2022年广东省珠海市紫荆中学中考一模考试 数学 试题（学生版+解析版）

珠海市紫荆中学2022年中考第一次模拟考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.下列四个数：-3,-0.8,§，石中，绝对值最小的是（）

A.-3B.-0.8C.-D.

3

2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

"土BrrRcUbPD

3.我市四月份某一周每天最高气温（单位：℃）如下：20、21、22、22、24、25、27,则这组数据（最

高气温）的众数与中位数分别是（）

A.22,24B.24,24C.22,22D.25,22

4.下列运算正确的是（）

A.%3•%4=x12B.（一2%3）一=4%6C.(a-bY=a~-b2D.x2y4--=2xy

2x

5.如图，AC是。。的直径，BC是。。的切线，AB交。。于点。，若/ABC=65。，则NCOO的度数是

()

CB

A.65B.55°C.50°D.60°

3-4x>-l

6不等式组j1“2(x+2)的解集为()

A.-1<X<1B.x<lC.x>-1D.无解

7.关于x的一元二次方程(4+1)炉-2x+l=0有两个实数根，则上的取值范围是()

A.k>0B.左<0C.左<0且左。一1D.左40且左。一1

8.目前电影《长津湖》票房已突破57亿元.第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达8.22亿

元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x.则可列方程为()

A.4.1(1+x)=8.22B.4.1(1+x)』8.22

C.4.1+4.1(1+无)2=8.22D.4.1+4.1(1+x)+4.1(1+x)2=8.22

nh

9.二次函数〉=〃入2+法+。的图象如图所示，反比例函数y=——与正比例函数y=(2a+c)%在同一坐标系

X

10.在正方形ABC。中，A5=2,E是5c的中点，在3c延长线上取点尸使过点尸作尸

交ED于点M,交A3于点G,交CD于点、N,以下结论中：①tanNGRS=1；®NM=NC；③

2

=L④S四边形G8EM="+1.正确的个数是()

EG22

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11.因式分解：x2y-4y=.

12.已知圆锥的底面半径为2cm,侧面积为10?rcm2,则该圆锥的母线长为cm.

13若有|尤+y-5|+,冲1-2=0,贝!]3x+3y-4孙=.

14.如图，在4ACB中，/ACB=90。，点D为AB的中点，将4ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB

经过点D时得到△AiCBi.若AC=6,BC=8,则DBi的长为.

15.矩形ABCD中，AB=6,以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC

于F,若BF=6,则阴影部分的面积为.

k

16.如图，点A在反比例函数y=—（x<0）的图像上，过点A作AB_Lx轴于点B,C为x轴正半轴上一

3

点，连接AC交y轴于点£>,tanZACB=—,平分NCA8,SAABC=8,则％=

17.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作

©0,连接BD交。。于点E,则AE的最小值为.

三、解答题（本大题共3小题，共18分）

18.先化简，再求值：（-i———1其中。=行+2.

{a-2a'-4Ja'-4

19如图，ADUBE,AC平分/朋。，且交BE于点C.

（1）作石的角平分线交于点尸（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；

（2）根据（1）中作图，连接CF,求证：四边形ABCP是菱形.

21.“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品.王老师从全校20个班中

随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整统计图，其

中表示A班的扇形圆心角的度数为60°.

（1）王老师所调查的4个班共征集到作品件;在扇形计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为；

（2）补全条形统计图；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生.现要从获得一等奖

的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率.（要求用树状图或列

表法写出分析过程）.

作品（件）

四、解答题(本大题共3小题，共24分)

22.如图，E、P分别是正方形ABCD边A3、AD的中点，将AAB尸沿折叠，点A落在点。处，连接

尸。并延长，交于G点.

(1)求证：CE=BF-,

(2)若AB=4,求GF的值.

24.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙

两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼

每对进价多9元.

(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利

润y元.

①求出y与X之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

25.如图，一次函数y=x-2与反比例函数y=幺(x>0)的图象交点的横坐标是4,点PCm,n)在第一

x

象限内，过点尸作平行于X轴的直线，交一次函数图像于点过点P作平行于y轴的直线，交反比例函

数的图象于点N.

