

即正方形DEFG的边长为一,

7

故答案为—.

7

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.

17.（2019•湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点。，点。在

CF

上，ZBAC=ZDEC=30\AC与DE交于点F,连接AE,若8。=1,AD=5,则工=.

【解析】

解：如图，过点。作CM于点M,过点E作ENJ.AC于点N,

二AB=BD+AD=6,

•.•在中，ZBAC=3(f,ZB=90°-ZR4C=60°,

BC=、AB=3,AC=抠BC=36，

2

在Rt\BCA4Rt\DCE中，

,/N84C=N£>£C=30°，

tanNBAC=tan/DEC,

.BCDC

"~AC~~EC'

ZBCA=ZDCE=90°.

ZBCA-ZDCA=NDCE-ZDCA,

Z.ZBCD=ZACE,

：.\BCD^^ACE,

.。.BCBD

••Z.CAE=Z.B=60，­•——=——»

ACAE

。。。31

AZDAE=ZDAC+ZCAE=30+60=90，~/==—

3V3AE

•••AE=6,

在RtMDE中，

DE=y/AD2+AE2=6+（何=2币,

在RfADCE中，ZD£C=30，

AZEDC=60.DC=LDE=E,

2

在RtkDCM中，

6八个向

MC=—DC=------，

22

在RtMEN中，

yfi3

NE=—AE=—，

22

/MFC=4NFE,NFMC=NFNE=90,

\MFCs^NFE,

V21

.CF_MC_V21

"~EF~NE3

2

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线

构造相似三角形，求出对应线段的比.

18.（2019•山东初三）如图，点C为RtAACB与RtADCE的公共点，ZACB=ZDCE=90°,连接AD、BE,

EG

过点C作CF±AD于点F,延长FC交BE于点G,若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则力；的值为

BG

AH

3

【答案】-

4

【解析】

如图，过E作EH±GFTH,过B作BP±GFTP,则NEHG=NBPG=90°,

又；NEGH=NBGP,

.,.△EHG^ABPG,

.EGEH

VCF1AD,

AZDFC=ZAFC=90",

AZDFC=ZCHF,ZAFC=ZCPB,又；NACB=/DCE=90°,

AZCDF=ZECH,ZFAC=ZPCB,

.,.△DCF^-ACEH,AACF^ACBP,

.EHCEBPBCt

"CF-DC'CF-C4-'

3

，EH=—CF,BP=CF,

4

•EH3

•.二f

BP4

.EG3

••—，

BG4

3

故答案为—■

4

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例

进行推导是解题的关键.

三、解答题（每小题6分，共12分）

19.（2019•四川中考真题）如图，线段AC、BD相交于点E,AE=DE,3E=CE.求证：NB=NC.

【答案】详见解析

【解析】

证明：在AAEB和ADEC中,

AE=DE

<ZAEB=ZDEC

BE=CE

.".△AEB^ADEC

故N8=NC.

【点睛】

本题考查了全等三角形中角边角的判定，轴对称型全等三角形的模型，掌握即可解题.

20.（2019•江苏初二期末）如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的一条直线分别交

AD,BC于点E,F.求证：AE=CF.

【答案】证明见解析.

【解析】

V°ABCD的对角线AC,BD交于点0,

.".AO=CO,AD〃BC,

AZEAC=ZFCO,

ZEAO=NFCO

在AAOE和ZkCOF中（AO^OC,

NAOE=ZCOF

.,.△AOE^ACOF（ASA）,

；.AE=CF.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

四、解答题（每小题8分，共16分）

21.（2019•黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，48=6,BC=4,过对角线BD中点。的直线分别交AB,CD边

于点E,F.

（1）求证：四边形8EDF是平行四边形;

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.

D

AE

【答案】(1)证明见解析；(2)

3

【解析】

(1)证明：•.•四边形ABCD是矩形，。是BD的中点，

ZA=90",AD=BC=4,AB〃DC,OB=OD,

/.ZOBE=ZODF,

在ABOE和ADOF中，

NOBE=NODF

<OB=OD

ZBOE=ZDOF

/.△BOE^ADOF(ASA),

EO=FO,

•••四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，BD1EF,

设BE=x,贝I」DE=x,AE=6-x,

在R3ADE中，DE2=AD?+AE2,

.\X2=42+(6-X)2,

13

解得：x=—,

,•,BD=7AD2+AB2=2屈,

：.0B=—BD=713，

VBD1EF,

AEO^^BE2-OB~=,

.,.EF=2EO=^1.

3

点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的

性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

22.(2019•全国初三课时练习)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEJ_BC,垂足为E,连接DE,F

为线段DE上一点，且/AFE=NB

（2）若AB=8,AD=6jLAF=4石，求AE的长.

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

解：（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AD〃BC

AZC+ZB=180",ZADF=ZDEC

VZAFD+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

/.ZAFD=ZC

在AADF与ADEC中，VZAFD=ZC,ZADF=ZDEC,

/.△ADF^ADEC

（2）二•四边形ABCD是平行四边形，

；.CD=AB=8.

由（1）知△ADFS/XDEC,

.ADAF

••二,

DECD

.ADCD6^x8..

••DE=------------=--------r=—=12

AF473

在Rt^ADE中，由勾股定理得：AE=VDE2-AD2=J122-（673）2=6

五、解答题(每小题9分，共18分)

23.(2019•山东初三期中)如图，在锐角三角形A8C中，点D,E分别在边AC,A8上，AG,8c于点G,

AF_LDE于点F,NEAF=NGAC.

(1)求证：AADES^ABG

(2)若4D=3,48=5,求——的值.

AG

E

/I

-----------------——1^\

GC

3

【答案】(1)证明见解析；(2)y.

【解析】

(1)VAG±BC,AF±DE,

ZAFE=ZAGC=90",

VZEAF=ZGAC,

/.ZAED=ZACB,

；/EAD=NBAC,

/.△ADE^AABC,

(2)由(1)可知：AADEs/XABC,

.AD_AE

"AB-AC-5

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

AZEAF=ZGAC,

.,.△EAF^ACAG,

.AF_AE

•，府一就‘

*AF3

•■—

AG5

考点：相似三角形的判定

24.(2019•湖州市第五中学初三)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边

作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G,

(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE的中点，求FG的长.

②若DG=GF,求BC的长.

(2)已知BC=9,是否存在点D,使得ADFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说

明理由.

E

【答案】(1)①2石，②126；(2)等腰bDFG的腰长为4或20或84+4M^或二84+48巧理由

77

见解析.

【解析】

(1)①在正方形ACOE中，DG=GE=6,

在RtAAEG中，AG=A/A£2+EG2=6君，

EG//AC,

WCFsbGEF,

,FGEG

"~AF~~AC'

.FG_6_T

"~AF~n~2'

：.FG=-AG=2y/5,

3

②如图1中，

图1

正方形ACOE中，AE=ED,NAEF=NDEF=45。,

EF=EF,

AAEF三\DEF,

.-.Z1=Z2,设Nl=N2=x,

AE!IBC,

NB—ZX—x,

GF=GD,

N3=N2=x,

在AOB/中，Z3+ZF£>B+Zfi=180°,

.•.x+(x+90°)+x=180°,

解得x=30。，

NB=30°,

・•・在RtAABC中，BC=------=12V3.

tan30°

(2)在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=V122+92=15'

如图2中，

图2

当点。在线段BC上时，此时只有GE=GO,

DG//AC,

kBDGskBCA,

设8O=3x,则OG=4x,BG=5x,

GF=GD=4x,则AF=15-9x,

AE//CB,

AEAF

・•--------=----------f

BC