(1)求)的值;

(2)当机＜4,片2时，△PMV能否为等腰三角形，若能出尸点坐标，若不能，请说明理由;

(3)若且PM9N,结合函数的图象，直接写出机的取值范围.

五、解答题(本大题共2小题，共20分)

27.如图，以AABC的边AC上一点。为圆心，OC为半径的。。经过8点与AC交于。点，连已知

ZABD=ZC,tanC=-

(1)求证：为。。的切线;

求处;

(2)

CD

(3)设AM为NBAC的平分线，AM=，求的度数及。。的半径.

29.已知抛物线丁=_?+2比+/1-2。＜0)经过点(m,-4),交x轴于A,8两点(A在B左边)，交y轴

于C点对于任意实数n,不等式+2m+/—2N-4恒成立.

(1)抛物线解析式；

(2)在BC上方的抛物线对称轴上是否存在点D,使得NBOC=2NA4C,若有求出点D的坐标，若没有，

请说明理由；

(3)将抛物线沿x轴正方向平移一个单位，把得到图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，图的其余部

分保持不变，得到一个新的图象G,若直线广尤+6与新图象G有四个交点，求b的取值范围(直接写出结

果即可).

珠海市紫荆中学2022年中考第一次模拟考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1厂

1.下列四个数:-3,-0.8,君中，绝对值最小的是（）

1

B.-0.8C.一D.亚

3

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算出各数的绝对值，再比较大小即可.

【详解】解：1-31=3,

|-0.8|=0.8,

I鸿

lV5|=V5,

-<0.8<A,/5<3.

3

・•・绝对值最小的数是,.

3

故选：C.

【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，考核学生的计算能力，算出各数的绝对值是解题的关键.

2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

B.EE0D.

【答案】B

【解析】

【分析】找到从前面看所得到的图形即可.

【详解】解：从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有个1正方形，第3列有个2正方形,

故选B.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是指从前面看所得到的图形.

3.我市四月份某一周每天的最高气温（单位：。C）如下：20、21、22、22、24、25、27,则这组数据（最

高气温）的众数与中位数分别是（）

A.22,24B.24,24C.22,22D.25,22

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数，中位数的定义去整理数据即可

【详解】解：22出现了2次，出现的次数最多，

故众数是22；

把这组数据从小到大排列20、21、22、22、24、25、27,最中间的数是22,

则中位数是22；

故选：C.

【点睛】本题考查了众数，中位数，准确理解众数，中位数的定义是计算解题的关键.

4.下列运算正确的是（）

3412

A.x•%=%B.（-2巧一=4%6C.（0-6）2=。2_万2D.必产：~=2孙

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幕的乘法、积的乘方、完全平方公式、分式的除法法则逐项判断即可得.

【详解】A、_?.%4=%7,此项错误，不符题意；

B、（-2x3）2=4x6,此项正确，符合题意；

C、（a—与2=/—2"+〃，此项错误，不符题意；

D、x2y^^=2x3y,此项错误，不符题意；

2x

故选：B.

【点睛】本题考查了同底数累的乘法、积的乘方、完全平方公式、分式的除法，熟练掌握各运算法则是解

题关键.

5.如图，AC是。。的直径，BC是。。的切线，A3交。。于点。，若NABC=65。，则NCO。的度数是

()

A

A.65°B.55°C.50°D.60°

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据切线的性质得出ACL2C,求出/AB=90。，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出

ZA=ZADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可.

【详解】解：YBC切。。于C,

J.ACLBC,即NACB=90。，

ZABC=65°,

：.ZA=90°-ZABC=25°,

OA=OD,

：.ZADO=ZA=25°,

：./COO=/A+/AZ）O=50。，

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切

点的半径，②直角三角形的两锐角互余.

6.不等式组］—一2（»2）的解集为（）

A.-1<X<1B.x<lC.x>-1D.无解

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】分别解不等式组的每个不等式，即可求解集.

‘3—4x2—1①

【详解］解：一“小的，

x-l>-2（x+2）（2）

由①得烂1,

由②得龙-1,

不等式组的解集为-1姿1,

故选：A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

7.关于x的一元二次方程（4+1）/-2x+l=0有两个实数根，则上的取值范围是（）

A.k>0B.k<0C.左<0且左w—1D.左<0且左w—1

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】分析：根据一元二次方程依2+陵+。=0（。/0）根的判别式A=〃-4丝20,

进行计算即可.

详解：根据一元二次方程一元二次方程（左+1）Y—2x+1=0有两个实数根，

A=Z?2—4ac=4—4（^+1）>0,

解得：k<Q>

根据二次项系数上+1/0,可得：k^-1.

故选D.

点睛：考查一元二次方程依2+法+c=0（。w0）根的判别式△=廿—4ac，

当△=〃—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当△=〃—4欧=0时，方程有两个相等的实数根.

当/=〃—4ac<0时，方程没有实数根.

8.目前电影《长津湖》票房已突破57亿元.第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达8.22亿

元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x.则可列方程为()

A.4.1(1+x)=8.22B.4.1(1+x)2=8.22

C.4.1+4.1(1+无)2=8.22D,4.1+4.1(1+尤)+4.1(1+无)2=8.22

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】增长率设为x,根据第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达8.22亿元列出方程即可.

【详解】解：增长率设为x,则第二天的票房为4.1(l+x),第三天的票房为4.1。+%)2

由题意得：4.1+4.1(1+%)+4.1(1+^)2=8.22,

故选D.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键.

nh

9.二次函数y=ax2+6x+c图象如图所示，反比例函数y=—与正比例函数y=(2a+c)x在同一坐标系

内的大致图象是()

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定。＜0,再根据对称轴在了轴右，可确定。与6异号，然后

再根据对称轴可以确定2a+c<0,再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图

象所在象限，进而得到答案.

【详解】解：：抛物线开口向下，

2a2'

:・b=-。>0,

nh

•,.ab<0,反比例函数>=——在第二、四象限，

x

,当x=-1时，y<0,即a-b+c<0,

把6=-a代入得，2a+c<0,

.•.正比例函数>=(2a+c)x的图象经过原点，且在第二、四象限，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正比例函数和反比例函数图象与比例系数的关系，解题

关键是通过二次函数图象得出关于正比例函数和反比例函数比例系数的符号解决问题.

10.在正方形中，AB=2,E是的中点，在BC延长线上取点厂使所=即，过点F作/GLEZ)

交于点交A3于点G,交CD于点、N,以下结论中：①tan/GEB=L；②NM=NC；③

2

----=—；④S四边彩GBEM=+1.正确的个数是()

EG22

A.4个B.3个C.2个D.1个

【10题答案】

【答案】B

【解析】

分析】利用三角函数求得①正确；证明△OEC名△PEM(AAS)WDM=FC,再证△DAWgAFCN,得②

正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=\,CF=5-1,由三角函数，得④正确.

【详解】解：•••四边形ABC。是正方形，

・・・A8=3C=CD=A。,

・・・A5=2,点石是BC边的中点，

：.CE=1,

・.,ZDNM=ZFNC,

9：FG±DE,

：.ZDMN=90°,

：.ZDMN=NNC尸=90。，ZGFB=ZEDC,

EC1

tanNGFB=tanNEDC=-----=,①正确；

CD2

②•：/DMN=/NCF=90。,ZMND=ZFNC,

：./MDN=NCFN

■:/ECD=/EMF,EF=ED,ZMDN=ZCFN

:•△DEg^FEM(A4S)

；・EM=EC,

:・DM=FC,

ZMDN=ZCFN,ZMND=ZFNC,DM=FC,

:•△DMN"AFCN(A4S),

：.MN=NC,故②正确；

(3)VBE=EC,ME=EC,

:・BE=ME,

在放△GBE和放△GME中，BE=ME,GE=GE,

：.RtAGBE^RtAGME(HL),

：.ZBEG=ZMEG,

\9ME=EC,ZEMC=ZECM,

・.,ZEMC+ZECM=NBEG+/MEG,

：.ZGEB=ZMCE,

J.MC//GE,

.CM_CF

^~EG~~EF9

EF=DE=7EC2+CD2=V5，

CF=EF-EC=75-1,

.CM_CF_>/5-l_5-^5

故③错误;

"~EG~~EF~y/5~5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=y/5-1.

：.BF=y/5+1,

GB1

*.*tanF—tanZEDC----=—,

BF2

AGB=-BF=故④正确,

22

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方

法是解题的关键.

二、填空题(本大题共7小题，共28分)

11.因式分解：一4>=.

【11题答案】

【答案】y(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】先提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可

【详解】解：x2y-4y=y(1-4)=y(x-2)(尤+2).

故答案为：y(x-2)(x+2).

【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.

12.已知圆锥的底面半径为2cm,侧面积为IOTTCH?,则该圆锥的母线长为cm.

【12题答案】

【答案】5

【解析】

【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可.

【详解】设圆锥的母线长为Rem,

圆锥的底面周长=2兀义2=4兀，

nr1

则一X4TTXR=10K,

2

解得，R=5(cm)

故答案为5

【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,

理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

13.若有|x+y-5|+J孙-2=0,则3x+3y-4孙=.

【13题答案】

【答案】7

【解析】

【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得x+y=5,盯=2,再代入，即可求解.

【详解】解：'：\x+y-5\+^xy-2=0,

：.x+y-5=0,xy-2=0,

：.x+y=5,xy=2,

3x+3y-4孙=3（x+y）-4孙=3x5-4x2=7.

故答案为：7

【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的

关键.

14.如图，在4ACB中，/ACB=90。，点D为AB的中点，将4ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB

经过点D时得到AAiCBi.若AC=6,BC=8,则DBi的长为.

【14题答案】

【答案】3

【解析】

【分析】根据勾股定理可以得出AB的长度，从而得知CD的长度，再根据旋转的性质可知BC=B£,从而可

以得出答案.

【详解】：在4ACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=VBC2+AC2=A/62+82=10,

:点D为AB的中点,

/.CD=—AB=5,

2

VWAACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A£Bi.

.".CBi=BC=8,

.*.DBi=CB-CD=8-5=3,

故答案为3.

【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB

的长是解题的关键.

15.矩形ABCD中，AB=6,以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC

于F,若BF=6,则阴影部分的面积为.

【15题答案】

【答案】9也-3兀

【解析】

【分析】连接OF、OE、OD,如图，在Rt^OBF中利用三角函数的定义求出NOFB=60。，再利用切线的性

质和切线长定理得到NOFE=NOFB=60。，OE±DF,所以NBFE=120。，贝！j/ADE=60°,同样可得NADO=N

EDO=30°,利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD=6OA=3有，所以5山口0=%叵；接着计算出

2

ZAOE=120°,于是得到S扇彩AO=3兀，然后利用阴影部分的面积=四边形AOED的面积-扇形AOE的面积进行

计算即可.

【详解】解：连接OF、OE、OD,如图，

0B3「

在RtAOBF中，*.*tanZOFB=-----=—（=—J3,

BFV3"

AZOFB=60°,

VBFXAB,

・・・BF为切线,

・・・DF为切线,

・・・NOFE=NOFB=60。，OE±DF,

.\ZBFE=120°,

・.・BC〃AD,

・・・NADE=60。，

VADXAB,

AAD为切线，

而DE为切线，

・・・NADO=NEDO=30。，

在Rt/XAOD中，AD=^OA=30，

SAADO——x3x3百=；

VZAOE=180°-ZADE=120°,

_120.;r-32

■■、扇形AOE--------------------J兀,

360

・••阴影部分的面积=四边形AOED的面积-扇形AOE的面积=2x2叵-3兀=9百-3兀.

2

故答案为9班-3K.

【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、扇形面积的计算、三角函数的定义，正确作辅助线是解题

的关键.

k

16.如图，点A在反比例函数>=—(%<0)的图像上，过点A作AB_Lx轴于点3,。为了轴正半轴上一

x

3

点，连接AC交y轴于点£>,tanZACB=—,AO平分NCA8,S=8,贝!j%=

4ABC

【答案】-6

【解析】

3..

【分析】由tanZACB=一可设AB=3a,则BC=4a,AC=5a.由AO平分/CAB可得

4

3

OB:OC=AB:AC=3:5.由AABC和AABO有相同的底AB,即得其钻。=—S钻。=3,即得出七-6.

・、乂以力.3AB3

【详解】***tanNAC3=一,1即3rl---=—,

4BC4

・,•设AB=3〃，贝!|3C=4。.

...在RMABC中，AC=Y]AB2+BC2=5a

：A。平分NCAB,

OB-.OC=AB-.AC=3.5,

BO\BC=3:8

11

■:S=—AB-BO,S人物=—AB・BC,

△ABO/IDCZ2△/LoC2

ASARO-SARC^.lABnBO\\-ABBC\=,

△ADCZAAOCI21I2J

3

・•・S^so=gx8=3,

二・网=2s.MO=6,

・・,该图象在第二象限有分支，

k=-6.

故答案为：-6.

【点睛】本题为反比例函数综合题.考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质以及反比例函数比例

系数k的几何意义.利用数形结合的思想是解答本题的关键.

17.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作。

0,连接BD交。。于点E,则AE的最小值为

【17题答案】

【答案】2而—2

【解析】

【分析】连接CE,可得/CED=/CEB=90。，从而知点E在以BC为直径的。Q上，继而知点Q、E、A共

线时AE最小，根据勾股定理求得QA的长，即可得答案.

【详解】解：如图，连接CE,

.•.点E在以BC为直径的。Q上,

VBC=4,

；.QC=QE=2,

当点Q、E、A共线时AE最小,

VAC=10,

AQ=^AC2+QC2=2726，

AE=AQ-QE=2726-2，

/.AE的最小值为2而-2，

故答案为2伍-2.

【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为

圆外一点到圆上一点的最短距离问题.

三、解答题（本大题共3小题，共18分）

18.先化简，再求值：［为一七）十^^，其中"0+2.

【18题答案】

〃+1

【答案】--+V2

〃(〃一2)2

【解析】

【分析】首先把括号内通分进行减法运算,然后再进行除法运算得出化简结果，然后代入数值计算.

/—2Q

【详解】解:

a2-4

Q+2—1(〃+2)(ci—2)

(a+2)(CL—2)a(ct—2)

a+1

a(a-2)

当”=拒+2时，原式二^-------

(V2+2)(0+2-2)

【点睛】本题考查分式的化简求值，注意解题步骤是先化简再代入求值.

（1）作/钻石的角平分线交于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；

（2）根据（1）中作图，连接CF,求证：四边形ABCP是菱形.

【19题答案】

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；

（2）根据角平分线定义和平行线性质证明ZAFB=ZCBF,再根据三角形的等角对等边证

得AF=AB=BC,然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可.

【小问1详解】

解：如图，射线即为所求作的角平分线；

解：：AC平分/BAD,BF平分NABE,

：.ZBAC=ZFAC,ZABF=ZCBF,

\'AD//BE,

：.ZACB=ZFAC,ZAFB=ZCBF,

：.ZBAC=ZACB,ZAFB=ZABF,

：.AB=BC,AB=AF,

：.BC=AF,XAF//BC,

.•.四边形ABCF是平行四边形，

又；AB=BC,

四边形ABCF是菱形.

【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判

定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

21.“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品.王老师从全校20个班中

随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，其

中表示A班的扇形圆心角的度数为60°.

(1)王老师所调查的4个班共征集到作品件;在扇形计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为；

(2)补全条形统计图；

(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生.现要从获得一等奖

的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率.(要求用树状图或列

表法写出分析过程).

作品（件）

[21题答案】

【答案】（1）24,150°；（2）见解析；（3）树状图见解析，-

2

【解析】

【分析】（1）根据A班4件，占总数的幽即可得出总件数，然后根据C班10件，求出占总数的比例乘以

360

360度即可得圆心角度数；

（2）用总件数减去A、C、D班的件数，得到B班的件数，补全条形图；

（3）画出树状图，列举出所有等可能的情况数，再选出符合条件的情况数，根据概率公式求解.

【详解】解：（1）4+幽=24,

360

所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件.

在扇形计图中，表示C班的扇形圆心角的度数=360。x竺=150。

24

故答案为：24,150°.

（3）画树状图为:

女

女女

男女女

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6,

A1

所以恰好抽中一男一女的概率p=—=一.

122

【点睛】本题考查统计与概率，理解扇形图与条形图中数据的关系，掌握概率的计算是解题的关键.

四、解答题(本大题共3小题，共24分)

22.如图，E、P分别是正方形ABCD边A3、AD的中点，将沿折叠，点A落在点。处，连接

并延长，交OC于G点.

(1)求证：CE=BF；

(2)若AB=4,求GF的值.

【22题答案】

【答案】(1)见解析(2)GF的值为W.

3

【解析】

【分析】(1)先判断出进而得出△EW段AEBC(SAS),即可得出结论；

(2)连接3G,根据HL证明MABQG丝MABCG,得QG=GC,设QG=b,在MADPG中，根据勾股定理

列方程可得乩从而可得结论.

【小问1详解】

证明：•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=ADfZA=ZABC=90°,

・・・石、/分别是正方形A3CZ)边A3、AD的中点，

*：AF=BE,

:.LFAB经LEBC(SAS),

・・・CE=BF；

【小问2详解】

解：如图，连接BG,

由折叠得：AB=BQ,ZBQF=ZA=90°,

*：AB=BC,

：.BC=BQ,

■:BG=BG,

：.Rt^BQG^Rt^BCG(HL),

・・・QG=GC,

•・•A8=4,F是正方形ABCD边A0中点,

设QG=b,

则FG=2+b,DG=4-b,

在RtbDFG中，•・・DF^+DG^FG2,

・・・2?+(4—力2=(2+0)2,

44

b——,即QG——，

33

410

・・・GF=FQ+QG=2+y=y.

；.G尸的值为”.

3

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本

题的关键.

24.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙

两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼

每对进价多9元.

(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利

润y元.

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

【24题答案】

【答案】(1)26,35；(2)①y=-2X2+68X+1470；②15,2040.

【解析】

【分析】1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据题意列出分式方程即可求

解；(2)①根据y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470,②根据二次函数的对称轴与物价部门规定

其销售单价不高于每对65元，即可求出最大利润.

【详解】解：(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，由题意得：

3120_4200

xx+9

解得x=26,

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，

x+9=26+9=35,

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对.

(2)@y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470,

答：y与x之间的函数解析式为：y=-2X2+68X+1470.

@".'a=-2<0,

,,b

函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=------=17,

2a

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

X+50W65,

；.xW15,

：x<17时，y随x的增大而增大，

.,.当x=15时，y最大=2040.

答：乙种灯笼的销售单价为15元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元.

【点睛】此题主要考查分式方程与二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.

k

25.如图，一次函数〉=九-2与反比例函数y=—(x>0)的图象交点的横坐标是4,点尸(m,n)在第一

x

象限内，过点P作平行于X轴的直线，交一次函数图像于点过点尸作平行于y轴的直线，交反比例函

数的图象于点N.

⑴求1的值;

(2)当机<4,行2时，△PMV能否为等腰三角形，若能出P点坐标，若不能，请说明理由；

(3)若gt,且结合函数的图象，直接写出机的取值范围.

[25题答案】

【答案】(1)左的值为8；

(2)△PMN能为等腰三角形，此时P(2,2)；

(3)当0cms2或加24时，PM<PN.

【解析】

【分析】(1)先求得交点44,2),再利用待定系数法求解即可；

Q

(2)先判断点”与点A重合，求得点N(m，-)，根据尸N=PM,列分式方程求解即可；

m

8

(3)如图，由题意尸(如m),M(m+2,m),N(m,—),构建方程求出PA仁PN时机的值，即可求

m

解.

【小问1详解】

解：：一次函数y=x-2与反比例函数y=K(x>0)图象交点的横坐标是4,

X

.•.产4-2=2,

・・・交点44,2),

仁4x2=8；

【小问2详解】

解：APMN能为等腰三角形，理由如下：

Q

由(1)知反比例函数的解析式为y=一,

x

Vn=2f而A(4,2),

.••点M与点A重合,

:PN〃y轴，

18

••点N(jn,1),

m

根据题意知PM1PN,

:△PAW为等腰三角形，P(m,2),

：.PN=PM,

Q

即一-2=4-m,

m

解得m=4或2,

经检验，机=4或2都是原方程的解，但片4不符合加V4,舍去,

：.P(2,2)；

【小问3详解】

8

解：如图，由题意尸(m,m),M(m+2,m),N(m,一).

m

PM=m+2-m=2,

8

当尸M=PN时，m——=2,

m

解得m=2或-4或4或-2,

经检验，小=2或-4或4或-2都是原方程的解,

Vm>0,

m=2或4,

观察图象可知：当0VmW2或m>4时，PM<PN.

【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理、解分式方程等知

识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题.

五、解答题(本大题共2小题，共20分)

27.如图，以A4BC的边AC上一点。为圆心，OC为半径的。。经过B点与AC交于。点，连8。，已知

(1)求证：AB为。。的切线;

求处;

(2)

CD

(3)设AM为NBAC的平分线，AM=4应,求的度数及。。的半径.

【27题答案】

AF)1

【答案】(1)见解析(2)——=-

CD3

(3)的度数为45。；。。的半径为上叵

2

【解析】

【分析】(1)证明/OBO+/ABD=90。，即NOBA=90。，即可证明AB为。。的切线；

ACABBC

(2)证明△A5£)~△AC5,即可得到---=----=----=2,设AD=x,推出A8=2x,AC=4x,即可求解；

ABADBD

(3)先证明AgMN是等腰直角三角形，可求得NAM3=45。；证明A43N〜△ACM,得到

3工=任=2丝=L，AN=MN=-AM=2J2,求得BN=BM=2,CM=2BN=A,再根据勾股定理即可求得

AMACCM22、

。。的半径.

【小问1详解】

证明：•・・CO是。。的直径，

・・・ZCBD=90°,即ZCBO+Z050=90。，

9：OB=OD=OC,

:・/OBD=/ODB,ZCBO=ZC,

・.,ZABD=ZC,

：.ZOBD+ZABD=90°,

・・・ZOBA=9Q°,

BPOBA.AB,且为半径，

・・・A5为。。的切线；

【小问2详解】

解：VZABD=ZCf且NC43=N3A£),

’ABD〜AACB,

.ACAB_BC

*AB-AD-fiD

「BD1用BC个

•etanC-----——,即-----2,

BC2BD

ACAB_BC

AB-AD-BD-'

设AD=x,

\AB=2x,AC=4x,

・・CD=AC-AD=3x,

・A。_尤_1

CD3x3

【小问3详解】

解：设3。与AM相交于点N,

YAM为NR4C平分线，且NA30=NC,

JZCAM=ZBAMf

■:NBMN=/C+/CAM,NBNM=NABD+NBAM,

：.ZBMN=ZBNM,BPBM=BN,

•・・ZCBD=90°,

・・・ASMN是等腰直角三角形，

NAM3=45。；

VZCAM=ZBAN,且NA5N=NC,

・・・xABN〜"CM,

.ANAB_BN

**AM-AC-Ol7，

ACAB